Chapitre 2 – Probabilités conditionnelles | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Au Loto FDJ classique, on choisit 5 numéros sur 49 + 1 numéro « chance » sur 10. Coût d'une grille : 2,20 €. Question : sur le long terme, ce jeu fait-il gagner ou perdre de l'argent au joueur ?
| Combinaison | Probabilité | Gain moyen |
|---|---|---|
| 5 numéros + chance (jackpot) | 1 / 19 068 840 | ≈ 5 000 000 € |
| 5 numéros sans chance | 1 / 2 118 760 | ≈ 100 000 € |
| 4 + chance | 1 / 86 677 | ≈ 1 000 € |
| 4 sans chance | 1 / 9 631 | ≈ 50 € |
| 3 + chance | 1 / 2 016 | ≈ 50 € |
| 3 sans chance | 1 / 224 | ≈ 6 € |
| 2 + chance | 1 / 144 | ≈ 4 € |
| 0, 1, ou 2 sans chance | ≈ 90 % | 0 € (perte de la mise) |
📚 Cette activité s'appuie sur la section « Pour aller plus loin (hors programme) » du cours : espérance mathématique et loi des grands nombres.
Pourquoi la probabilité d'avoir 5 numéros + chance est-elle 1/19 068 840 ? Vérifier (combinaisons C(49,5) × 10).
Nombre de façons de choisir 5 numéros sur 49 : C(49, 5) = 49! / (5! × 44!) = 1 906 884.
Multiplié par les 10 numéros chance possibles : 1 906 884 × 10 = 19 068 840.
1 chance sur 19 millions. Quasiment impossible. Cette probabilité est si faible que sur la durée moyenne d'une vie humaine (en jouant 1 grille/jour), il faudrait 52 250 ans pour gagner 1 fois !
Calculer l'espérance E(G) du gain par grille (= somme de probabilité × gain pour chaque rang).
| Rang | P × Gain |
|---|---|
| 5+ch | 5 000 000 / 19 068 840 ≈ 0,262 € |
| 5 ss | 100 000 / 2 118 760 ≈ 0,047 € |
| 4+ch | 1 000 / 86 677 ≈ 0,012 € |
| 3+ch | 50 / 2 016 ≈ 0,025 € |
| 2+ch | 4 / 144 ≈ 0,028 € |
E(G) ≈ 0,262 + 0,047 + 0,012 + 0,025 + 0,028 ≈ 0,37 €.
(Quelques rangs intermédiaires non détaillés ajoutent environ 0,03 €.)
Calculer la perte moyenne par grille. Si Bertrand joue 1 grille par semaine pendant 50 ans, combien aura-t-il perdu en moyenne ?
Perte par grille : mise − E(G) = 2,20 − 0,37 = 1,83 € par grille en moyenne.
Sur 50 ans : 1,83 × 52 × 50 = 4 758 € perdus en moyenne.
Avec très forte probabilité (> 99 %), Bertrand n'aura gagné que des petits lots cumulés.
Si Bertrand avait placé ces 2,20 € hebdomadaires sur un livret A à 3 % d'intérêts, combien aurait-il accumulé en 50 ans ?
Versement annuel : 2,20 × 52 = 114,40 €.
Capital après 50 ans avec intérêts composés à 3 % :
C = 114,40 × ((1,03^50 − 1) / 0,03) ≈ 114,40 × 112,80 ≈ 12 900 €.
Comparaison :
Différence : 17 658 € de manque à gagner pour Bertrand. Soit ~ 6 mois de salaire SMIC !
Citer 3 raisons psychologiques pour lesquelles les gens continuent à jouer malgré une espérance négative.
Le « bouton magique » : si on multiplie sa mise par 10 (jouer 10 grilles différentes), divise-t-on la probabilité d'attendre par 10 ?
Oui, mais on multiplie aussi la mise par 10. L'espérance reste la même proportionnellement.
10 grilles : mise 22 €, espérance 3,70 €, perte 18,30 € en moyenne.
1 grille : mise 2,20 €, espérance 0,37 €, perte 1,83 €.
Multiplier les grilles ne « bat » pas l'espérance défavorable. C'est juste une plus grosse mise avec la même rentabilité (négative).
Ce piège est très fréquent : les joueurs croient qu'« en jouant plus », ils augmentent leurs chances. Vrai pour la probabilité absolue, mais pas pour l'espérance par euro misé.
Comparer l'espérance Loto avec celle de la roulette de casino (rouge/noir). À la roulette, P(rouge) = 18/37 (un 0 vert), gain × 2 si on mise sur rouge. Quelle espérance pour 1 € misé ?
P(rouge) = 18/37 ≈ 0,486. Gain : 2 € si rouge, 0 € sinon (mise 1 € perdue).
E(G) = 0,486 × 2 + 0,514 × 0 = 0,973 €.
Pour 1 € misé, on récupère 0,97 € en moyenne. Perte 2,7 % par mise.
Comparaison : Loto perd 83 % de la mise (0,37/2,20). Roulette ne perd que 2,7 %.
La roulette est moins défavorable que le Loto en proportion. Mais sur volume joué, on perd quand même de l'argent. Tous les jeux d'argent sont conçus pour faire gagner l'organisateur.
Rédiger en 5 lignes une note pédagogique pour ton entourage : « Le Loto et autres jeux d'argent — ce que disent les maths ».
Le Loto et les jeux d'argent : ce que disent les maths
Au Loto, pour 2,20 € misés, l'espérance de gain est 0,37 €. Donc 83 % de la mise est perdue en moyenne (au profit de la FDJ et de l'État). Tous les jeux d'argent sont conçus ainsi.
Sur une vie de joueur (1 grille/semaine, 50 ans), c'est environ 4 700 € perdus. Placés sur un livret A : ces mêmes versements auraient produit ~ 13 000 €.
Jouer reste une distraction payante (le « rêve » a une valeur). Mais ne jamais y voir un investissement. Pour devenir riche : épargne régulière, formation, et travail. Pas le hasard.
Certaines combinaisons de Loto sont jouées beaucoup plus souvent (dates de naissance, séquences 1-2-3-4-5...). Si on gagne avec une combinaison « populaire », le gain est partagé entre les gagnants. Comment choisir des numéros pour maximiser le gain en cas de jackpot (sans changer la probabilité) ?
La probabilité de gagner le jackpot reste 1/19 068 840 quelle que soit la combinaison. Mais en cas de gain :
Statistiques : ~ 1/3 des grilles utilisent uniquement des dates. Choisir au moins 2 numéros entre 32 et 49 réduit le partage de ~ 30 % en moyenne.
Mais attention : ça ne change pas l'espérance globale. C'est juste un effet de partage en cas de gain rare.
Stratégie « optimale » mathématiquement : ne pas jouer du tout. C'est le seul jeu auquel on est sûr de ne pas perdre.