Chapitre 3 – Suites numériques | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Maxime, jeune chef d'atelier, emprunte 200 000 € pour acheter sa première maison. Il signe avec sa banque un crédit à taux fixe de 3,5 % annuel et rembourse 10 000 € par an. Combien d'années lui faudra-t-il pour rembourser, et combien d'intérêts paiera-t-il au total ?
Soit C_n le capital restant dû à la fin de l'année n :
Explication : chaque année, le capital augmente de 3,5 % d'intérêts (× 1,035), puis on retire la mensualité annuelle (− 10 000 €).
📚 Cette activité réinvestit le calcul de termes par récurrence (cours §3) et prolonge le chapitre vers les suites arithmético-géométriques (hors programme, voir bandeau ci-dessus).
Calculer C₁, C₂ et C₃ (capitaux restants en fin d'années 1, 2, 3).
Le capital baisse lentement : 3 000 € la 1ère année, 3 105 € la 2ème, 3 214 € la 3ème.
La majorité des 10 000 € versés couvre les intérêts, pas le remboursement du capital.
Pour C₁, identifier la part « intérêts » et la part « capital remboursé » dans les 10 000 € versés.
Intérêts année 1 : 200 000 × 0,035 = 7 000 €.
Capital remboursé : 10 000 − 7 000 = 3 000 €.
70 % de la mensualité va aux intérêts, 30 % au remboursement réel ! C'est typique du début d'un crédit : les premières années, on paie surtout les intérêts.
En utilisant un tableur ou une calculatrice (mode itératif), trouver l'année où C devient nul. Combien d'années pour rembourser ?
En itérant : C₁₀ ≈ 162 600 ; C₂₀ ≈ 91 200 ; C₂₅ ≈ 39 600 ; C₂₈ ≈ 12 700 ; C₂₉ ≈ 3 145 ; C₃₀ < 0.
Donc environ 30 ans pour rembourser.
(Plus précisément, dernière mensualité un peu plus petite à l'année 30.)
Calculer le total versé par Maxime sur 30 ans, et en déduire le coût total des intérêts.
Total versé : 30 × 10 000 = 300 000 €.
Capital emprunté : 200 000 €.
Intérêts payés : 300 000 − 200 000 = 100 000 €.
Soit 50 % du capital emprunté en intérêts ! Une maison de 200 k€ payée 300 k€ au final.
Si Maxime double sa mensualité (20 000 €/an), en combien d'années rembourse-t-il et combien d'intérêts paie-t-il ?
Nouvelle suite : C_(n+1) = 1,035 × C_n − 20 000.
En itérant : C atteint 0 en environ 12 ans.
Total versé : 12 × 20 000 = 240 000 €. Intérêts : 240 000 − 200 000 = 40 000 €.
Économie : 100 000 − 40 000 = 60 000 € en doublant la mensualité.
Conclusion : plus on rembourse vite, plus on paie peu d'intérêts. C'est exponentiel.
Si le taux d'intérêt monte de 3,5 % à 5 % (taux des années 80-90), combien d'intérêts paierait Maxime sur 30 ans (mensualité 10 000 €) ?
Suite : C_(n+1) = 1,05 × C_n − 10 000.
Calcul (tableur) : Maxime ne rembourserait jamais à ce rythme ! Le capital reste autour de 200 000 € (les intérêts annuels = 10 000 € exactement la mensualité).
En réalité, à 5 %, il faut au moins 12 000 €/an pour finir un emprunt de 200 k€ en 30 ans. Avec 10 000 €, il faudrait 50 ans ou plus.
L'effet du taux est énorme : un demi-pourcent de plus peut rallonger énormément la durée.
Pour acheter une maison plus chère (300 k€), Maxime augmente sa mensualité à 15 000 €/an. Calculer la durée de remboursement et les intérêts (taux 3,5 %).
Suite : C_(n+1) = 1,035 × C_n − 15 000, avec C₀ = 300 000.
En itérant : C atteint 0 en environ 30 ans.
Total versé : 30 × 15 000 = 450 000 €. Intérêts : 150 000 €.
Cas comparable au premier (proportions similaires : 1/3 d'intérêts sur le total) car même taux et durée.
Rédiger en 5 lignes des conseils pratiques à un jeune qui veut emprunter pour sa 1ère maison.
Premier crédit immobilier — 5 conseils mathématiques
La suite C_(n+1) = a × C_n + b est dite « arithmético-géométrique ». Sa limite (si elle existe) est b / (1 − a). Pour notre crédit (a = 1,035, b = −10 000) : que vaut cette limite ? Que signifie-t-elle ?
Limite théorique : L = b / (1 − a) = −10 000 / (1 − 1,035) = −10 000 / (−0,035) = 285 714 €.
Interprétation : si Maxime n'avait emprunté que 285 714 €, ses 10 000 €/an couvriraient exactement les intérêts → le capital resterait constant et il ne finirait jamais de rembourser !
Avec 200 000 € (< 285 714), le capital diminue → il finit par rembourser.
Avec 300 000 € (> 285 714), le capital croît → il s'enfonce dans la dette.
Cette limite est utile pour comprendre quand un crédit est soutenable. Règle pratique : mensualité > intérêts annuels du capital initial.