Chapitre 3 – Suites numériques | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
En 1202, le moine italien Leonardo Fibonacci écrit dans son livre Liber Abaci :
« Combien de couples de lapins peut-on obtenir d'un couple en un an, si chaque couple engendre un nouveau couple chaque mois, lequel commence à se reproduire à partir du second mois ? »
Cette énigme donne la suite F_n :
| Phénomène | Nombres observés (Fibonacci) |
|---|---|
| Pétales (rose, marguerite, lis) | 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 |
| Spirales d'un tournesol | 21 horaires + 34 anti-horaires (ou 34/55, 55/89) |
| Écailles d'une pomme de pin | 5 + 8, ou 8 + 13 |
| Branches d'arbres par étage | 1, 1, 2, 3, 5, 8... |
| Coquille du Nautilus | spirale logarithmique selon le ratio φ |
| Étoile de mer, méduse | 5 bras (souvent) |
📚 Cette activité approfondit les notions du cours §3 (suite récurrente d'ordre 2) par une dimension culturelle et historique.
Calculer les 12 premiers termes de la suite de Fibonacci.
F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 1+1 = 2, F₄ = 1+2 = 3, F₅ = 2+3 = 5, F₆ = 3+5 = 8.
F₇ = 5+8 = 13, F₈ = 8+13 = 21, F₉ = 13+21 = 34, F₁₀ = 21+34 = 55.
F₁₁ = 34+55 = 89, F₁₂ = 55+89 = 144.
Réponse à l'énigme du moine : 144 couples de lapins après 12 mois.
Calculer les rapports F_(n+1) / F_n pour n = 1 à 10. Vers quel nombre tendent-ils ?
| n | F_(n+1) / F_n | Valeur |
|---|---|---|
| 1 | 1 / 1 | 1,000 |
| 2 | 2 / 1 | 2,000 |
| 3 | 3 / 2 | 1,500 |
| 4 | 5 / 3 | 1,667 |
| 5 | 8 / 5 | 1,600 |
| 6 | 13 / 8 | 1,625 |
| 7 | 21 / 13 | 1,615 |
| 10 | 89 / 55 | 1,6182 |
Les rapports tendent vers le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887...
Vérifier que φ vérifie l'équation φ² = φ + 1.
φ² = ((1 + √5) / 2)² = (1 + 2√5 + 5) / 4 = (6 + 2√5) / 4 = (3 + √5) / 2.
φ + 1 = (1 + √5)/2 + 1 = (1 + √5 + 2) / 2 = (3 + √5) / 2.
Égalité ✓. Cette propriété est cohérente avec la relation de Fibonacci : F_(n+2) = F_(n+1) + F_n se traduit, en passant à la limite des rapports, par φ² = φ + 1.
Pourquoi la suite Fibonacci apparaît-elle dans les pétales, les pommes de pin et les tournesols ?
Les plantes disposent leurs feuilles, pétales et graines selon un angle d'or (≈ 137,5° = 360° / φ²).
Cet angle assure une exposition optimale au soleil : aucune feuille ne fait d'ombre directe à la suivante. C'est l'angle qui permet la meilleure répartition.
Cette disposition crée des spirales dont le nombre suit Fibonacci. Sur un tournesol typique : 21 spirales horaires + 34 anti-horaires (deux Fibonacci consécutifs).
C'est un exemple d'optimisation par évolution : la nature « découvre » les maths sans les calculer. Les plantes qui poussaient avec un angle non optimal étaient moins productives → sélection naturelle.
Citer 3 utilisations du nombre d'or dans l'art, l'architecture ou le design.
Le ratio φ est jugé esthétiquement harmonieux par le cerveau humain (raison neurologique encore débattue).
Construire un rectangle d'or : si la largeur fait 10 cm, quelle est la longueur ?
Rectangle d'or : longueur / largeur = φ.
Longueur = 10 × 1,618 = 16,18 cm.
Propriété remarquable : si on enlève un carré (10 × 10) du rectangle d'or, ce qui reste est un autre rectangle d'or de dimensions 10 × 6,18 ! C'est une propriété d'auto-similarité.
Cette propriété fait que la spirale dorée est une spirale logarithmique (zoom infini sur elle-même).
Le ratio largeur/hauteur d'une carte de crédit est environ 1,586 (proche de φ). Citer d'autres objets du quotidien dont les proportions sont proches du nombre d'or.
L'utilisation de φ en design n'est pas systématique, mais elle reste une référence esthétique.
Rédiger en 5 lignes une présentation pour un panneau d'exposition « Fibonacci, le code secret de la nature ».
FIBONACCI — Le code secret de la nature
Au XIIIᵉ siècle, le moine Leonardo Fibonacci découvre une suite simple : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... (chaque terme est la somme des deux précédents).
Stupéfaction : cette suite apparaît partout dans la nature ! Pétales de fleurs (3, 5, 8, 13...), spirales de tournesols (21+34), pommes de pin, coquillages, et même les proportions du corps humain.
La raison : les rapports successifs (1/1, 2/1, 3/2, 5/3...) tendent vers le nombre d'or φ ≈ 1,618, qui correspond à un angle de croissance optimal pour l'exposition au soleil.
Du Parthénon à la Joconde, en passant par les coquillages : les mathématiques expriment l'harmonie universelle.
Le ratio Fibonacci est utilisé en finance : « retracements de Fibonacci » pour prédire les cours boursiers. Les niveaux 38,2 %, 50 %, 61,8 % sont calculés à partir de Fibonacci. Que penser de cette utilisation ?
61,8 % = 1 / φ. 38,2 % = 1 / φ². Ces niveaux sont parfois utilisés en analyse technique boursière.
Critique scientifique :
Conclusion : c'est une « superstition mathématique » qui marche partiellement par effet de groupe, pas par lois naturelles. À ne pas confondre avec les vraies applications scientifiques de Fibonacci (biologie, cristallographie).