Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Mis à jour le 5 octobre 2026
Mathilde, gérante d'un atelier de menuiserie, fabrique des chaises en bois. Elle modélise sa production journalière par les fonctions suivantes (où x est le nombre de chaises produites, 0 ≤ x ≤ 50) :
📋 Modèle économique de l'atelier
• Recette : R(x) = 80 × x € (prix de vente unitaire 80 €)
• Coût : C(x) = 0,02 x³ − 0,5 x² + 30 x + 200 € (charges fixes + main-d'œuvre + matières premières)
• Bénéfice : B(x) = R(x) − C(x) = −0,02 x³ + 0,5 x² + 50 x − 200 €
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (polynôme degré 3) et §3 (étude des variations par la dérivée).
Calculer B(x) pour x = 10, 20, 30, 40, 50 chaises.
| x | −0,02 x³ | +0,5 x² | +50 x | −200 | B(x) |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | −20 | 50 | 500 | −200 | 330 € |
| 20 | −160 | 200 | 1 000 | −200 | 840 € |
| 30 | −540 | 450 | 1 500 | −200 | 1 210 € |
| 40 | −1 280 | 800 | 2 000 | −200 | 1 320 € |
| 50 | −2 500 | 1 250 | 2 500 | −200 | 1 050 € |
Le bénéfice augmente jusqu'à 40 chaises (1 320 €), puis baisse à 50 chaises (1 050 €).
Le maximum est entre x = 30 et x = 50, plus précisément autour de 38-40.
Calculer la dérivée B'(x) du bénéfice.
B(x) = −0,02 x³ + 0,5 x² + 50 x − 200.
B'(x) = 3 × (−0,02) x² + 2 × 0,5 × x + 50 = −0,06 x² + x + 50.
La dérivée d'un polynôme degré 3 est un polynôme degré 2.
Avec le solveur de degré 2, résoudre B'(x) = 0 sur [0 ; 50], puis étudier le signe de B' pour localiser le maximum du modèle continu.
Le solveur (coefficients −0,06 ; 1 ; 50) donne environ −21,713 et 38,380. Seule la seconde racine appartient à [0 ; 50].
B' est positive avant 38,380 et négative après : le maximum continu est atteint à cette abscisse. Pour une production entière, il faut comparer 38 et 39.
Comparer B(38) et B(39). En déduire la production entière optimale et le bénéfice correspondant.
B(38) = −1 097,44 + 722 + 1 900 − 200 = 1 324,56 €.
B(39) = 1 324,12 €. Les variations montrent que la meilleure production entière est donc 38 chaises par jour.
Comparer le coût supplémentaire C(39) − C(38) au prix de vente de 80 €. Expliquer la diminution de bénéfice entre 38 et 39 chaises.
C(39) − C(38) = 80,44 €. La recette supplémentaire est de 80 €, donc le bénéfice diminue de 0,44 €.
Ce calcul décrit le modèle. Il ne suffit pas pour identifier une cause réelle de hausse des coûts.
Pour quelles productions entières de 0 à 50 chaises le bénéfice est-il négatif ?
B(3) = −46,04 € et B(4) = 6,72 €. B est croissante jusqu'à environ 38,38, puis décroît jusqu'à B(50) = 1 050 €, qui reste positif.
Pour les quantités entières du domaine, le bénéfice est négatif de 0 à 3 chaises et positif de 4 à 50 chaises.
Si Mathilde augmente le prix de vente à 100 € (au lieu de 80 €), comment évolue B(x) ? Et la production optimale ?
Si tous les produits restent vendus et si les coûts sont inchangés, B₁₀₀(x) = −0,02x³ + 0,5x² + 70x − 200.
Le solveur de B₁₀₀'(x) = −0,06x² + x + 70 = 0 donne une racine positive proche de 43,49. La dérivée passe de + à −.
B₁₀₀(43) = 2 144,36 € et B₁₀₀(44) = 2 144,32 € : l'optimum entier est 43 chaises.
Le gain de bénéfice est (2 144,36 − 1 324,56) / 1 324,56 × 100 ≈ 61,9 %. Cela dépend des hypothèses de vente et de coûts ; une hausse de prix ne garantit pas une demande inchangée.
Rédiger en 5 lignes une note pour Mathilde résumant les recommandations de production et les sensibilités au prix.
Dans ce modèle, produire 38 chaises vendues 80 € donne le meilleur bénéfice entier : 1 324,56 € par jour. La 39e chaise coûte 80,44 € supplémentaires et réduit le bénéfice. Si le prix passe à 100 €, à coûts et ventes inchangés, l'optimum devient 43 chaises pour 2 144,36 €. Le gain calculé est de 61,9 %. Il faut vérifier ces hypothèses avant toute décision réelle.
L'économiste utilise la notion de « coût marginal » Cm(x) = C'(x). Calculer Cm(x), Cm(20), Cm(38). Comparer cette dérivée au coût exact d'une unité supplémentaire. Vérifier l'égalité Cm = prix de vente au maximum du modèle continu.
Cm(x) = C'(x) = 0,06x² − x + 30. Cm(20) = 34 et Cm(38) = 78,64.
Cette dérivée approche le coût d'une unité supplémentaire : les différences exactes sont C(21) − C(20) = 34,72 € et C(39) − C(38) = 80,44 €.
Au maximum continu, B'(x) = 80 − C'(x) = 0, donc Cm(x) = 80. Pour des chaises entières, il faut comparer les bénéfices des deux entiers voisins.