Chapitre 3 – Suites numériques | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Sami, gestionnaire d'un étang de pêche associatif, modélise la population de carpes pour planifier sa pêche annuelle. Sans intervention, la population augmente de 10 % par an grâce à la reproduction, mais l'étang ne peut pas dépasser 5 000 individus (saturation des ressources : nourriture, oxygène, espace).
Sans pêche : P_(n+1) = P_n + 0,10 × P_n × (1 − P_n / 5 000)
Avec pêche : P_(n+1) = P_n + 0,10 × P_n × (1 − P_n / 5 000) − Q (Q = pêche annuelle)
P_n = nombre de carpes en année n. Données : P₀ = 800. Pêche actuelle : Q = 200/an.
📚 Cette activité réinvestit le calcul de termes par récurrence (cours §3) et prolonge le chapitre vers les suites récurrentes générales (hors programme, voir bandeau ci-dessus).
Sans pêche (modèle naturel), calculer P₁ et P₂.
P₁ = 800 + 0,10 × 800 × (1 − 800/5000) = 800 + 80 × 0,84 = 800 + 67,2 ≈ 867.
P₂ = 867 + 0,10 × 867 × (1 − 867/5000) = 867 + 86,7 × 0,827 ≈ 939.
La population croît rapidement (+ 67, + 72) car elle est loin de la capacité maximale (5 000).
Sans pêche, vers quelle valeur tend P quand n devient grand ? Justifier.
À l'équilibre, P_(n+1) = P_n, donc :
0,10 × P × (1 − P/5000) = 0
D'où P = 0 (extinction) ou P = 5 000 (saturation).
Comme P₀ = 800 (≠ 0 et < 5 000), la population tend vers 5 000 = capacité maximale.
Croissance rapide au départ, puis ralentit en approchant de 5 000 (sigmoïde).
Avec la pêche de 200/an, calculer P₁ et P₂. Que constate-t-on ?
P₁ = 867 − 200 = 667.
P₂ = 667 + 0,10 × 667 × (1 − 667/5000) − 200 = 667 + 66,7 × 0,867 − 200 ≈ 525.
La population baisse : 800 → 667 → 525 ! La pêche dépasse la croissance naturelle.
En itérant sur tableur, à quel rythme la population décroît-elle ? Vers quelle valeur tend-elle ?
En itérant : P₃ ≈ 350, P₄ ≈ 175, P₅ < 0.
La population s'effondre en 5-6 ans. Extinction.
La pêche actuelle (200/an) n'est pas durable. Sami doit changer sa pratique sinon il perdra l'étang.
Calculer la croissance naturelle annuelle de la population à différents niveaux : P = 1 000, 2 500, 4 000.
Croissance = 0,10 × P × (1 − P/5000) :
La croissance est maximale à P = K/2 = 2 500 (1/4 de la croissance brute du milieu).
C'est la propriété fondamentale du modèle logistique.
Quelle pêche maximale Q_max Sami peut-il prélever sans épuiser l'étang ?
Pour une pêche durable, il faut Q ≤ croissance naturelle.
Le maximum de la croissance est 125 carpes/an (atteint à P = 2 500).
Donc Q_max = 125 carpes/an.
Sami pêche actuellement 200 → trop. Il doit baisser à 100-125/an pour assurer la durabilité.
En écologie, c'est le concept de « rendement maximal soutenable » (MSY = Maximum Sustainable Yield).
Avec une pêche de 100/an (durable), vers quelle valeur tend la population à long terme ?
À l'équilibre : 0,10 × P × (1 − P/5000) = 100.
Soit 0,10 P − P²/50 000 = 100, ou P² − 5 000 P + 5 000 000 = 0.
Δ = 25 000 000 − 20 000 000 = 5 000 000.
P = (5 000 ± 2 236) / 2 = 3 618 ou 1 382.
L'équilibre stable est à 3 618 carpes (l'autre est instable). Tend vers 3 618 si on commence assez haut.
Sami peut donc pêcher 100/an et maintenir une population stable d'environ 3 600 carpes. Pratique durable.
Rédiger en 5 lignes une note pour le bureau de l'association : recommandations de gestion de l'étang.
Note — Gestion durable de l'étang associatif
Diagnostic : la pêche actuelle de 200 carpes/an est non durable. La modélisation prévoit l'épuisement total de l'étang en 5-6 ans si rien ne change.
Recommandation : limiter la pêche à 100-125 carpes/an maximum. À ce rythme, la population se stabilisera autour de 3 600 individus, garantissant un étang sain et productif sur le long terme.
Action : informer les membres, mettre en place un compteur des prises, organiser un suivi annuel de la population (échantillonnage). Réviser le règlement intérieur.
Le modèle logistique a été inventé par Verhulst en 1838 pour modéliser la population humaine mondiale. Il prédisait une saturation à ~ 9-10 milliards d'humains. Notre population actuelle est ~ 8 milliards. Le modèle reste-t-il valide ?
Verhulst a estimé K (capacité de la Terre) à environ 9-10 milliards. À sa mort (1849), la population était ~ 1,2 milliard.
Aujourd'hui (2026) : ~ 8 milliards. La courbe ralentit (taux de natalité en baisse mondialement).
Les projections ONU prévoient un pic vers 2080 entre 9 et 11 milliards, puis légère diminution.
Le modèle de Verhulst, bien qu'imparfait, reste remarquablement prédictif sur 200 ans !
Limites : il ne tient pas compte des révolutions technologiques (agriculture intensive, médecine, énergie) qui peuvent changer K. Mais l'idée d'une saturation est validée.