Chapitre 2 – Probabilités conditionnelles | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Léa passe un test pour dépister une maladie rare qui touche 1 personne sur 1 000 dans la population générale. Le test est très bon : 99 % de sensibilité (détecte 99 % des malades) et 99 % de spécificité (99 % des non-malades sont déclarés sains). Le test indique 1 % de faux positifs sur les non-malades.
Léa reçoit un résultat positif. Elle est inquiète : « Avec un test à 99 %, j'ai 99 % de chances d'être malade ? » Calculons.
| Caractéristique | Valeur | Signification |
|---|---|---|
| Prévalence (P(M)) | 0,001 (1/1000) | Proportion de malades dans la population |
| Sensibilité (P(+|M)) | 0,99 | P(test+ chez un malade) |
| Spécificité (P(−|S)) | 0,99 | P(test− chez un sain) |
| Faux positifs (P(+|S)) | 0,01 | P(test+ chez un sain, par erreur) |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §4 (probabilité conditionnelle) et §6 (formule des probabilités totales).
Sur une population de 100 000 personnes, calculer le nombre attendu de :
Total positifs : 99 + 999 = 1 098. Sur ces 1 098 positifs, seulement 99 sont vraiment malades.
Calculer la probabilité que Léa soit réellement malade sachant que son test est positif : P(malade | test+).
P(malade | test+) = nb vrais positifs / nb total positifs
P(malade | test+) = 99 / 1 098 ≈ 0,090 = 9,0 %
Surprise ! Léa n'a que 9 % de chances d'être réellement malade, malgré un test positif. Et 91 % de chances d'être saine (faux positif).
Pourquoi le résultat (9 %) est-il si différent de l'intuition initiale (« 99 % ») ?
L'intuition « 99 % » confond P(test+ | malade) = 99 % avec P(malade | test+) = 9 %.
Ce sont 2 probabilités conditionnelles très différentes. La définition \(P(M \mid +) = \dfrac{P(M \cap +)}{P(+)}\) permet de passer de l'une à l'autre (démarche appelée « théorème de Bayes » en poursuite d'études).
Quand la maladie est rare (1/1000), il y a beaucoup plus de sains que de malades. Donc même un faible taux de faux positifs (1 %) génère un grand nombre de faux positifs en valeur absolue (999) — bien plus que le nombre de vrais positifs (99).
C'est pourquoi les médecins demandent souvent un second test de confirmation après un premier positif. Et c'est pourquoi on ne dépiste massivement que les maladies fréquentes ou graves.
Calculer P(malade | test+) si la maladie est plus fréquente : 1 personne sur 100 (au lieu de 1 sur 1000). Le test reste à 99/99 %.
Sur 100 000 personnes :
P(malade | test+) = 990 / (990 + 990) = 0,5 = 50 %.
Avec une maladie 10× plus fréquente, P(malade | test+) passe de 9 % à 50 %. La prévalence est le facteur clé.
Et si la maladie touche 1 personne sur 10 (épidémie) ? Le test reste à 99 %. Calculer P(malade | test+).
Sur 100 000 :
P(malade | test+) = 9 900 / (9 900 + 900) = 91,7 %.
En épidémie, un test positif est très significatif. C'est pourquoi pendant la pandémie de COVID, les tests positifs étaient rapidement considérés comme des cas confirmés.
Que change un second test de confirmation pour Léa (1ère prévalence 1/1000) ?
Après le 1er test positif, la probabilité que Léa soit malade passe de 1/1000 à 9 %.
On met à jour la prévalence à 9 % pour le 2ème test (Léa est dans la catégorie « positif au premier test »).
Sur 100 000 (en supposant la même population fictive) :
P(malade | 2 tests +) = 8 910 / 9 820 ≈ 91 %.
Avec 2 tests positifs, on passe de 9 % à 91 % de probabilité d'être malade. Le 2ème test est très informatif.
Une test à seulement 90 % de fiabilité (sensibilité et spécificité) appliqué à une maladie rare (1/1000) : calculer P(malade | test+).
Sur 100 000 :
P(malade | test+) = 90 / (90 + 9 990) = 0,9 %.
Encore plus faible qu'avant ! Avec un test moins bon (90 %), 99 % des positifs sont des faux positifs.
Conclusion : la qualité du test ET la prévalence comptent. Pour les maladies rares, il faut des tests à très haute spécificité (> 99,9 %).
Rédiger en 5 lignes ce que le médecin doit dire à Léa pour la rassurer sans lui mentir.
« Léa, votre test est positif mais pas de panique. Cette maladie est rare (1 personne sur 1 000). Notre test, malgré ses excellentes performances (99/99), donne 1 % de faux positifs sur les non-malades.
Or les non-malades sont 1 000 fois plus nombreux que les malades. Conséquence : la majorité des positifs (91 %) sont en réalité des faux positifs.
Vous avez donc 9 % de probabilité d'être malade, 91 % d'être saine. On va programmer un second test de confirmation pour lever le doute. »
Le test de COVID-19 (PCR) avait une sensibilité ~99 % et une spécificité ~99,5 %. Pendant la pandémie (prévalence ~5 % à un moment donné), calculer P(malade | test+).
Sur 100 000 personnes :
P(malade | test+) = 4 950 / (4 950 + 475) ≈ 91 %.
Très bonne valeur prédictive : un PCR positif pendant la pandémie correspondait à 91 % de cas réels.
Hors pandémie (prévalence faible, ex. 0,1 %), la valeur prédictive baisse → on ne fait plus de dépistage massif PCR.
C'est pourquoi la stratégie de dépistage dépend de la phase épidémique.