QCM – Statistiques à deux variables

Chapitre 1 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

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Représenter un nuage de points à partir d'une série statistique à deux variables
Choisir et tracer un ajustement adapté à la forme du nuage (affine ou non)
Calculer et interpréter le coefficient de corrélation \(r\)
Utiliser l'ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs

⏱ Durée : 15–20 min

📄 15 questions

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Socle

Question 1

Nuage de points – Vocabulaire

Un nuage de points représente :

une seule variable statistique des couples \((x_i\,;\,y_i)\) dans un repère uniquement des histogrammes la médiane d'une série

Question 2

Nuage de points – Liaison

Quand les points d'un nuage s'alignent en montant de gauche à droite, la liaison est :

positive négative nulle non linéaire

Question 3

Nuage de points – Liaison négative

Pour les données chauffage (température vs consommation), quand la température augmente, la consommation :

augmente reste constante diminue double

Question 4

Point moyen – Calcul

Pour les valeurs \(x\) : 2, 4, 6, la moyenne \(\bar{x}\) vaut :

2 6 12 4

Question 5

Point moyen – Propriété

La droite de régression passe obligatoirement par :

l'origine du repère (0 ; 0) le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) le point de coordonnées (1 ; 1) le point le plus à gauche du nuage

Question 6

Droite de régression – Forme

L'équation d'une droite de régression s'écrit sous la forme :

\(y = ax + b\) \(y = ax^2 + b\) \(y = a/x\) \(y = a^x\)

Question 7

Coefficient de corrélation – Plage de valeurs

Le coefficient de corrélation \(r\) est toujours :

compris entre 0 et 1 compris entre 0 et 100 compris entre −1 et 1 toujours positif

Question 8

Coefficient de corrélation – Interprétation

Si \(r = -0{,}98\), la liaison entre \(x\) et \(y\) est :

positive et forte négative et forte nulle positive et faible

Question 9

Coefficient de corrélation – Seuil

L'ajustement affine est considéré comme acceptable quand :

\(|r| < 0{,}5\) \(r = 0\) \(r > 2\) \(|r| > 0{,}85\)

Question 10

Utiliser la droite – Calcul

La droite d'ajustement est \(y = 3x + 5\). Pour \(x = 4\), on obtient \(y =\) :

17 12 32 7

Question 11

Interpolation – Définition

Interpoler, c'est estimer une valeur :

en dehors des données connues toujours plus grande que les données pour un \(x\) situé à l'intérieur de l'intervalle des données à partir d'un seul point

Question 12

Extrapolation – Risque

L'extrapolation est plus risquée que l'interpolation parce que :

elle donne toujours un résultat négatif le modèle peut ne plus être valable hors de la zone de données elle est interdite en mathématiques elle nécessite une calculatrice spéciale

Question 13

Nuage de points – Identification

Parmi ces descriptions de nuage, laquelle correspond à une liaison nulle ?

les points forment une droite montante les points forment une droite descendante les points forment une courbe en cloche les points sont complètement dispersés, sans tendance visible

Question 14

Point moyen – Application

Pour les couples (1 ; 10), (3 ; 20), (5 ; 30), le point moyen \(G\) est :

\(G(3\,;\,20)\) \(G(1\,;\,30)\) \(G(5\,;\,10)\) \(G(9\,;\,60)\)

Question 15

Droite de régression – Signe de \(a\)

Si la liaison entre \(x\) et \(y\) est négative, le coefficient directeur \(a\) de la droite de régression est :

positif nul négatif supérieur à 1

Standard

Question 1

Point moyen – Calcul

Pour les températures (°C) : 2, 5, 8, 10, 14, 17, 19, 22, la moyenne \(\bar{x}\) vaut :

10 °C 12,1 °C 14 °C 97 °C

Question 2

Droite de régression – Propriété

Vérifier que \(G\) appartient à \(y = -42{,}4x + 1063\) avec \(\bar{x} \approx 12{,}1\) donne \(y \approx\) :

120 kWh 980 kWh 550 kWh 1063 kWh

Question 3

Coefficient de corrélation – Qualité

Pour les données chauffage, la calculatrice donne \(r \approx -0{,}999\). Cela signifie que la liaison est :

très forte et négative — l'ajustement est excellent faible — il faut changer de modèle positive et forte nulle — pas de relation entre les variables

Question 4

Prévision – Interpolation

Avec \(y = -42{,}4x + 1063\), la consommation prévue pour \(x = 12\,°C\) (dans l'intervalle [2 ; 22]) est :

1063 kWh 42,4 kWh 600 kWh 554 kWh

Question 5

Interpolation vs extrapolation

Avec la droite de chauffage définie sur [2 ; 22], estimer la consommation pour \(x = 25\,°C\) est :

une interpolation, car 25 est proche de 22 une extrapolation, car 25 est hors de l'intervalle [2 ; 22] une interpolation, car la droite est définie pour tout \(x\) impossible à calculer

Question 6

Coefficient \(r\) – Seuil d'acceptabilité

Un calcul donne \(r = 0{,}72\). Faut-il conserver l'ajustement affine ?

Oui, car \(r > 0\) Oui, car \(|r|\) est proche de 1 Non, car \(|r| = 0{,}72 < 0{,}85\) — la liaison est trop faible Non, car \(r\) doit être négatif

Question 7

COP d'une PAC – Interprétation

La droite d'ajustement du COP d'une PAC est \(y = 0{,}112x + 2{,}638\). Le coefficient \(a = 0{,}112\) signifie :

quand la température augmente de 1°C, le COP augmente de 0,112 le COP vaut toujours 0,112 la température minimum est 0,112°C quand la température augmente de 1°C, le COP diminue de 0,112

Question 8

COP d'une PAC – Prévision

Avec \(y = 0{,}112x + 2{,}638\), le COP prévu pour une température extérieure de \(x = 3\,°C\) est :

2,638 3,000 2,750 2,974

Question 9

Droite de régression – Ordonnée à l'origine

Dans la droite \(y = ax + b\), la valeur \(b\) représente :

la pente de la droite la valeur de \(y\) quand \(x = 0\) le coefficient de corrélation la moyenne de \(y\)

Question 10

Ajustement non affine – Principe

Quand le nuage de points n'est pas rectiligne, on peut :

toujours utiliser quand même la droite de régression abandonner toute modélisation effectuer un changement de variable pour linéariser la relation inverser les axes \(x\) et \(y\)

Question 11

Ajustement exponentiel – Changement de variable

Pour une relation de type \(y = A \cdot q^x\), le changement de variable à effectuer est :

\(z = \log(y)\) \(z = \sqrt{y}\) \(z = y^2\) \(z = 1/y\)

Question 12

Productivité – Prévision

La droite de régression d'une série est \(y = 2{,}19x + 10{,}2\). Pour un ouvrier ayant 6 ans d'expérience, la productivité prévue est :

10,2 pièces/heure 12,19 pièces/heure 19,2 pièces/heure 23,3 pièces/heure

Question 13

Loi d'Ohm – Interprétation statistique

Pour les mesures tension/courant, la droite de régression donne \(U = 0{,}0495\,I - 0{,}02\) avec \(r = 0{,}9998\). La résistance vaut :

0,0495 Ω 49,5 Ω 0,02 Ω 4,95 Ω

Question 14

Coefficient \(r\) – Signe

Pour les données chauffage (consommation diminue quand température augmente), le signe de \(r\) est :

positif, car la consommation est positive nul, car les variables sont indépendantes négatif, car la liaison est négative toujours positif quel que soit le contexte

Question 15

Ajustement – Choix du modèle

Si \(|r| = 0{,}60\) pour un ajustement affine, que doit-on faire ?

Tenter un autre modèle (exponentiel, puissance…) avec un changement de variable Garder cet ajustement, car il suffit que \(r > 0\) Supprimer les points extrêmes du nuage pour améliorer \(r\) Multiplier \(r\) par 2 pour obtenir un coefficient acceptable

Approfondissement

Question 1

Formule de la pente – Moindres carrés

La formule exacte du coefficient directeur \(a\) de la droite des moindres carrés est :

\(a = \dfrac{\bar{y}}{\bar{x}}\) \(a = \dfrac{\sum x_i y_i}{n}\) \(a = \dfrac{\displaystyle\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\displaystyle\sum(x_i - \bar{x})^2}\) \(a = \dfrac{\sum y_i - \sum x_i}{n}\)

Question 2

Formule de \(b\) – Moindres carrés

Une fois \(a\) connu, l'ordonnée à l'origine \(b\) se calcule par :

\(b = \bar{x} - a\bar{y}\) \(b = \bar{y} - a\bar{x}\) \(b = a\bar{x} + \bar{y}\) \(b = \bar{x} + \bar{y}\)

Question 3

Coefficient \(r^2\) – Interprétation

Pour un ajustement avec \(r = 0{,}97\), le coefficient de détermination \(r^2\) vaut environ :

0,97 1,94 0,485 0,94

Question 4

Coefficient \(r^2\) – Signification

Un \(r^2 = 0{,}94\) signifie que le modèle linéaire explique :

94 % de la variabilité de \(y\) 6 % de la variabilité de \(y\) que \(r = 0{,}94\) que les données ont 94 points

Question 5

Extrapolation – Limite du modèle

Avec \(y = -42{,}4x + 1063\) (données entre 2 et 22°C), la prévision pour \(x = 25\,°C\) donne \(y = 3\,\text{kWh}\). Que conclure ?

Ce résultat est parfaitement fiable car la formule reste valide La consommation sera effectivement de 3 kWh à 25°C Ce résultat est peu réaliste : à 25°C on ne chauffe plus, le modèle affine atteint ses limites Il faut remplacer \(a\) par \(-a\) pour corriger

Question 6

COP d'une PAC – Extrapolation

Avec \(y = 0{,}112x + 2{,}638\), pour quelle température extérieure le COP vaut-il 1 (seuil de rentabilité) ?

\(x \approx -10\,°C\) \(x \approx -14{,}6\,°C\) \(x \approx 0\,°C\) \(x \approx 3{,}2\,°C\)

Question 7

Ajustement exponentiel – Retour de variable

On trouve \(z = \log(N) \approx 0{,}302\,t + 0{,}300\). Après retour en \(N\), le modèle est :

\(N \approx 0{,}302t + 0{,}300\) \(N \approx 10^{0,302} \times t\) \(N \approx e^{0{,}302t + 0{,}300}\) \(N \approx 10^{0{,}302t + 0{,}300} \approx 2 \times 2^t\)

Question 8

Ajustement puissance – Changement de variable

Pour un modèle de type \(y = A \cdot x^k\), la linéarisation s'obtient en posant :

\(z = \log(y)\) et \(u = \log(x)\), ce qui donne \(z = ku + \log(A)\) \(z = \log(y)\) et \(u = x^2\) \(z = \sqrt{y}\) et \(u = x\) \(z = 1/y\) et \(u = 1/x\)

Question 9

Cohérence signe \(a\) et \(r\)

Pour un ajustement affine, le signe de \(a\) et le signe de \(r\) doivent être :

toujours opposés toujours positifs identiques (tous deux positifs ou tous deux négatifs) indépendants l'un de l'autre

Question 10

Coût de fabrication – Prévision

Un menuisier agenceur modélise le coût \(C\) (€) d'un meuble en fonction de la surface \(S\) (m²) : \(C = 85S + 120\). Pour \(S = 3{,}5\,\text{m}^2\), le coût est :

85 € 417,5 € 205 € 297,5 €

Question 11

Modèle inverse – Changement de variable

Pour une relation de type \(y = a/x + b\), le changement de variable adapté est :

\(z = \log(x)\) \(z = x^2\) \(z = \sqrt{x}\) \(z = 1/x\), ce qui donne \(y = az + b\)

Question 12

Bilan énergétique – Régression

Un technicien thermicien relève épaisseur d'isolant (cm) et consommation annuelle (kWh). Il obtient \(r = -0{,}96\). Que conclure ?

La liaison est forte et négative : plus l'isolation est épaisse, moins la consommation est grande — l'ajustement affine est pertinent L'ajustement est rejeté car \(r < 0\) La liaison est faible car \(|r| = 0{,}96 < 1\) Il faut utiliser un modèle exponentiel car \(r\) est négatif

Question 13

Régression – Erreur fréquente

Un élève lit \(r^2 = 0{,}9801\) sur sa calculatrice et annonce \(r = 0{,}9801\). Quelle est l'erreur ?

Il n'y a pas d'erreur, \(r = r^2\) dans ce cas La calculatrice affiche toujours \(r^2\) à la place de \(r\) L'élève confond \(r\) et \(r^2\) : si \(r^2 = 0{,}9801\) alors \(r = \pm 0{,}99\) La valeur \(r^2 = 0{,}9801\) est impossible

Question 14

Prévision BTS – Demande de production

Un modèle de ventes donne \(y = -2{,}5x + 300\) (en unités), où \(x\) est le prix en €. Pour \(x = 80\,€\), la demande prévue est :

80 unités 100 unités 500 unités 220 unités

Question 15

Raisonnement complet – Seuil de rentabilité

Le chiffre d'affaires est \(\text{CA} = x \times y = x(-2{,}5x + 300)\). Pour maximiser le CA, quel prix \(x\) est le meilleur si la droite est valide pour \(x \in [20\,;\,100]\) et que \(\text{CA}(60) = 9\,000\) et \(\text{CA}(80) = 8\,000\) ?

\(x = 80\,€\) car la demande est plus stable \(x = 100\,€\) car le prix unitaire est maximal \(x = 20\,€\) car la demande est maximale \(x = 60\,€\) car \(\text{CA}(60) = 9\,000 > \text{CA}(80) = 8\,000\)