Chapitre 4 – Polynômes du 3ème degré et dérivées | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Mathilde, gérante d'un atelier de menuiserie, fabrique des chaises en bois. Elle modélise sa production journalière par les fonctions suivantes (où x est le nombre de chaises produites, 0 ≤ x ≤ 50) :
📋 Modèle économique de l'atelier
• Recette : R(x) = 80 × x € (prix de vente unitaire 80 €)
• Coût : C(x) = 0,02 x³ − 0,5 x² + 30 x + 200 € (charges fixes + main-d'œuvre + matières premières)
• Bénéfice : B(x) = R(x) − C(x) = −0,02 x³ + 0,5 x² + 50 x − 200 €
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (polynôme degré 3) et §3 (étude des variations par la dérivée).
Calculer B(x) pour x = 10, 20, 30, 40, 50 chaises.
| x | −0,02 x³ | +0,5 x² | +50 x | −200 | B(x) |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | −20 | 50 | 500 | −200 | 330 € |
| 20 | −160 | 200 | 1 000 | −200 | 840 € |
| 30 | −540 | 450 | 1 500 | −200 | 1 210 € |
| 40 | −1 280 | 800 | 2 000 | −200 | 1 320 € |
| 50 | −2 500 | 1 250 | 2 500 | −200 | 1 050 € |
Le bénéfice augmente jusqu'à 40 chaises (1 320 €), puis baisse à 50 chaises (1 050 €).
Le maximum est entre x = 30 et x = 50, plus précisément autour de 38-40.
Calculer la dérivée B'(x) du bénéfice.
B(x) = −0,02 x³ + 0,5 x² + 50 x − 200.
B'(x) = 3 × (−0,02) x² + 2 × 0,5 × x + 50 = −0,06 x² + x + 50.
La dérivée d'un polynôme degré 3 est un polynôme degré 2.
Résoudre B'(x) = 0 pour trouver le maximum.
−0,06 x² + x + 50 = 0 → 0,06 x² − x − 50 = 0 (en multipliant par −1).
Discriminant : Δ = 1² − 4 × 0,06 × (−50) = 1 + 12 = 13.
x = (1 ± √13) / (2 × 0,06) = (1 ± 3,606) / 0,12
x₁ = 4,606 / 0,12 ≈ 38,4 ou x₂ = −2,606 / 0,12 ≈ −21,7 (rejeté car < 0).
Maximum à x ≈ 38 chaises/jour.
Calculer le bénéfice maximal B(38).
B(38) = −0,02 × 38³ + 0,5 × 38² + 50 × 38 − 200
= −0,02 × 54 872 + 0,5 × 1 444 + 1 900 − 200
= −1 097,4 + 722 + 1 900 − 200 = 1 324,6 € ≈ 1 325 €/jour.
Soit ~ 24 000 €/mois (sur 18 jours ouvrés). Activité rentable.
Pourquoi le bénéfice baisse-t-il après 38 chaises ? Expliquer économiquement.
Au-delà de 38 chaises, le coût marginal (coût d'une chaise supplémentaire) dépasse les 80 € de prix de vente. Causes possibles :
Concept économique : rendement décroissant. Au-delà d'un certain point, produire plus coûte plus cher qu'il ne rapporte.
Conclusion : il vaut mieux produire moins mais mieux. L'optimum n'est pas le maximum de production.
À combien de chaises la production devient-elle non rentable (B(x) < 0) ?
Pour B(x) < 0, on cherche les zéros de B. Calcul (numériquement ou par dichotomie) :
B(0) = −200 (négatif)
B(5) = −0,02 × 125 + 0,5 × 25 + 250 − 200 = −2,5 + 12,5 + 250 − 200 = 60 (positif).
Donc le seuil de rentabilité est entre 0 et 5 chaises (probablement ~ 4).
Pour x > 50, hors du domaine d'étude. Voir aussi : B(60) = −0,02 × 216 000 + 0,5 × 3 600 + 3 000 − 200 = −4 320 + 1 800 + 3 000 − 200 = 280 € (positif... mais x > 50 est hors domaine).
Dans le domaine 0 ≤ x ≤ 50 : Mathilde est rentable dès 4-5 chaises/jour.
Si Mathilde augmente le prix de vente à 100 € (au lieu de 80 €), comment évolue B(x) ? Et la production optimale ?
Nouvelle B(x) = 100 x − C(x) = 100 x − (0,02 x³ − 0,5 x² + 30 x + 200) = −0,02 x³ + 0,5 x² + 70 x − 200.
B'(x) = −0,06 x² + x + 70 = 0 → 0,06 x² − x − 70 = 0.
Δ = 1 + 16,8 = 17,8 → √Δ ≈ 4,22.
x = (1 + 4,22) / 0,12 ≈ 43,5 chaises/jour.
L'optimum monte de 38 à 43-44 chaises. Augmenter le prix de vente permet de produire plus rentablement.
B_max ≈ 100 × 43,5 − C(43,5) ≈ 4 350 − 2 700 ≈ 1 650 €/jour. Gain de ~ 25 % par rapport au scénario 80 €.
Rédiger en 5 lignes une note pour Mathilde résumant les recommandations de production et les sensibilités au prix.
Note — Optimisation de la production de chaises
Le bénéfice journalier est maximal pour 38 chaises produites (≈ 1 325 €/jour). Au-delà, les coûts marginaux dépassent le prix de vente → diminution du bénéfice.
Recommandations :
Refaire le calcul si les coûts évoluent (matières, salaires, énergie).
L'économiste utilise la notion de « coût marginal » Cm(x) = C'(x). Calculer Cm(x), Cm(20), Cm(38). Vérifier qu'au point optimal, Cm = prix de vente.
C(x) = 0,02 x³ − 0,5 x² + 30 x + 200 → C'(x) = 0,06 x² − x + 30.
Cm(20) = 0,06 × 400 − 20 + 30 = 24 − 20 + 30 = 34 €. La 21ème chaise coûte 34 €, vendue 80 € → marge nette 46 €.
Cm(38) = 0,06 × 1 444 − 38 + 30 = 86,64 − 38 + 30 ≈ 78,64 €. La 39ème chaise coûte ~ 79 €, vendue 80 → marge ≈ 1 €.
À l'optimum, Cm ≈ prix de vente. C'est la règle économique fondamentale : on s'arrête de produire quand la dernière unité ne rapporte plus rien.
Cm(50) = 150 − 50 + 30 = 130 €. La 51ème chaise coûterait 130 € → vente à 80 → perte 50 €. Confirmé : il ne faut pas dépasser 38.