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Chapitre 3 – Exercices par capacités

Suites géométriques  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une suite géométrique

Rappel de cours

Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q\) (avec \(u_n \neq 0\)). Ce rapport \(q\) est la raison. Si \(q > 1\) la suite est croissante, si \(0 < q < 1\) elle est décroissante, si \(q < 0\) les termes alternent de signe.

Exercice 1

Parmi les suites suivantes, lesquelles sont géométriques ? Pour celles qui le sont, préciser \(u_0\) et \(q\).

  1. 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162
  2. 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25
  3. 100 ; 85 ; 72{,}25 ; 61{,}41 ; …
  4. 1 ; −2 ; 4 ; −8 ; 16
  1. Géométrique : \(\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3\) → \(u_0 = 2\), \(q = 3\)
  2. Arithmétique (raison +5), pas géométrique.
  3. \(\frac{85}{100} = 0{,}85\) ; \(\frac{72{,}25}{85} = 0{,}85\) → Géométrique : \(u_0 = 100\), \(q = 0{,}85\)
  4. \(\frac{-2}{1} = -2\) ; \(\frac{4}{-2} = -2\) → Géométrique : \(u_0 = 1\), \(q = -2\)

Exercice 2

La valeur d'une pompe à chaleur diminue de 15 % chaque année. Elle vaut 12 000 € à l'achat.

  1. Quelle est la raison de la suite géométrique modélisant cette dépréciation ?
  2. Écrire les 4 premiers termes \(u_0, u_1, u_2, u_3\).
  1. Une diminution de 15 % signifie qu'on conserve 85 % → \(q = 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}\)
  2. \(u_0 = 12\,000\) ; \(u_1 = 12\,000 \times 0{,}85 = 10\,200\) ; \(u_2 = 10\,200 \times 0{,}85 = 8\,670\) ; \(u_3 = 8\,670 \times 0{,}85 = 7\,369{,}50\) €

Exercice 3

Le chiffre d'affaires d'un atelier de menuiserie augmente de 6 % chaque année. Il est de 180 000 € la première année. Identifier \(u_0\) et \(q\).

Une augmentation de 6 % : \(q = 1 + 0{,}06 = \mathbf{1{,}06}\)
\(u_0 = 180\,000\) €
Suite : \(u_n = 180\,000 \times 1{,}06^n\)

C2 — Calculer le terme général \(u_n = u_0 \times q^n\)

À retenir

Le terme général d'une suite géométrique est : \[u_n = u_0 \times q^n\] où \(u_0\) est le premier terme et \(q\) la raison. Ce résultat permet de calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les termes précédents.

Exercice 4

Calculer les termes demandés :

  1. Suite géométrique : \(u_0 = 3\), \(q = 2\). Calculer \(u_5\).
  2. Suite géométrique : \(u_0 = 100\), \(q = 0{,}9\). Calculer \(u_4\).
  3. Suite géométrique : \(u_0 = 500\), \(q = 1{,}05\). Calculer \(u_{10}\).
  1. \(u_5 = 3 \times 2^5 = 3 \times 32 = \mathbf{96}\)
  2. \(u_4 = 100 \times 0{,}9^4 = 100 \times 0{,}6561 = \mathbf{65{,}61}\)
  3. \(u_{10} = 500 \times 1{,}05^{10} \approx 500 \times 1{,}6289 \approx \mathbf{814{,}45}\)

Exercice 5

La valeur d'un équipement de génie climatique diminue de 15 % par an. Il vaut 12 000 € à l'achat. Quelle sera sa valeur après 5 ans ? Après 8 ans ?

\(u_n = 12\,000 \times 0{,}85^n\)
Après 5 ans : \(u_5 = 12\,000 \times 0{,}85^5 \approx 12\,000 \times 0{,}4437 \approx \mathbf{5\,325}\) €
Après 8 ans : \(u_8 = 12\,000 \times 0{,}85^8 \approx 12\,000 \times 0{,}2725 \approx \mathbf{3\,270}\) €

Exercice 6

Un artisan place 8 000 € sur un livret rémunéré à 3,5 % par an. Calculer le capital disponible après 6 ans.

\(u_n = 8\,000 \times 1{,}035^n\)
Après 6 ans : \(u_6 = 8\,000 \times 1{,}035^6 \approx 8\,000 \times 1{,}2293 \approx \mathbf{9\,834}\) €

C3 — Somme des premiers termes

À retenir

La somme de \(n\) termes consécutifs d'une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) est : \[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}\] Si \(q = 1\), tous les termes sont égaux et \(S = n \times u_0\).

Exercice 7

Rappel : \(S_n = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}\) (pour \(q \neq 1\)).
Calculer la somme \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}\) pour :

  1. \(u_0 = 1\), \(q = 2\), \(n = 6\) termes.
  2. \(u_0 = 100\), \(q = 0{,}5\), \(n = 4\) termes.
  1. \(S = 1 \times \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = \frac{1 - 64}{-1} = \frac{-63}{-1} = \mathbf{63}\)
  2. \(S = 100 \times \frac{1 - 0{,}5^4}{1 - 0{,}5} = 100 \times \frac{1 - 0{,}0625}{0{,}5} = 100 \times \frac{0{,}9375}{0{,}5} = 100 \times 1{,}875 = \mathbf{187{,}5}\)

Exercice 8

Un menuisier verse 2 000 € par an pendant 10 ans sur un compte à 4 % annuels. Quel est le montant total versé ? (Somme des 10 versements, sans capitalisation.)

Total versé (sans intérêts) : \(10 \times 2\,000 = \mathbf{20\,000}\) €
Avec capitalisation (chaque versement génère des intérêts) :
Le premier versement de 2000 € génère \(2000 \times 1{,}04^9\) après 10 ans, etc.
\(S = 2000 \times \frac{1{,}04^{10} - 1}{0{,}04} \approx 2000 \times \frac{0{,}4802}{0{,}04} \approx 2000 \times 12 = \mathbf{24\,012}\) €

Exercice 9

Le chiffre d'affaires d'un atelier est de 180 000 € la 1re année et augmente de 6 % par an. Calculer le CA cumulé sur 8 ans (\(u_0 + u_1 + \cdots + u_7\)).

\(S = 180\,000 \times \frac{1 - 1{,}06^8}{1 - 1{,}06} = 180\,000 \times \frac{1 - 1{,}5938}{-0{,}06} = 180\,000 \times \frac{-0{,}5938}{-0{,}06}\)
\(= 180\,000 \times 9{,}897 \approx \mathbf{1\,781\,000}\) €

C4 — Modéliser croissance et décroissance exponentielle

Rappel de cours

Un phénomène qui évolue d'un taux fixe \(t\%\) par période se modélise par une suite géométrique : augmentation de \(t\%\) → \(q = 1 + \frac{t}{100} > 1\) (croissance) ; diminution de \(t\%\) → \(q = 1 - \frac{t}{100}\) avec \(0 < q < 1\) (décroissance). Exemples : capital placé à intérêts composés, dépréciation d'un équipement, réduction d'une consommation énergétique.

Exercice 10

Mettre en place le modèle de suite géométrique pour chaque situation (donner \(u_0\), \(q\) et l'expression de \(u_n\)) :

  1. Un capital de 5 000 € placé à 2,5 % annuels.
  2. Un stock de matériaux qui diminue de 20 % par mois.
  3. La consommation énergétique d'un bâtiment rénovée : économie de 8 % par an, consommation initiale 25 000 kWh.
  1. \(u_0 = 5\,000\) ; \(q = 1{,}025\) ; \(u_n = 5\,000 \times 1{,}025^n\) €
  2. \(u_0 = \text{stock initial}\) ; \(q = 0{,}80\) ; \(u_n = u_0 \times 0{,}80^n\)
  3. \(u_0 = 25\,000\) ; \(q = 0{,}92\) (100 % − 8 %) ; \(u_n = 25\,000 \times 0{,}92^n\) kWh

Exercice 11

La concentration d'un produit chimique dans un circuit de chauffage diminue de 12 % par mois. La concentration initiale est 80 mg/L. Modéliser et calculer la concentration après 6 mois. En dessous de quelle valeur sera-t-elle après un an ?

\(u_n = 80 \times 0{,}88^n\)
Après 6 mois : \(u_6 = 80 \times 0{,}88^6 \approx 80 \times 0{,}4644 \approx \mathbf{37{,}2}\) mg/L
Après 12 mois : \(u_{12} = 80 \times 0{,}88^{12} \approx 80 \times 0{,}2157 \approx \mathbf{17{,}3}\) mg/L

C5 — Problèmes concrets : capital, amortissement, doublement

Rappel de cours

Pour trouver à quel rang \(n\) une suite dépasse (ou passe en dessous de) un seuil donné, calculer les termes successifs \(u_0, u_1, u_2, \ldots\) jusqu'à atteindre le seuil. La formule \(u_n = u_0 \times q^n\) permet un calcul direct, ou on peut utiliser le logarithme décimal pour une résolution exacte (C3 de ch05).

Exercice 12

La valeur d'une machine-outil est de 18 000 € à l'achat. Elle se déprécie de 20 % par an. Au bout de combien d'années sa valeur sera-t-elle inférieure à 4 000 € ? (Faire des calculs successifs.)

\(u_n = 18\,000 \times 0{,}8^n\)
\(u_1 = 14\,400\) ; \(u_2 = 11\,520\) ; \(u_3 = 9\,216\) ; \(u_4 = 7\,373\) ; \(u_5 = 5\,898\) ; \(u_6 = 4\,719\) ; \(u_7 = 3\,775 < 4\,000\)
La machine vaudra moins de 4 000 € à partir de l'année 7.

Exercice 13

Un artisan souhaite que son chiffre d'affaires double en partant de 120 000 €. Son CA augmente de 8 % par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ? (Calculer les termes jusqu'à atteindre 240 000 €.)

\(u_n = 120\,000 \times 1{,}08^n\)
\(u_5 \approx 176\,319\) ; \(u_8 \approx 222\,039\) ; \(u_9 \approx 239\,802\) ; \(u_{10} \approx 258\,987 > 240\,000\)
Le CA double approximativement à l'année 9 (il dépasse 240 000 € au cours de la 10e année).

Exercice 14

Un installateur thermique achète du matériel à crédit. Il rembourse 3 600 € la première année, puis chaque annuité est réduite de 5 % par rapport à la précédente. Calculer le total remboursé sur 6 ans.

Suite géométrique : \(u_0 = 3\,600\), \(q = 0{,}95\)
\(S = 3\,600 \times \frac{1 - 0{,}95^6}{1 - 0{,}95} = 3\,600 \times \frac{1 - 0{,}7351}{0{,}05} = 3\,600 \times \frac{0{,}2649}{0{,}05} = 3\,600 \times 5{,}298 \approx \mathbf{19\,073}\) €

C6 — Représenter le nuage \((n\,;\,u_n)\) et déterminer le sens de variation

Rappel de cours

Le nuage de points \((n\,;\,u_n)\) représente les termes de la suite. Pour une suite géométrique de raison \(q > 0\) et de premier terme \(u_0 > 0\) :
— Si \(q > 1\) : la suite est croissante (les points montent).
— Si \(0 < q < 1\) : la suite est décroissante (les points descendent).
— Si \(q = 1\) : la suite est constante.

Exercice 16

Soit \(u_n = 3 \times 2^n\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\).
  2. Placer les points \((n\,;\,u_n)\) dans un repère.
  3. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier à l'aide de \(q\).
  1. \(u_0 = 3\), \(u_1 = 6\), \(u_2 = 12\), \(u_3 = 24\), \(u_4 = 48\).
  2. Points : \((0\,;\,3)\), \((1\,;\,6)\), \((2\,;\,12)\), \((3\,;\,24)\), \((4\,;\,48)\). Les points montent de plus en plus vite (croissance exponentielle).
  3. \(q = 2 > 1\) et \(u_0 = 3 > 0\) → la suite est strictement croissante.

Exercice 17

La valeur d'un équipement de chantier diminue de 15 % par an. Sa valeur initiale est 8 000 €.

  1. Exprimer la valeur \(v_n\) après \(n\) années (identifier \(q\)).
  2. Calculer \(v_0\) à \(v_5\) et représenter le nuage de points.
  3. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
  4. À partir de quel rang la valeur passe-t-elle sous 3 000 € ?
  1. Diminution de 15 % → coefficient multiplicateur \(q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Donc \(v_n = 8\,000 \times 0{,}85^n\).
  2. \(v_0 = 8\,000\), \(v_1 = 6\,800\), \(v_2 = 5\,780\), \(v_3 = 4\,913\), \(v_4 = 4\,176\), \(v_5 = 3\,550\).
  3. \(0 < q = 0{,}85 < 1\) et \(v_0 > 0\) → la suite est strictement décroissante.
  4. \(v_5 = 3\,550 > 3\,000\) et \(v_6 = 3\,550 \times 0{,}85 = 3\,017 > 3\,000\) et \(v_7 = 3\,017 \times 0{,}85 \approx 2\,565 < 3\,000\). → À partir du rang 7.