Suites numériques (suite géométrique) — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Voici les valeurs successives d'une machine (en €) : 10 000 → 8 500 → 7 225 → 6 141
a) Calculer \(\dfrac{8\,500}{10\,000} = ...\)
b) Calculer \(\dfrac{7\,225}{8\,500} = ...\)
c) Les quotients sont-ils égaux ? La suite est-elle géométrique ? Donner la raison \(q\).
a) \(\dfrac{8\,500}{10\,000} = \mathbf{0{,}85}\)
b) \(\dfrac{7\,225}{8\,500} = \mathbf{0{,}85}\)
c) Les quotients sont tous égaux à 0,85. La suite est géométrique de raison \(q = \mathbf{0{,}85}\).
Compléter le tableau :
| Situation | Raison \(q\) |
|---|---|
| Perte de 15 % par an | \(q = 1 - \dfrac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = ...\) |
| Hausse de 6 % par an | \(q = 1 + \dfrac{...}{100} = ...\) |
| Perte de 20 % par an | \(q = ...\) |
| Situation | Raison \(q\) |
|---|---|
| Perte de 15 % par an | \(q = 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}\) |
| Hausse de 6 % par an | \(q = 1 + 0{,}06 = \mathbf{1{,}06}\) |
| Perte de 20 % par an | \(q = 1 - 0{,}20 = \mathbf{0{,}80}\) |
Une chaudière neuve vaut 8 000 €. Elle perd 10 % de sa valeur chaque année. Donc \(u_0 = 8\,000\) et \(q = 0{,}90\).
a) Écrire la formule du terme général : \(u_n = ... \times ...^n\)
b) Calculer la valeur après 3 ans : \(u_3 = 8\,000 \times 0{,}90^3 = 8\,000 \times ... = ...\) €
c) Calculer la valeur après 5 ans : \(u_5 = 8\,000 \times 0{,}90^5 = ...\) €
a) \(u_n = \mathbf{8\,000 \times 0{,}90^n}\)
b) \(u_3 = 8\,000 \times 0{,}90^3 = 8\,000 \times 0{,}729 = \mathbf{5\,832\,€}\)
c) \(u_5 = 8\,000 \times 0{,}90^5 = 8\,000 \times 0{,}5905 \approx \mathbf{4\,724\,€}\)
Pour chaque suite, indiquer si elle est croissante ou décroissante :
a) \(u_n = 5\,000 \times 1{,}04^n\) → \(q = ...\) donc la suite est ...
b) \(u_n = 12\,000 \times 0{,}85^n\) → \(q = ...\) donc la suite est ...
a) \(q = 1{,}04 > 1\) donc la suite est croissante (valorisation, les termes augmentent).
b) \(q = 0{,}85\), on a \(0 < 0{,}85 < 1\) donc la suite est décroissante (dépréciation, les termes diminuent).
Un artisan menuisier épargne 2 000 € par an avec un taux de 5 %. La suite des capitaux est \(u_n = 2\,000 \times 1{,}05^n\).
Calculer la somme des 4 premiers termes (\(u_0 + u_1 + u_2 + u_3\)), soit \(n = 3\) et 4 termes :
\(S_3 = 2\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^4}{1 - 1{,}05} = 2\,000 \times \dfrac{1 - ...}{-0{,}05} = ...\) €
\(1{,}05^4 = 1{,}2155\)
\(S_3 = 2\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}2155}{1 - 1{,}05} = 2\,000 \times \dfrac{-0{,}2155}{-0{,}05} = 2\,000 \times 4{,}310 = \mathbf{8\,620\,€}\)
Barème : 20 points
Voici les valeurs successives d'un four professionnel (en €) : 6 000 → 5 400 → 4 860 → 4 374
a) Calculer \(\dfrac{5\,400}{6\,000} = ...\)
b) Calculer \(\dfrac{4\,860}{5\,400} = ...\)
c) Les quotients sont-ils égaux ? La suite est-elle géométrique ? Donner la raison \(q\).
a) \(\dfrac{5\,400}{6\,000} = \mathbf{0{,}90}\)
b) \(\dfrac{4\,860}{5\,400} = \mathbf{0{,}90}\)
c) Les quotients sont tous égaux à 0,90. La suite est géométrique de raison \(q = \mathbf{0{,}90}\).
Compléter le tableau :
| Situation | Raison \(q\) |
|---|---|
| Perte de 10 % par an | \(q = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0{,}10 = ...\) |
| Hausse de 8 % par an | \(q = 1 + \dfrac{...}{100} = ...\) |
| Perte de 25 % par an | \(q = ...\) |
| Situation | Raison \(q\) |
|---|---|
| Perte de 10 % par an | \(q = 1 - 0{,}10 = \mathbf{0{,}90}\) |
| Hausse de 8 % par an | \(q = 1 + 0{,}08 = \mathbf{1{,}08}\) |
| Perte de 25 % par an | \(q = 1 - 0{,}25 = \mathbf{0{,}75}\) |
Une scie à panneaux neuve vaut 5 000 €. Elle perd 12 % de sa valeur chaque année. Donc \(u_0 = 5\,000\) et \(q = 0{,}88\).
a) Écrire la formule du terme général : \(u_n = ... \times ...^n\)
b) Calculer la valeur après 3 ans : \(u_3 = 5\,000 \times 0{,}88^3 = 5\,000 \times ... = ...\) €
c) Calculer la valeur après 5 ans : \(u_5 = 5\,000 \times 0{,}88^5 = ...\) €
a) \(u_n = \mathbf{5\,000 \times 0{,}88^n}\)
b) \(u_3 = 5\,000 \times 0{,}88^3 = 5\,000 \times 0{,}6815 \approx \mathbf{3\,408\,€}\)
c) \(u_5 = 5\,000 \times 0{,}88^5 = 5\,000 \times 0{,}5277 \approx \mathbf{2\,639\,€}\)
Pour chaque suite, indiquer si elle est croissante ou décroissante :
a) \(u_n = 3\,000 \times 1{,}07^n\) → \(q = ...\) donc la suite est ...
b) \(u_n = 9\,000 \times 0{,}92^n\) → \(q = ...\) donc la suite est ...
a) \(q = 1{,}07 > 1\) donc la suite est croissante (valorisation, les termes augmentent).
b) \(q = 0{,}92\), on a \(0 < 0{,}92 < 1\) donc la suite est décroissante (dépréciation, les termes diminuent).
Un installateur thermique épargne 1 500 € par an avec un taux de 4 %. La suite des capitaux est \(u_n = 1\,500 \times 1{,}04^n\).
Calculer la somme des 4 premiers termes (\(u_0 + u_1 + u_2 + u_3\)), soit \(n = 3\) et 4 termes :
\(S_3 = 1\,500 \times \dfrac{1 - 1{,}04^4}{1 - 1{,}04} = 1\,500 \times \dfrac{1 - ...}{-0{,}04} = ...\) €
\(1{,}04^4 = 1{,}1699\)
\(S_3 = 1\,500 \times \dfrac{1 - 1{,}1699}{1 - 1{,}04} = 1\,500 \times \dfrac{-0{,}1699}{-0{,}04} = 1\,500 \times 4{,}246 = \mathbf{6\,370\,€}\)
Barème : 20 points
Une défonceuse numérique est achetée 15 000 € par un atelier de menuiserie. Elle perd 10 % de sa valeur chaque année.
a) Montrer que la suite des valeurs est géométrique. Donner \(u_0\) et \(q\).
b) Écrire le terme général \(u_n\).
c) Calculer la valeur de la machine après 6 ans.
a) Chaque année, on garde \(100 - 10 = 90\,\%\) de la valeur, soit une multiplication par \(0{,}90\). C'est bien une suite géométrique : \(u_0 = \mathbf{15\,000}\) et \(q = \mathbf{0{,}90}\).
b) \(u_n = 15\,000 \times 0{,}90^n\)
c) \(u_6 = 15\,000 \times 0{,}90^6 = 15\,000 \times 0{,}5314 \approx \mathbf{7\,971\,€}\)
Un installateur thermique relève la consommation annuelle de gaz d'un logement après travaux d'isolation :
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Consommation \(u_n\) (kWh) | 18 000 | 17 100 | 16 245 | 15 433 |
a) Calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\) et \(\dfrac{u_2}{u_1}\). Que peut-on conclure ?
b) La suite est-elle croissante ou décroissante ? Expliquer dans le contexte.
c) Calculer la consommation prévisionnelle à l'année 8.
a) \(\dfrac{17\,100}{18\,000} = 0{,}95\) et \(\dfrac{16\,245}{17\,100} = 0{,}95\). Les quotients sont égaux : la suite est géométrique de raison \(q = 0{,}95\).
b) \(0 < q = 0{,}95 < 1\) donc la suite est décroissante. La consommation diminue de 5 % par an grâce aux améliorations de l'isolation.
c) \(u_8 = 18\,000 \times 0{,}95^8 = 18\,000 \times 0{,}6634 \approx \mathbf{11\,941\,\text{kWh}}\)
Un artisan menuisier place 5 000 € sur un livret professionnel rémunéré à 3 % par an. Il ne retire rien.
a) Identifier la suite géométrique : donner \(u_0\) et \(q\).
b) Écrire le terme général et calculer le capital après 10 ans.
c) Calculer le gain total (intérêts) réalisé après 10 ans.
a) \(u_0 = 5\,000\), \(q = 1 + 0{,}03 = \mathbf{1{,}03}\). Suite géométrique croissante.
b) \(u_n = 5\,000 \times 1{,}03^n\). Après 10 ans : \(u_{10} = 5\,000 \times 1{,}03^{10} = 5\,000 \times 1{,}3439 \approx \mathbf{6\,720\,€}\)
c) Gain = \(6\,720 - 5\,000 = \mathbf{1\,720\,€}\) d'intérêts composés.
Une pompe à chaleur neuve vaut 12 000 €. Elle perd 15 % de sa valeur chaque année.
a) Donner la suite géométrique modélisant cette situation.
b) Compléter le tableau des valeurs :
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur \(u_n\) (€) | 12 000 | ... | ... | ... | ... | ... |
c) À partir de quelle année la PAC vaut-elle moins de 5 000 € ?
a) \(u_n = 12\,000 \times 0{,}85^n\) (suite géométrique décroissante)
b)
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur (€) | 12 000 | 10 200 | 8 670 | 7 370 | 6 265 | 5 325 |
c) \(u_5 \approx 5\,325 > 5\,000\) et \(u_6 = 12\,000 \times 0{,}85^6 \approx 4\,527 < 5\,000\). La PAC vaut moins de 5 000 € à partir de l'année 6.
Un élève affirme : « Dans une suite géométrique de raison \(q = 0{,}85\), la valeur diminue de 0,85 à chaque étape. »
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer l'erreur et donner la bonne interprétation.
L'affirmation est fausse. Dans une suite géométrique, on multiplie par \(q = 0{,}85\) à chaque étape (on ne soustrait pas 0,85).
La bonne interprétation : chaque terme vaut 85 % du précédent, ce qui correspond à une perte de 15 % à chaque étape. La diminution en valeur absolue n'est pas constante (elle est plus grande au début).
L'élève confond avec une suite arithmétique (où l'on additionne/soustrait un même nombre).
Barème : 20 points
Un véhicule utilitaire est acheté 22 000 € par un artisan menuisier. Il perd 12 % de sa valeur chaque année.
a) Montrer que la suite des valeurs est géométrique. Donner \(u_0\) et \(q\).
b) Écrire le terme général \(u_n\).
c) Calculer la valeur du véhicule après 5 ans.
a) Chaque année, on garde \(100 - 12 = 88\,\%\) de la valeur, soit une multiplication par \(0{,}88\). C'est bien une suite géométrique : \(u_0 = \mathbf{22\,000}\) et \(q = \mathbf{0{,}88}\).
b) \(u_n = 22\,000 \times 0{,}88^n\)
c) \(u_5 = 22\,000 \times 0{,}88^5 = 22\,000 \times 0{,}5277 \approx \mathbf{11\,609\,€}\)
Un technicien de maintenance relève la production mensuelle d'une chaudière vieillissante :
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Rendement \(u_n\) (%) | 92 | 87,4 | 83,03 | 78,88 |
a) Calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\) et \(\dfrac{u_2}{u_1}\). Que peut-on conclure ?
b) La suite est-elle croissante ou décroissante ? Expliquer dans le contexte.
c) Calculer le rendement prévisionnel à l'année 7.
a) \(\dfrac{87{,}4}{92} = 0{,}95\) et \(\dfrac{83{,}03}{87{,}4} = 0{,}95\). Les quotients sont égaux : la suite est géométrique de raison \(q = 0{,}95\).
b) \(0 < q = 0{,}95 < 1\) donc la suite est décroissante. Le rendement diminue de 5 % par an en raison de l'usure de la chaudière.
c) \(u_7 = 92 \times 0{,}95^7 = 92 \times 0{,}6983 \approx \mathbf{64{,}2\,\%}\)
Un menuisier agenceur place 8 000 € sur un livret professionnel rémunéré à 4 % par an. Il ne retire rien.
a) Identifier la suite géométrique : donner \(u_0\) et \(q\).
b) Écrire le terme général et calculer le capital après 8 ans.
c) Calculer le gain total (intérêts) réalisé après 8 ans.
a) \(u_0 = 8\,000\), \(q = 1 + 0{,}04 = \mathbf{1{,}04}\). Suite géométrique croissante.
b) \(u_n = 8\,000 \times 1{,}04^n\). Après 8 ans : \(u_8 = 8\,000 \times 1{,}04^8 = 8\,000 \times 1{,}3686 \approx \mathbf{10\,949\,€}\)
c) Gain = \(10\,949 - 8\,000 = \mathbf{2\,949\,€}\) d'intérêts composés.
Un système de ventilation neuf vaut 9 500 €. Il perd 18 % de sa valeur chaque année.
a) Donner la suite géométrique modélisant cette situation.
b) Compléter le tableau des valeurs :
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur \(u_n\) (€) | 9 500 | ... | ... | ... | ... | ... |
c) À partir de quelle année le système vaut-il moins de 4 000 € ?
a) \(u_n = 9\,500 \times 0{,}82^n\) (suite géométrique décroissante)
b)
| Année \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valeur (€) | 9 500 | 7 790 | 6 388 | 5 238 | 4 295 | 3 522 |
c) \(u_4 \approx 4\,295 > 4\,000\) et \(u_5 \approx 3\,522 < 4\,000\). Le système vaut moins de 4 000 € à partir de l'année 5.
Un élève affirme : « Si \(q = 1{,}03\), le capital augmente de 1,03 € chaque année. »
Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer l'erreur et donner la bonne interprétation.
L'affirmation est fausse. Dans une suite géométrique, on multiplie par \(q = 1{,}03\) à chaque étape (on n'ajoute pas 1,03).
La bonne interprétation : chaque terme vaut 103 % du précédent, ce qui correspond à une augmentation de 3 % à chaque étape. L'augmentation en valeur absolue n'est pas constante (elle est plus grande au fil du temps).
L'élève confond avec une suite arithmétique (où l'on additionne/soustrait un même nombre).
Barème : 20 points
Une entreprise de génie climatique achète une pompe à chaleur air/eau neuve à 12 000 €. Elle perd 15 % de sa valeur chaque année. L'entreprise souhaite la revendre quand sa valeur descend sous 4 000 €.
a) Écrire le terme général \(u_n\) de la suite.
b) Calculer \(u_5\) et \(u_7\). Encadrer l'année à partir de laquelle \(u_n < 4\,000\).
c) Déterminer par essais successifs l'année exacte.
d) Calculer la valeur totale des dépréciations cumulées sur les 7 premières années : \(u_0 - u_7\).
a) \(u_n = 12\,000 \times 0{,}85^n\)
b) \(u_5 = 12\,000 \times 0{,}85^5 \approx 5\,325\,€ > 4\,000\) et \(u_7 = 12\,000 \times 0{,}85^7 \approx 3\,848\,€ < 4\,000\).
c) \(u_6 = 12\,000 \times 0{,}85^6 \approx 4\,527\,€ > 4\,000\) et \(u_7 \approx 3\,848 < 4\,000\). La PAC passe sous 4 000 € à l'année 7.
d) Dépréciation cumulée : \(12\,000 - 3\,848 = \mathbf{8\,152\,€}\).
Le chiffre d'affaires d'un atelier de menuiserie est de 150 000 € la première année. Il augmente de 5 % chaque année.
a) Identifier \(u_1\) et \(q\). Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
b) Calculer le chiffre d'affaires à la 6e année.
c) Calculer le chiffre d'affaires cumulé sur les 6 premières années à l'aide de la formule de la somme.
a) \(u_1 = 150\,000\), \(q = 1{,}05\). Le CA de la \(n\)-ième année est \(u_n = 150\,000 \times 1{,}05^{n-1}\).
b) \(u_6 = 150\,000 \times 1{,}05^5 = 150\,000 \times 1{,}2763 \approx \mathbf{191\,442\,€}\)
c) Somme de \(u_1\) à \(u_6\) (6 termes, premier terme 150 000, raison 1,05) :
\(S = 150\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^6}{1 - 1{,}05} = 150\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}3401}{-0{,}05} = 150\,000 \times 6{,}802 \approx \mathbf{1\,020\,300\,€}\)
Un technicien installe un système de régulation intelligente pour 8 000 €. Ce système permet une économie de 600 € la première année, et cette économie augmente de 4 % chaque année.
a) Montrer que les économies annuelles forment une suite géométrique. Donner \(u_1\) et \(q\).
b) Calculer le total des économies cumulées sur 10 ans.
c) Au bout de combien d'années les économies cumulées dépassent-elles le coût d'installation ? (Tester \(n = 10, 11, 12\).)
a) Chaque année, l'économie est multipliée par \(1{,}04\). Donc \(u_{n+1} = u_n \times 1{,}04\). C'est une suite géométrique : \(u_1 = 600\), \(q = 1{,}04\).
b) \(S_{10} = 600 \times \dfrac{1 - 1{,}04^{10}}{1 - 1{,}04} = 600 \times \dfrac{1 - 1{,}4802}{-0{,}04} = 600 \times 12{,}006 \approx \mathbf{7\,204\,€}\)
c) \(S_{10} \approx 7\,204 < 8\,000\).
\(S_{11} = 600 \times \dfrac{1 - 1{,}04^{11}}{-0{,}04} \approx 600 \times 13{,}486 \approx 8\,092 > 8\,000\).
Les économies cumulées dépassent le coût d'installation au bout de la 11e année.
Un capital de 10 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de \(t\,\%\). Après 8 ans, le capital atteint 13 685 €.
a) Écrire l'équation vérifiée par \(q\) : \(10\,000 \times q^8 = 13\,685\).
b) En déduire \(q^8 = ...\)
c) Utiliser la calculatrice pour trouver \(q\) : \(q = (...)^{1/8}\). En déduire le taux annuel \(t\).
d) Après combien d'années le capital doublera-t-il ? (Tester dans le tableau de valeurs.)
a) \(10\,000 \times q^8 = 13\,685\)
b) \(q^8 = \dfrac{13\,685}{10\,000} = 1{,}3685\)
c) \(q = 1{,}3685^{1/8} \approx \mathbf{1{,}04}\). Donc le taux annuel est \(t = (1{,}04 - 1) \times 100 = \mathbf{4\,\%}\).
d) On cherche \(n\) tel que \(u_n = 10\,000 \times 1{,}04^n \geq 20\,000\), soit \(1{,}04^n \geq 2\).
\(1{,}04^{17} \approx 1{,}948 < 2\) et \(1{,}04^{18} \approx 2{,}026 > 2\). Le capital double après 18 ans.
Barème : 20 points
Un atelier de menuiserie achète une raboteuse industrielle neuve à 18 000 €. Elle perd 12 % de sa valeur chaque année. L'atelier souhaite la revendre quand sa valeur descend sous 6 000 €.
a) Écrire le terme général \(u_n\) de la suite.
b) Calculer \(u_4\) et \(u_9\). Encadrer l'année à partir de laquelle \(u_n < 6\,000\).
c) Déterminer par essais successifs l'année exacte.
d) Calculer la valeur totale des dépréciations cumulées sur les 9 premières années : \(u_0 - u_9\).
a) \(u_n = 18\,000 \times 0{,}88^n\)
b) \(u_4 = 18\,000 \times 0{,}88^4 \approx 10\,798\,€ > 6\,000\) et \(u_9 = 18\,000 \times 0{,}88^9 \approx 5\,656\,€ < 6\,000\).
c) \(u_8 = 18\,000 \times 0{,}88^8 \approx 6\,427\,€ > 6\,000\) et \(u_9 \approx 5\,656 < 6\,000\). La raboteuse passe sous 6 000 € à l'année 9.
d) Dépréciation cumulée : \(18\,000 - 5\,656 = \mathbf{12\,344\,€}\).
Le loyer d'un local artisanal est de 12 000 € la première année. Il augmente de 3 % chaque année.
a) Identifier \(u_1\) et \(q\). Écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).
b) Calculer le loyer à la 8e année.
c) Calculer le total des loyers versés sur les 8 premières années à l'aide de la formule de la somme.
a) \(u_1 = 12\,000\), \(q = 1{,}03\). Le loyer de la \(n\)-ième année est \(u_n = 12\,000 \times 1{,}03^{n-1}\).
b) \(u_8 = 12\,000 \times 1{,}03^7 = 12\,000 \times 1{,}2299 \approx \mathbf{14\,759\,€}\)
c) Somme de \(u_1\) à \(u_8\) (8 termes, premier terme 12 000, raison 1,03) :
\(S = 12\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}03^8}{1 - 1{,}03} = 12\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}2668}{-0{,}03} = 12\,000 \times 8{,}892 \approx \mathbf{106\,710\,€}\)
Un plombier chauffagiste installe un système solaire thermique pour 10 000 €. Ce système permet une économie de 500 € la première année, et cette économie augmente de 3 % chaque année.
a) Montrer que les économies annuelles forment une suite géométrique. Donner \(u_1\) et \(q\).
b) Calculer le total des économies cumulées sur 12 ans.
c) Au bout de combien d'années les économies cumulées dépassent-elles le coût d'installation ? (Tester \(n = 14, 15, 16\).)
a) Chaque année, l'économie est multipliée par \(1{,}03\). Donc \(u_{n+1} = u_n \times 1{,}03\). C'est une suite géométrique : \(u_1 = 500\), \(q = 1{,}03\).
b) \(S_{12} = 500 \times \dfrac{1 - 1{,}03^{12}}{1 - 1{,}03} = 500 \times \dfrac{1 - 1{,}4258}{-0{,}03} = 500 \times 14{,}192 \approx \mathbf{7\,096\,€}\)
c) \(S_{14} = 500 \times \dfrac{1 - 1{,}03^{14}}{-0{,}03} \approx 500 \times 17{,}086 \approx 8\,543 < 10\,000\).
\(S_{15} \approx 500 \times 18{,}599 \approx 9\,299 < 10\,000\).
\(S_{16} \approx 500 \times 20{,}157 \approx 10\,078 > 10\,000\).
Les économies cumulées dépassent le coût d'installation au bout de la 16e année.
Un capital de 15 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de \(t\,\%\). Après 6 ans, le capital atteint 19 500 €.
a) Écrire l'équation vérifiée par \(q\) : \(15\,000 \times q^6 = 19\,500\).
b) En déduire \(q^6 = ...\)
c) Utiliser la calculatrice pour trouver \(q\) : \(q = (...)^{1/6}\). En déduire le taux annuel \(t\).
d) Après combien d'années le capital dépassera-t-il 25 000 € ? (Tester dans le tableau de valeurs.)
a) \(15\,000 \times q^6 = 19\,500\)
b) \(q^6 = \dfrac{19\,500}{15\,000} = 1{,}30\)
c) \(q = 1{,}30^{1/6} \approx \mathbf{1{,}045}\). Donc le taux annuel est \(t = (1{,}045 - 1) \times 100 = \mathbf{4{,}5\,\%}\).
d) On cherche \(n\) tel que \(u_n = 15\,000 \times 1{,}045^n \geq 25\,000\), soit \(1{,}045^n \geq \dfrac{5}{3} \approx 1{,}667\).
\(1{,}045^{11} \approx 1{,}623 < 1{,}667\) et \(1{,}045^{12} \approx 1{,}696 > 1{,}667\). Le capital dépasse 25 000 € après 12 ans.