Chapitre 2 – Probabilités conditionnelles | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Une usine fabrique des profilés en aluminium pour des fenêtres et menuiseries. La production est répartie sur 3 machines avec des taux de défauts différents (chaque machine est dans un état d'usure différent).
| Machine | Part de production | Taux de défauts | Description |
|---|---|---|---|
| M1 | 50 % | 2 % | Machine récente, fiable |
| M2 | 30 % | 4 % | Machine ancienne, à entretenir |
| M3 | 20 % | 1 % | Machine de précision |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §4 (probabilité conditionnelle) et §6 (formule des probabilités totales).
Compléter l'arbre de probabilités en calculant les 6 probabilités jointes (intersections).
Probabilité jointe = produit le long du chemin :
Vérification : somme totale = 0,010 + 0,490 + 0,012 + 0,288 + 0,002 + 0,198 = 1 ✓
Calculer la probabilité totale qu'un profilé tiré au hasard soit défectueux : P(D).
Formule des probabilités totales :
P(D) = P(M1 ∩ D) + P(M2 ∩ D) + P(M3 ∩ D)
P(D) = 0,010 + 0,012 + 0,002 = 0,024 = 2,4 %
Sur 1 000 profilés produits, on attend 24 défauts en moyenne.
On pioche un profilé défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de la machine M2 : P(M2 | D).
P(M2 | D) = P(M2 ∩ D) / P(D) = 0,012 / 0,024 = 0,50 = 50 %.
Bien que M2 ne fasse que 30 % de la production, elle est responsable de 50 % des défauts. Son taux de défaut élevé (4 %) la rend statistiquement la plus suspecte quand on tient un défectueux.
Calculer aussi P(M1 | D) et P(M3 | D). Vérifier que la somme fait bien 1.
P(M1 | D) = 0,010 / 0,024 ≈ 0,417 = 41,7 %
P(M3 | D) = 0,002 / 0,024 ≈ 0,083 = 8,3 %
Vérification : 0,500 + 0,417 + 0,083 = 1 ✓ (la machine défectueuse est forcément l'une des 3).
Classement par responsabilité dans les défauts : M2 (50 %) > M1 (42 %) >> M3 (8 %).
Le directeur veut faire baisser le taux global de défauts à 1,5 % maximum. Quelle action prioritaire ?
M2 contribue le plus aux défauts (50 % des défauts pour 30 % de la production). C'est la priorité de maintenance / réglage.
Si on parvient à ramener M2 à 1 % de défauts (comme M3) :
P(D) = 0,50×0,02 + 0,30×0,01 + 0,20×0,01 = 0,010 + 0,003 + 0,002 = 0,015 = 1,5 %. ✓
Objectif atteint en investissant uniquement sur M2.
Règle pro : concentrer les efforts sur le maillon faible, pas sur les machines déjà bonnes.
Si M2 est arrêtée pour maintenance pendant 1 semaine, comment évolue la production et les défauts ? (Hypothèse : M1 et M3 reprennent la part de M2 proportionnellement.)
M2 (30 %) → réparti : M1 prend 30 % × 0,50/(0,50+0,20) = 21,4 %, M3 prend 30 % × 0,20/0,70 = 8,6 %.
Nouvelles parts : M1 = 71,4 %, M3 = 28,6 %.
Nouveau P(D) = 0,714 × 0,02 + 0,286 × 0,01 = 0,01428 + 0,00286 = 0,017 = 1,7 %.
Sans M2, le taux global passe à 1,7 % (vs 2,4 % avec M2).
Conclusion : M2 dégrade clairement la qualité globale. Sa maintenance est rentable à terme.
Si l'usine produit 10 000 profilés/jour, combien sont attendus défectueux dans le scénario actuel ? Et après amélioration de M2 ?
Actuel : 10 000 × 0,024 = 240 défauts/jour.
Après amélioration M2 (taux 1,5 %) : 10 000 × 0,015 = 150 défauts/jour.
Économie : 90 défauts/jour × 250 jours/an = 22 500 défauts évités/an. À 5 €/défaut (rebut + perte de qualité) : 112 500 €/an.
Le coût de la maintenance de M2 doit être inférieur à 112 500 € pour être rentable. Largement faisable.
Rédiger en 5 lignes une note pour le directeur : recommandation de plan d'action.
Note — Plan d'action qualité production profilés
Diagnostic : taux de défauts global 2,4 % (240 défauts/jour). Machine M2 responsable de 50 % des défauts (4 %) malgré 30 % de la production.
Action prioritaire : maintenance + réglage M2 (objectif 1 % de défauts comme M3). Coût estimé 5 000 €.
Gain attendu : 90 défauts évités/jour, soit 112 500 €/an. ROI immédiat.
Prochaine étape : suivre M1 (2 %, fiable mais peut être améliorée).
L'usine envisage de remplacer M2 par une machine identique à M3 (taux 1 %). Coût : 80 000 €. Sur combien d'années cet investissement est-il rentabilisé (gain ~ 100 €/jour de défauts évités) ?
Gain annuel : 100 € × 250 jours = 25 000 €/an.
Retour sur investissement : 80 000 / 25 000 = 3,2 ans.
Très bon ROI pour une machine qui a une durée de vie de 10-15 ans → bénéfice net cumulé 175 000 € sur 10 ans.
Avantages additionnels :
Décision : investir dans la nouvelle machine. Coupler à un programme de formation sur la qualité.