Probabilités conditionnelles | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Définir et calculer une probabilité conditionnelle \(P(B \mid A)\)
C2 — Lire et compléter un tableau de probabilités (tableau croisé)
C3 — Construire et utiliser un arbre de probabilités
C4 — Appliquer la formule des probabilités totales
C5 — Calculer une probabilité conditionnelle « inverse » (probabilité des causes)
C6 — Montrer que deux événements sont indépendants
C1 — Probabilité conditionnelle \(P(B \mid A)\)
Rappel de cours
La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant \(A\) est : \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (avec \(P(A) \neq 0\)). Elle mesure la probabilité que \(B\) se réalise lorsqu'on sait que \(A\) s'est déjà réalisé. On en déduit aussi : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\).
Exercice 1
Dans un atelier, 60 pièces ont été contrôlées. 15 sont défectueuses. Parmi les défectueuses, 9 ont une anomalie de surface.
Calculer \(P(\text{défectueuse})\).
Calculer \(P(\text{anomalie de surface} \mid \text{défectueuse})\).
\(P(D) = \frac{15}{60} = 0{,}25\)
\(P(A \mid D) = \frac{9}{15} = 0{,}6\)
Formule : \(P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
Exercice 2
Lors d'une livraison, la probabilité qu'un colis soit endommagé est 0,08. Si un colis est endommagé, la probabilité qu'il soit retourné est 0,75. Calculer \(P(\text{endommagé ET retourné})\).
\(P(E \cap R) = P(E) \times P(R \mid E) = 0{,}08 \times 0{,}75 = \mathbf{0{,}06}\)
6 % des colis sont à la fois endommagés et retournés.
Exercice 3
Dans un lot de 200 panneaux, 50 viennent du fournisseur A et 150 du fournisseur B. Parmi les panneaux A, 4 sont défectueux. Parmi les panneaux B, 6 sont défectueux. Calculer la probabilité qu'un panneau tiré au hasard soit défectueux sachant qu'il vient du fournisseur A.
\(P(D \mid A) = \frac{4}{50} = \mathbf{0{,}08}\)
8 % des panneaux du fournisseur A sont défectueux.
C2 — Tableau croisé de probabilités
Rappel de cours
Un tableau croisé (ou tableau de contingence) présente les effectifs ou probabilités joints de deux caractères. Les probabilités marginales sont dans les totaux de ligne ou de colonne. La probabilité conditionnelle se lit : \(P(B \mid A) = \dfrac{\text{effectif}(A \cap B)}{\text{effectif}(A)}\).
Exercice 4
Un contrôleur examine 400 pièces. Compléter le tableau :
Conforme (C)
Défectueux (D)
Total
Machine 1
180
20
200
Machine 2
?
30
200
Total
?
50
400
Compléter le tableau.
Calculer \(P(D)\), \(P(D \mid M_1)\) et \(P(D \mid M_2)\).
Machine 2 conforme : 170 ; Total conforme : 350.
\(P(D) = \frac{50}{400} = 0{,}125\)
\(P(D \mid M_1) = \frac{20}{200} = 0{,}10\)
\(P(D \mid M_2) = \frac{30}{200} = 0{,}15\)
La machine 2 produit proportionnellement plus de défauts.
Exercice 5
Un installateur thermique a travaillé sur 300 chantiers. Le tableau croisé donne :
Chaudière gaz
Pompe à chaleur
Total
Neuf
90
60
150
Rénovation
80
70
150
Total
170
130
300
Calculer \(P(\text{PAC})\), \(P(\text{PAC} \mid \text{neuf})\) et \(P(\text{PAC} \mid \text{rénov})\). Le type d'installation dépend-il du contexte (neuf/rénov) ?
\(P(\text{PAC}) = \frac{130}{300} \approx 0{,}43\)
\(P(\text{PAC} \mid \text{neuf}) = \frac{60}{150} = 0{,}40\)
\(P(\text{PAC} \mid \text{rénov}) = \frac{70}{150} \approx 0{,}47\)
Les probabilités conditionnelles diffèrent légèrement de la probabilité globale → le contexte influence (faiblement) le choix de l'installation.
C3 — Arbre de probabilités
Rappel de cours
Dans un arbre de probabilités, les branches portent les probabilités (conditionnelles ou non). La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches le composant. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
Exercice 6
Un lot de pièces contient 40 % de pièces de type A et 60 % de type B. Une pièce A est défectueuse avec probabilité 0,05 ; une pièce B avec probabilité 0,10.
Arbre de probabilités : type de pièce (A ou B) puis état (D = défectueuse)
Construire l'arbre de probabilités (2 niveaux : type puis état).
Calculer \(P(A \cap D)\) et \(P(B \cap D)\).
Niveau 1 : A (0,4) et B (0,6). Niveau 2 : D (0,05) ou \(\overline{D}\) (0,95) pour A ; D (0,10) ou \(\overline{D}\) (0,90) pour B.
Un client commande une cuisine. La probabilité que la livraison soit à l'heure est 0,85. Si la livraison est à l'heure, la probabilité que la pose soit réussie le jour même est 0,92. Si la livraison est en retard, cette probabilité n'est que de 0,60.
Construire l'arbre et calculer \(P(\text{livraison à l'heure ET pose réussie})\) et \(P(\text{livraison en retard ET pose réussie})\).
Lors d'un audit, 30 % des chantiers sont en zone urbaine (U) et 70 % en zone rurale (R). En zone U, la probabilité d'un dépassement de budget est 0,25. En zone R, elle est 0,12. Construire l'arbre et identifier toutes les probabilités de branches.
Niveau 1 : U (0,30), R (0,70).
Niveau 2 (depuis U) : dépassement D (0,25), non-dépassement \(\overline{D}\) (0,75).
Niveau 2 (depuis R) : D (0,12), \(\overline{D}\) (0,88).
\(P(U \cap D) = 0{,}30 \times 0{,}25 = 0{,}075\)
\(P(R \cap D) = 0{,}70 \times 0{,}12 = 0{,}084\)
C4 — Formule des probabilités totales
À retenir — Formule des probabilités totales
Si \(A_1, A_2, \ldots, A_k\) forment une partition de l'univers (événements incompatibles et exhaustifs), alors pour tout événement \(B\) : \[P(B) = P(A_1) \times P(B \mid A_1) + P(A_2) \times P(B \mid A_2) + \cdots\] En pratique : additionner les probabilités de tous les chemins aboutissant à \(B\) dans l'arbre.
Exercice 9
En reprenant l'exercice 6 (pièces A et B), calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.
\(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0{,}020 + 0{,}060 = \mathbf{0{,}080}\)
8 % des pièces sont défectueuses au total (formule des probabilités totales).
Exercice 10
En reprenant l'exercice 7 (livraison cuisine), calculer la probabilité que la pose soit réussie le jour même.
\(P(R) = P(L \cap R) + P(\overline{L} \cap R) = 0{,}782 + 0{,}090 = \mathbf{0{,}872}\)
87,2 % des poses sont réussies le jour même.
Exercice 11
Un atelier utilise deux fournisseurs : F1 fournit 60 % des matières, F2 fournit 40 %. Le taux de non-conformité est 3 % pour F1 et 7 % pour F2. Calculer la probabilité qu'une matière prise au hasard soit non conforme.
C5 — Probabilité conditionnelle « inverse » (probabilité des causes)
À retenir — Renverser une probabilité conditionnelle
Sachant que l'événement \(B\) s'est réalisé, la probabilité que la cause soit \(A_i\) s'obtient avec la définition de la probabilité conditionnelle : \[P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)}\] On calcule d'abord \(P(B)\) avec la formule des probabilités totales, puis on applique la définition. (En poursuite d'études, cette démarche porte le nom de « formule de Bayes ».)
Exercice 12
En reprenant l'exercice 6, sachant qu'une pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle soit de type A.
\(P(A \mid D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}020}{0{,}080} = \mathbf{0{,}25}\)
25 % des pièces défectueuses sont de type A (alors que A représente 40 % du lot → les pièces A sont proportionnellement moins défectueuses).
Exercice 13
En reprenant l'exercice 11, une matière est non conforme. Calculer la probabilité qu'elle vienne du fournisseur F2.
\(P(F_2 \mid NC) = \frac{P(F_2 \cap NC)}{P(NC)} = \frac{0{,}028}{0{,}046} \approx \mathbf{0{,}609}\)
60,9 % des matières non conformes viennent de F2 (même si F2 ne fournit que 40 % du total — son taux de défaut plus élevé l'explique).
Exercice 14
Un technicien diagnostique des pannes de chaudières. 70 % des pannes sont électriques (E), 30 % sont hydrauliques (H). Il détecte correctement une panne électrique dans 90 % des cas et une panne hydraulique dans 80 % des cas. Sachant qu'il a détecté une panne (\(D\)), calculer \(P(E \mid D)\).
\(P(E \cap D) = 0{,}70 \times 0{,}90 = 0{,}630\)
\(P(H \cap D) = 0{,}30 \times 0{,}80 = 0{,}240\)
\(P(D) = 0{,}630 + 0{,}240 = 0{,}870\)
\(P(E \mid D) = \frac{0{,}630}{0{,}870} \approx \mathbf{0{,}724}\)
Si une panne est détectée, il y a 72,4 % de chances que ce soit une panne électrique.
C6 — Montrer que deux événements sont indépendants
À retenir
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Autrement dit : la réalisation de \(A\) ne modifie pas la probabilité de \(B\), c'est-à-dire \(P(B \mid A) = P(B)\).
Exercice 13
Dans un atelier, 60 % des pièces sont en acier (événement \(A\)) et 30 % présentent un défaut de surface (événement \(D\)). On sait que \(P(A \cap D) = 0{,}18\).
Calculer \(P(A) \times P(D)\).
Les événements \(A\) et \(D\) sont-ils indépendants ? Justifier.
Calculer \(P(D \mid A)\) et comparer avec \(P(D)\).
\(P(A \cap D) = 0{,}18 = P(A) \times P(D)\) → oui, A et D sont indépendants.
\(P(D \mid A) = \frac{P(A \cap D)}{P(A)} = \frac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3 = P(D)\). Le fait que la pièce soit en acier ne change pas la probabilité de défaut.
Exercice 14
Un installateur tire au hasard un fusible. La probabilité qu'il soit de marque X est \(P(X) = 0{,}4\), celle qu'il soit défectueux est \(P(D) = 0{,}05\), et \(P(X \cap D) = 0{,}03\).
Les événements X et D sont-ils indépendants ?
Interpréter le résultat : la marque X a-t-elle un lien avec le taux de défaut ?
\(P(X) \times P(D) = 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02 \neq 0{,}03 = P(X \cap D)\) → non, X et D ne sont pas indépendants.
\(P(D \mid X) = \frac{0{,}03}{0{,}4} = 0{,}075 > 0{,}05 = P(D)\). Les fusibles de marque X ont un taux de défaut plus élevé que la moyenne (7,5 % vs 5 %). La marque influence la fiabilité.