Probabilités — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Compléter avec le mot correct : événement contraire, probabilité conditionnelle, indépendance.
a) \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) est la formule de l' ...................
b) \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) est la formule de la ...................
c) Quand \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), on parle d' ...................
a) événement contraire
b) probabilité conditionnelle
c) indépendance
La probabilité qu'un panneau de bois soit défectueux est \(P(D) = 0{,}06\).
a) Calculer la probabilité qu'un panneau soit conforme.
b) Sur 500 panneaux, combien s'attend-on à trouver de panneaux défectueux ?
a) \(P(\text{Conforme}) = 1 - 0{,}06 = \mathbf{0{,}94}\)
b) \(0{,}06 \times 500 = \mathbf{30}\) panneaux défectueux.
On contrôle 200 chauffe-eaux produits par deux ateliers :
| Défectueux (D) | Conforme (C) | Total | |
|---|---|---|---|
| Atelier A | 6 | 114 | 120 |
| Atelier B | 10 | 70 | 80 |
| Total | 16 | 184 | 200 |
On prend un chauffe-eau au hasard. Calculer :
a) \(P(A) = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) \(P(D) = \dfrac{...}{...} = ...\)
c) \(P(A \cap D) = \dfrac{...}{...} = ...\)
a) \(P(A) = \dfrac{120}{200} = \mathbf{0{,}60}\)
b) \(P(D) = \dfrac{16}{200} = \mathbf{0{,}08}\)
c) \(P(A \cap D) = \dfrac{6}{200} = \mathbf{0{,}03}\)
Compléter l'arbre de probabilités :
Branche A : \(P(A) = 0{,}60\) → branche D : \(P_A(D) = 0{,}05\) → branche C : \(P_A(C) = ...\)
Branche B : \(P(B) = ...\) → branche D : \(P_B(D) = 0{,}125\) → branche C : \(P_B(C) = ...\)
Calculer \(P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = ... \times ... = ...\)
\(P_A(C) = 1 - 0{,}05 = \mathbf{0{,}95}\)
\(P(B) = 1 - 0{,}60 = \mathbf{0{,}40}\)
\(P_B(C) = 1 - 0{,}125 = \mathbf{0{,}875}\)
\(P(A \cap D) = 0{,}60 \times 0{,}05 = \mathbf{0{,}030}\)
Un technicien vérifie deux circuits indépendants. La probabilité de panne est 0,04 pour le circuit 1 et 0,07 pour le circuit 2.
a) Calculer la probabilité que les deux soient en panne : \(P(P_1 \cap P_2) = ... \times ... = ...\)
b) Calculer la probabilité qu'aucun ne soit en panne : \(P(\bar{P_1} \cap \bar{P_2}) = ... \times ... = ...\)
a) \(P(P_1 \cap P_2) = 0{,}04 \times 0{,}07 = \mathbf{0{,}0028}\)
b) \(P(\bar{P_1} \cap \bar{P_2}) = 0{,}96 \times 0{,}93 = \mathbf{0{,}8928}\)
Barème : 20 points
Compléter avec le mot correct : événements incompatibles, formule des probabilités totales, événement contraire.
a) \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) est la formule de l' ...................
b) Si \(A \cap B = \emptyset\), on dit que les événements sont ...................
c) \(P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)\) est la ...................
a) événement contraire
b) événements incompatibles
c) formule des probabilités totales
La probabilité qu'une planche de bois soit défectueuse est \(P(D) = 0{,}08\).
a) Calculer la probabilité qu'une planche soit conforme.
b) Sur 400 planches, combien s'attend-on à trouver de planches défectueuses ?
a) \(P(\text{Conforme}) = 1 - 0{,}08 = \mathbf{0{,}92}\)
b) \(0{,}08 \times 400 = \mathbf{32}\) planches défectueuses.
On contrôle 250 radiateurs produits par deux usines :
| Défectueux (D) | Conforme (C) | Total | |
|---|---|---|---|
| Usine X | 8 | 142 | 150 |
| Usine Y | 12 | 88 | 100 |
| Total | 20 | 230 | 250 |
On prend un radiateur au hasard. Calculer :
a) \(P(X) = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) \(P(D) = \dfrac{...}{...} = ...\)
c) \(P(X \cap D) = \dfrac{...}{...} = ...\)
a) \(P(X) = \dfrac{150}{250} = \mathbf{0{,}60}\)
b) \(P(D) = \dfrac{20}{250} = \mathbf{0{,}08}\)
c) \(P(X \cap D) = \dfrac{8}{250} = \mathbf{0{,}032}\)
Compléter l'arbre de probabilités :
Branche X : \(P(X) = 0{,}70\) → branche D : \(P_X(D) = 0{,}04\) → branche C : \(P_X(C) = ...\)
Branche Y : \(P(Y) = ...\) → branche D : \(P_Y(D) = 0{,}10\) → branche C : \(P_Y(C) = ...\)
Calculer \(P(X \cap D) = P(X) \times P_X(D) = ... \times ... = ...\)
\(P_X(C) = 1 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}96}\)
\(P(Y) = 1 - 0{,}70 = \mathbf{0{,}30}\)
\(P_Y(C) = 1 - 0{,}10 = \mathbf{0{,}90}\)
\(P(X \cap D) = 0{,}70 \times 0{,}04 = \mathbf{0{,}028}\)
Un technicien vérifie deux vannes indépendantes. La probabilité de fuite est 0,05 pour la vanne 1 et 0,08 pour la vanne 2.
a) Calculer la probabilité que les deux soient en fuite : \(P(F_1 \cap F_2) = ... \times ... = ...\)
b) Calculer la probabilité qu'aucune ne soit en fuite : \(P(\bar{F_1} \cap \bar{F_2}) = ... \times ... = ...\)
a) \(P(F_1 \cap F_2) = 0{,}05 \times 0{,}08 = \mathbf{0{,}004}\)
b) \(P(\bar{F_1} \cap \bar{F_2}) = 0{,}95 \times 0{,}92 = \mathbf{0{,}874}\)
Barème : 20 points
Rappeler les formules suivantes :
a) Probabilité de l'événement contraire de A.
b) Probabilité conditionnelle de A sachant B.
c) Formule des probabilités totales (avec B et \(\bar{B}\)).
a) \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
b) \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
c) \(P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)\)
On contrôle 500 panneaux de bois venant de deux fournisseurs :
| Défectueux | Conforme | Total | |
|---|---|---|---|
| Fournisseur F1 | 15 | 285 | 300 |
| Fournisseur F2 | 25 | 175 | 200 |
| Total | 40 | 460 | 500 |
On prend un panneau au hasard.
a) Calculer \(P(F1)\), \(P(D)\) et \(P(F1 \cap D)\).
b) Calculer \(P_{F1}(D)\). Interpréter le résultat.
c) Calculer \(P_{F2}(D)\). Quel fournisseur a le plus grand taux de défaut ?
a) \(P(F1) = \frac{300}{500} = 0{,}60\) ; \(P(D) = \frac{40}{500} = 0{,}08\) ; \(P(F1 \cap D) = \frac{15}{500} = 0{,}03\)
b) \(P_{F1}(D) = \frac{P(F1 \cap D)}{P(F1)} = \frac{0{,}03}{0{,}60} = \mathbf{0{,}05}\). Parmi les panneaux de F1, 5 % sont défectueux.
c) \(P_{F2}(D) = \frac{25}{200} = \mathbf{0{,}125}\). F2 a le plus grand taux de défaut (12,5 % contre 5 %).
Un installateur thermique contrôle des climatiseurs provenant de deux marques : M1 (80 % de la production, taux de panne 2 %) et M2 (20 %, taux de panne 6 %).
a) Construire un arbre de probabilités à deux niveaux.
b) Calculer la probabilité qu'un climatiseur pris au hasard soit en panne.
c) Calculer la probabilité qu'il soit en bon état.
a) Branche M1 (0,80) → P (0,02) / NP (0,98). Branche M2 (0,20) → P (0,06) / NP (0,94).
b) \(P(\text{Panne}) = 0{,}80 \times 0{,}02 + 0{,}20 \times 0{,}06 = 0{,}016 + 0{,}012 = \mathbf{0{,}028}\)
c) \(P(\text{Bon état}) = 1 - 0{,}028 = \mathbf{0{,}972}\)
Deux machines fonctionnent de manière indépendante. La probabilité de panne est 0,05 pour la machine A et 0,03 pour la machine B.
a) Calculer la probabilité que les deux machines tombent en panne.
b) Calculer la probabilité qu'au moins une machine tombe en panne.
a) \(P(A \cap B) = 0{,}05 \times 0{,}03 = \mathbf{0{,}0015}\)
b) \(P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}) = 1 - (1-0{,}05)(1-0{,}03) = 1 - 0{,}95 \times 0{,}97 = 1 - 0{,}9215 = \mathbf{0{,}0785}\)
On sait que \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). A et B sont-ils indépendants ? Justifier.
\(P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}20\)
Or \(P(A \cap B) = 0{,}20\).
Comme \(P(A) \times P(B) = P(A \cap B)\), A et B sont indépendants.
Barème : 20 points
Rappeler les formules suivantes :
a) Formule de la probabilité d'une réunion de deux événements \(P(A \cup B)\).
b) Probabilité conditionnelle de B sachant A.
c) Condition d'indépendance de deux événements A et B.
a) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
b) \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
c) A et B sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
On contrôle 400 tuyaux venant de deux fabricants :
| Défectueux | Conforme | Total | |
|---|---|---|---|
| Fabricant A | 10 | 190 | 200 |
| Fabricant B | 30 | 170 | 200 |
| Total | 40 | 360 | 400 |
On prend un tuyau au hasard.
a) Calculer \(P(A)\), \(P(D)\) et \(P(A \cap D)\).
b) Calculer \(P_A(D)\). Interpréter le résultat.
c) Calculer \(P_B(D)\). Quel fabricant a le plus grand taux de défaut ?
a) \(P(A) = \frac{200}{400} = 0{,}50\) ; \(P(D) = \frac{40}{400} = 0{,}10\) ; \(P(A \cap D) = \frac{10}{400} = 0{,}025\)
b) \(P_A(D) = \frac{P(A \cap D)}{P(A)} = \frac{0{,}025}{0{,}50} = \mathbf{0{,}05}\). Parmi les tuyaux de A, 5 % sont défectueux.
c) \(P_B(D) = \frac{30}{200} = \mathbf{0{,}15}\). Le fabricant B a le plus grand taux de défaut (15 % contre 5 %).
Un plombier chauffagiste contrôle des chaudières provenant de deux marques : M1 (70 % de la production, taux de panne 3 %) et M2 (30 %, taux de panne 8 %).
a) Construire un arbre de probabilités à deux niveaux.
b) Calculer la probabilité qu'une chaudière prise au hasard soit en panne.
c) Calculer la probabilité qu'elle soit en bon état.
a) Branche M1 (0,70) → P (0,03) / NP (0,97). Branche M2 (0,30) → P (0,08) / NP (0,92).
b) \(P(\text{Panne}) = 0{,}70 \times 0{,}03 + 0{,}30 \times 0{,}08 = 0{,}021 + 0{,}024 = \mathbf{0{,}045}\)
c) \(P(\text{Bon état}) = 1 - 0{,}045 = \mathbf{0{,}955}\)
Deux pompes fonctionnent de manière indépendante. La probabilité de panne est 0,06 pour la pompe A et 0,04 pour la pompe B.
a) Calculer la probabilité que les deux pompes tombent en panne.
b) Calculer la probabilité qu'au moins une pompe tombe en panne.
a) \(P(A \cap B) = 0{,}06 \times 0{,}04 = \mathbf{0{,}0024}\)
b) \(P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune}) = 1 - (1-0{,}06)(1-0{,}04) = 1 - 0{,}94 \times 0{,}96 = 1 - 0{,}9024 = \mathbf{0{,}0976}\)
On sait que \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). A et B sont-ils indépendants ? Justifier.
\(P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30\)
Or \(P(A \cap B) = 0{,}20\).
Comme \(P(A) \times P(B) = 0{,}30 \neq 0{,}20 = P(A \cap B)\), A et B ne sont pas indépendants.
Barème : 20 points
Énoncer la formule des probabilités totales pour un événement A qui peut arriver via B ou \(\bar{B}\). Donner une interprétation en termes d'arbre de probabilités.
\(P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)\)
Sur l'arbre : on identifie tous les chemins qui aboutissent à A, on calcule la probabilité de chaque chemin (produit des branches), puis on additionne.
Un menuisier agenceur commande des panneaux chez trois scieries :
a) Construire un arbre de probabilités à deux niveaux.
b) Calculer la probabilité qu'un panneau pris au hasard soit défectueux.
c) Sachant qu'un panneau est défectueux, calculer la probabilité qu'il vienne de S3.
a) S1 (0,50) → D (0,02)/C (0,98) ; S2 (0,30) → D (0,05)/C (0,95) ; S3 (0,20) → D (0,08)/C (0,92)
b) \(P(D) = 0{,}50 \times 0{,}02 + 0{,}30 \times 0{,}05 + 0{,}20 \times 0{,}08 = 0{,}010 + 0{,}015 + 0{,}016 = \mathbf{0{,}041}\)
c) \(P_D(S3) = \dfrac{P(S3 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}016}{0{,}041} \approx \mathbf{0{,}390}\). Environ 39 % des panneaux défectueux viennent de S3.
Un technicien de maintenance contrôle 3 machines indépendantes. Les probabilités de panne sont : \(p_1 = 0{,}10\), \(p_2 = 0{,}05\), \(p_3 = 0{,}02\).
a) Calculer la probabilité qu'aucune machine ne tombe en panne.
b) En déduire la probabilité qu'au moins une machine tombe en panne.
a) \(P(\text{aucune}) = (1-0{,}10)(1-0{,}05)(1-0{,}02) = 0{,}90 \times 0{,}95 \times 0{,}98 = \mathbf{0{,}8379}\)
b) \(P(\text{au moins une}) = 1 - 0{,}8379 = \mathbf{0{,}1621}\)
On sait que \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\).
a) A et B sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.
b) Calculer \(P_B(A)\) et \(P_A(B)\). Sont-elles égales ?
a) \(P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15\). Or \(P(A \cap B) = 0{,}20 \neq 0{,}15\). Donc A et B ne sont pas indépendants.
b) \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40\)
\(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}20}{0{,}30} \approx 0{,}667\)
Non, \(P_B(A) \neq P_A(B)\). La probabilité conditionnelle n'est pas symétrique.
Un électricien contrôle 1 000 logements. 60 % sont câblés par l'équipe A (taux de non-conformité 3 %), 40 % par l'équipe B (taux de non-conformité 8 %).
a) Calculer le nombre de logements non conformes attendu pour chaque équipe et au total.
b) Sachant qu'un logement est non conforme, quelle est la probabilité qu'il ait été câblé par l'équipe B ? Interpréter.
a) Équipe A : \(0{,}60 \times 0{,}03 \times 1000 = \mathbf{18}\). Équipe B : \(0{,}40 \times 0{,}08 \times 1000 = \mathbf{32}\). Total : \(18 + 32 = \mathbf{50}\).
b) \(P(\text{NC}) = 0{,}050\). \(P_{\text{NC}}(B) = \dfrac{P(B \cap \text{NC})}{P(\text{NC})} = \dfrac{0{,}032}{0{,}050} = \mathbf{0{,}64}\)
Parmi les logements non conformes, 64 % ont été câblés par l'équipe B, alors que B ne représente que 40 % de la production. L'équipe B contribue de manière disproportionnée aux non-conformités.
Barème : 20 points
Énoncer la formule des probabilités totales pour un événement A qui peut arriver via trois sous-événements \(B_1\), \(B_2\) et \(B_3\) formant une partition. Donner une interprétation en termes d'arbre de probabilités.
\(P(A) = P(B_1) \times P_{B_1}(A) + P(B_2) \times P_{B_2}(A) + P(B_3) \times P_{B_3}(A)\)
Sur l'arbre : on identifie tous les chemins qui aboutissent à A, on calcule la probabilité de chaque chemin (produit des branches), puis on additionne.
Un installateur thermique commande des radiateurs chez trois fournisseurs :
a) Construire un arbre de probabilités à deux niveaux.
b) Calculer la probabilité qu'un radiateur pris au hasard soit défectueux.
c) Sachant qu'un radiateur est défectueux, calculer la probabilité qu'il vienne de F3.
a) F1 (0,40) → D (0,03)/C (0,97) ; F2 (0,35) → D (0,04)/C (0,96) ; F3 (0,25) → D (0,10)/C (0,90)
b) \(P(D) = 0{,}40 \times 0{,}03 + 0{,}35 \times 0{,}04 + 0{,}25 \times 0{,}10 = 0{,}012 + 0{,}014 + 0{,}025 = \mathbf{0{,}051}\)
c) \(P_D(F3) = \dfrac{P(F3 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}025}{0{,}051} \approx \mathbf{0{,}490}\). Environ 49 % des radiateurs défectueux viennent de F3.
Un technicien de maintenance contrôle 4 vannes indépendantes. Les probabilités de fuite sont : \(p_1 = 0{,}08\), \(p_2 = 0{,}06\), \(p_3 = 0{,}04\), \(p_4 = 0{,}03\).
a) Calculer la probabilité qu'aucune vanne ne fuie.
b) En déduire la probabilité qu'au moins une vanne fuie.
a) \(P(\text{aucune}) = 0{,}92 \times 0{,}94 \times 0{,}96 \times 0{,}97 = \mathbf{0{,}8050}\)
b) \(P(\text{au moins une}) = 1 - 0{,}8050 = \mathbf{0{,}1950}\)
On sait que \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}6\) et \(P(A \cap B) = 0{,}24\).
a) A et B sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.
b) Calculer \(P_B(A)\) et \(P_A(B)\). Sont-elles égales ?
a) \(P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\). Or \(P(A \cap B) = 0{,}24\). Comme \(P(A) \times P(B) = P(A \cap B)\), A et B sont indépendants.
b) \(P_B(A) = \dfrac{0{,}24}{0{,}60} = 0{,}40 = P(A)\)
\(P_A(B) = \dfrac{0{,}24}{0{,}40} = 0{,}60 = P(B)\)
Non, \(P_B(A) \neq P_A(B)\). Mais on remarque que \(P_B(A) = P(A)\) et \(P_A(B) = P(B)\), ce qui est caractéristique de l'indépendance.
Un technicien contrôle 800 installations. 55 % sont réalisées par l'équipe A (taux de non-conformité 4 %), 45 % par l'équipe B (taux de non-conformité 10 %).
a) Calculer le nombre d'installations non conformes attendu pour chaque équipe et au total.
b) Sachant qu'une installation est non conforme, quelle est la probabilité qu'elle ait été réalisée par l'équipe B ? Interpréter.
a) Équipe A : \(0{,}55 \times 0{,}04 \times 800 = \mathbf{17{,}6 \approx 18}\). Équipe B : \(0{,}45 \times 0{,}10 \times 800 = \mathbf{36}\). Total : \(18 + 36 = \mathbf{54}\).
b) \(P(\text{NC}) = 0{,}55 \times 0{,}04 + 0{,}45 \times 0{,}10 = 0{,}022 + 0{,}045 = 0{,}067\).
\(P_{\text{NC}}(B) = \dfrac{0{,}045}{0{,}067} \approx \mathbf{0{,}67}\)
Parmi les installations non conformes, 67 % ont été réalisées par l'équipe B, alors que B ne représente que 45 % de la production. L'équipe B contribue de manière disproportionnée aux non-conformités.