Chapitre 2 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
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Rappels – Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est toujours un nombre :
Rappels – Événement contraire
Si \(P(A) = 0{,}3\), alors \(P(\bar{A})\) vaut :
Tableau croisé – Lecture
Dans un tableau croisé, on contrôle 400 pièces. 280 viennent de l'atelier A. Quelle est la probabilité qu'une pièce vienne de A ?
On contrôle 500 panneaux. 20 sont défectueux. Quelle est \(P(D)\) ?
Arbre – Règle fondamentale
Sur un nœud d'un arbre de probabilités, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut :
Arbre – Compléter une branche
Sur un nœud, une branche vaut 0,65. L'autre branche vaut :
Arbre – Probabilité d'un chemin
Pour calculer la probabilité d'un chemin, on :
Arbre – Calcul simple
Un chemin passe par deux branches : 0,60 puis 0,05. La probabilité de ce chemin est :
Probabilité conditionnelle – Vocabulaire
\(P_B(A)\) se lit :
Probabilité conditionnelle – Lecture sur l'arbre
Sur un arbre, la probabilité écrite sur la deuxième branche (après le nœud A) est :
Probabilités totales – Identification
Pour calculer \(P(D)\) quand D peut arriver par deux chemins (via A ou via B), on :
Probabilités totales – Calcul
Un chemin donne \(P(A \cap D) = 0{,}03\), un autre \(P(B \cap D) = 0{,}05\). Donc \(P(D) =\) :
Indépendance – Reconnaître
Deux événements A et B sont indépendants si :
Indépendance – Calcul simple
Deux machines indépendantes ont \(P(M_1) = 0{,}10\) et \(P(M_2) = 0{,}05\). \(P(M_1 \cap M_2) =\) :
Événement contraire – Application
La probabilité qu'une installation soit défectueuse est 0,08. Quelle est la probabilité qu'elle soit conforme ?
Tableau croisé – Probabilité d'une intersection
On contrôle 200 chauffe-eaux. 120 viennent de l'atelier A, dont 6 sont défectueux. \(P(A \cap D) =\) :
Probabilité conditionnelle – Formule
La formule de la probabilité conditionnelle est :
Probabilité conditionnelle – Calcul
On sait que \(P(A \cap D) = 0{,}03\) et \(P(A) = 0{,}60\). Alors \(P_A(D) =\) :
Arbre – Construire un chemin
70 % des panneaux viennent de F1. Chez F1, 4 % sont défectueux. \(P(F1 \cap D) =\) :
Probabilités totales
Avec \(P(F1 \cap D) = 0{,}028\) et \(P(F2 \cap D) = 0{,}030\), on obtient \(P(D) =\) :
Probabilités totales – Formule
La formule des probabilités totales s'écrit :
Probabilité conditionnelle – Attention
\(P_B(A)\) et \(P_A(B)\) sont :
Arbre – Compléter
60 % des logements sont câblés par l'équipe A. Parmi ceux de A, 3 % sont non conformes. \(P(A \cap \text{NC}) =\) :
Indépendance – Vérification
\(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}3\), \(P(A \cap B) = 0{,}12\). A et B sont-ils indépendants ?
Indépendance – Application
Deux circuits indépendants : \(P(\text{panne}_1) = 0{,}04\), \(P(\text{panne}_2) = 0{,}07\). Probabilité qu'aucun ne soit en panne :
Événement contraire – Probabilités totales
Si \(P(D) = 0{,}058\), alors \(P(\text{Conforme}) =\) :
Arbre – Vérification
Les probabilités des 4 feuilles d'un arbre à deux niveaux sont : 0,028 ; 0,672 ; 0,030 ; 0,270. Leur somme vaut :
Incompatible vs indépendant
Deux événements incompatibles vérifient :
Probabilité conditionnelle – Contexte pro
Un installateur thermique contrôle 300 vannes. 210 viennent du fournisseur V1 et 12 de ces 210 sont défectueuses. \(P_{V1}(D) =\) :
Probabilités composées
La formule \(P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)\) s'appelle :
Probabilité conditionnelle – Calcul inverse
On sait que \(P(D) = 0{,}08\) et \(P(A \cap D) = 0{,}03\). Alors \(P_D(A) =\) :
Probabilités totales – Résolution
Une usine a deux chaînes : C1 produit 55 % des pièces (taux défaut 6 %), C2 produit 45 % (taux défaut 3 %). \(P(D) =\) :
Indépendance – Trois événements
Trois machines indépendantes tombent en panne avec \(p_1 = 0{,}10\), \(p_2 = 0{,}05\), \(p_3 = 0{,}02\). Probabilité qu'aucune ne tombe en panne :
Probabilité conditionnelle – Interprétation
\(P_A(D) = 0{,}05\) signifie :
Indépendance – Au moins un
Deux systèmes indépendants : \(P(S_1) = 0{,}10\), \(P(S_2) = 0{,}15\). Probabilité qu'au moins un fonctionne en panne :
Arbre – Trois branches
Un entrepôt reçoit des panneaux de 3 fournisseurs : F1 (50 %), F2 (30 %), F3 (20 %). Le taux de défaut est 2 %, 5 % et 8 %. \(P(D) =\) :
Probabilité conditionnelle inverse
Avec les données de la Q6, sachant qu'un panneau est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de F3 ?
Indépendance – Conséquence
Si A et B sont indépendants, alors \(P_B(A) =\) :
Indépendance – Test numérique
\(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). A et B sont :
Probabilité conditionnelle – Formule inversée
On peut écrire \(P(A \cap B) =\) :
Arbre – Contexte professionnel
Un menuisier agenceur commande du bois chez deux scieries. S1 fournit 65 % (défaut 3 %), S2 fournit 35 % (défaut 9 %). \(P(\text{Conforme}) =\) :
Indépendance – Contraire
Si A et B sont indépendants, alors \(\bar{A}\) et \(\bar{B}\) sont :
Probabilités totales – Trois scénarios
Quand un événement D peut arriver par trois chemins (via F1, F2 ou F3), la formule des probabilités totales donne :
Contexte pro – Raisonnement complet
Un technicien CVC contrôle 1 000 installations. 60 % par l'équipe A (taux NC : 3 %), 40 % par B (taux NC : 8 %). Combien de tableaux non conformes s'attend-il à trouver ?
Raisonnement – Cohérence d'un arbre
Un élève construit un arbre et trouve ces probabilités de feuilles : 0,12 ; 0,48 ; 0,08 ; 0,30. Son arbre est-il correct ?