Statistiques à deux variables — Terminale Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un technicien chauffagiste relève la température extérieure \(x\) (en °C) et la consommation de chauffage \(y\) (en kWh) pour 4 semaines :
| Température \(x\) (°C) | 4 | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Consommation \(y\) (kWh) | 800 | 640 | 480 | 320 |
a) Calculer \(\bar{x} = \dfrac{4 + 8 + 12 + 16}{4} = \dfrac{...}{4} = ...\)
b) Calculer \(\bar{y} = \dfrac{800 + 640 + 480 + 320}{4} = \dfrac{...}{4} = ...\)
c) En déduire les coordonnées du point moyen \(G\).
a) \(\bar{x} = \dfrac{4 + 8 + 12 + 16}{4} = \dfrac{40}{4} = \mathbf{10\,°C}\)
b) \(\bar{y} = \dfrac{800 + 640 + 480 + 320}{4} = \dfrac{2\,240}{4} = \mathbf{560\,\text{kWh}}\)
c) Le point moyen est \(G(\mathbf{10\,;\,560})\).
La calculatrice donne \(r = -0{,}98\) pour les données de la question 1.
a) La liaison entre la température et la consommation est-elle forte ou faible ? Justifier.
b) \(r\) est négatif. Que signifie le signe de \(r\) ? Compléter : « Quand la température ..., la consommation ... »
a) \(|r| = 0{,}98 > 0{,}95\), donc la liaison est très forte. L'ajustement affine est excellent.
b) \(r < 0\) signifie une liaison négative : « Quand la température augmente, la consommation diminue. »
La droite de régression est \(y = -40x + 960\).
a) Calculer la consommation prévue pour \(x = 10\,°C\) : \(y = -40 \times 10 + 960 = ...\)
b) Vérifier que le point moyen \(G(10\,;\,560)\) appartient bien à cette droite.
a) \(y = -40 \times 10 + 960 = -400 + 960 = \mathbf{560\,\text{kWh}}\)
b) Pour \(x = 10\) : \(y = 560\). On retrouve bien les coordonnées de \(G(10\,;\,560)\). Le point moyen appartient à la droite de régression. ✓
Les données vont de \(x = 4\,°C\) à \(x = 16\,°C\).
a) Estimer la consommation pour \(x = 6\,°C\) avec la droite \(y = -40x + 960\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
b) Estimer la consommation pour \(x = 25\,°C\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
a) \(y = -40 \times 6 + 960 = -240 + 960 = \mathbf{720\,\text{kWh}}\). C'est une interpolation car 6°C est dans l'intervalle [4 ; 16].
b) \(y = -40 \times 25 + 960 = -1\,000 + 960 = \mathbf{-40\,\text{kWh}}\). C'est une extrapolation car 25°C est hors de l'intervalle. Le résultat négatif n'a pas de sens : le modèle a ses limites.
Parmi les affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies ou fausses. Justifier.
a) « Si \(r = 0{,}60\), l'ajustement affine est fiable. »
b) « La droite de régression passe toujours par le point moyen \(G\). »
c) « Un coefficient \(r\) négatif signifie que les données sont fausses. »
a) Faux. \(|r| = 0{,}60 < 0{,}85\), la liaison est faible. Il faut chercher un autre type d'ajustement.
b) Vrai. C'est une propriété fondamentale : la droite de régression passe toujours par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
c) Faux. Un \(r\) négatif signifie une liaison négative (quand \(x\) augmente, \(y\) diminue). Les données ne sont pas fausses.
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur relève la longueur \(x\) (en mètres) des pièces de bois et le temps de découpe \(y\) (en minutes) pour 4 pièces :
| Longueur \(x\) (m) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Temps \(y\) (min) | 10 | 18 | 28 | 36 |
a) Calculer \(\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \dfrac{...}{4} = ...\)
b) Calculer \(\bar{y} = \dfrac{10 + 18 + 28 + 36}{4} = \dfrac{...}{4} = ...\)
c) En déduire les coordonnées du point moyen \(G\).
a) \(\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \dfrac{20}{4} = \mathbf{5\,\text{m}}\)
b) \(\bar{y} = \dfrac{10 + 18 + 28 + 36}{4} = \dfrac{92}{4} = \mathbf{23\,\text{min}}\)
c) Le point moyen est \(G(\mathbf{5\,;\,23})\).
La calculatrice donne \(r = 0{,}99\) pour les données de la question 1.
a) La liaison entre la longueur et le temps de découpe est-elle forte ou faible ? Justifier.
b) \(r\) est positif. Que signifie le signe de \(r\) ? Compléter : « Quand la longueur ..., le temps de découpe ... »
a) \(|r| = 0{,}99 > 0{,}95\), donc la liaison est très forte. L'ajustement affine est excellent.
b) \(r > 0\) signifie une liaison positive : « Quand la longueur augmente, le temps de découpe augmente. »
La droite de régression est \(y = 4{,}4x + 1\).
a) Calculer le temps prévu pour \(x = 5\,\text{m}\) : \(y = 4{,}4 \times 5 + 1 = ...\)
b) Vérifier que le point moyen \(G(5\,;\,23)\) appartient bien à cette droite.
a) \(y = 4{,}4 \times 5 + 1 = 22 + 1 = \mathbf{23\,\text{min}}\)
b) Pour \(x = 5\) : \(y = 23\). On retrouve bien les coordonnées de \(G(5\,;\,23)\). Le point moyen appartient à la droite de régression. ✓
Les données vont de \(x = 2\,\text{m}\) à \(x = 8\,\text{m}\).
a) Estimer le temps de découpe pour \(x = 3\,\text{m}\) avec la droite \(y = 4{,}4x + 1\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
b) Estimer le temps de découpe pour \(x = 15\,\text{m}\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
a) \(y = 4{,}4 \times 3 + 1 = 13{,}2 + 1 = \mathbf{14{,}2\,\text{min}}\). C'est une interpolation car 3 m est dans l'intervalle [2 ; 8].
b) \(y = 4{,}4 \times 15 + 1 = 66 + 1 = \mathbf{67\,\text{min}}\). C'est une extrapolation car 15 m est hors de l'intervalle. Le résultat peut être peu fiable : le modèle a ses limites.
Parmi les affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies ou fausses. Justifier.
a) « Si \(r = -0{,}50\), l'ajustement affine est excellent. »
b) « Un coefficient \(r\) positif signifie que les deux grandeurs évoluent dans le même sens. »
c) « On peut utiliser la droite de régression pour estimer n'importe quelle valeur avec certitude. »
a) Faux. \(|r| = 0{,}50 < 0{,}85\), la liaison est faible. L'ajustement affine n'est pas fiable.
b) Vrai. Un \(r > 0\) signifie une liaison positive : quand \(x\) augmente, \(y\) augmente aussi.
c) Faux. La droite de régression est un modèle qui a ses limites, notamment en extrapolation (hors de l'intervalle des données).
Barème : 20 points
Un installateur thermique relève la température extérieure moyenne \(x\) (en °C) et la consommation hebdomadaire de gaz \(y\) (en m³) d'un bâtiment :
| \(x\) (°C) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) (m³) | 120 | 98 | 75 | 54 | 31 | 10 |
a) Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
b) Placer les points dans un repère et le point moyen \(G\). Le nuage est-il plutôt rectiligne ?
a) \(\bar{x} = \dfrac{0 + 4 + 8 + 12 + 16 + 20}{6} = \dfrac{60}{6} = \mathbf{10\,°C}\)
\(\bar{y} = \dfrac{120 + 98 + 75 + 54 + 31 + 10}{6} = \dfrac{388}{6} \approx \mathbf{64{,}7\,\text{m}^3}\)
b) Le nuage a une forme allongée, les points sont bien alignés. Le nuage est rectiligne (ajustement affine adapté).
La calculatrice donne pour les données précédentes :
a) Interpréter la valeur de \(r\). L'ajustement est-il fiable ?
b) Que signifie le coefficient directeur \(a = -5{,}5\) dans le contexte de ce problème ?
c) Vérifier que \(G(10\,;\,64{,}7)\) appartient approximativement à la droite.
a) \(|r| = 0{,}9998 > 0{,}95\) : la liaison linéaire est très forte. L'ajustement affine est excellent.
b) Le coefficient \(a = -5{,}5\) signifie que lorsque la température augmente de 1°C, la consommation de gaz diminue d'environ 5,5 m³ par semaine.
c) \(y = -5{,}5 \times 10 + 119{,}7 = -55 + 119{,}7 = 64{,}7\). On retrouve bien \(\bar{y} \approx 64{,}7\). ✓
Avec la droite \(y = -5{,}5x + 119{,}7\) :
a) Estimer la consommation pour une semaine où la température moyenne est de 6°C. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
b) Estimer la consommation pour une semaine à 25°C. Commenter le résultat.
a) \(y = -5{,}5 \times 6 + 119{,}7 = -33 + 119{,}7 = \mathbf{86{,}7\,\text{m}^3}\). C'est une interpolation (6°C est dans l'intervalle [0 ; 20]).
b) \(y = -5{,}5 \times 25 + 119{,}7 = -137{,}5 + 119{,}7 = \mathbf{-17{,}8\,\text{m}^3}\). C'est une extrapolation (25°C est hors de l'intervalle). Le résultat négatif n'a pas de sens physique : le modèle n'est plus valable à cette température.
Un menuisier agenceur mesure le temps de fabrication \(y\) (en heures) en fonction du nombre de pièces \(x\) d'un meuble :
| \(x\) (pièces) | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) (heures) | 8 | 14 | 21 | 27 |
La calculatrice donne \(r = 0{,}999\) et \(y = 1{,}27x + 1{,}55\).
a) Combien de temps faut-il pour fabriquer un meuble de 12 pièces ?
b) Pour un budget de 35 heures, combien de pièces au maximum peut comporter le meuble ? (résoudre \(1{,}27x + 1{,}55 = 35\))
a) \(y = 1{,}27 \times 12 + 1{,}55 = 15{,}24 + 1{,}55 = \mathbf{16{,}8\,\text{heures}}\) (interpolation car 12 est dans [5 ; 20]).
b) \(1{,}27x + 1{,}55 = 35\) → \(1{,}27x = 33{,}45\) → \(x = \dfrac{33{,}45}{1{,}27} \approx \mathbf{26{,}3}\). Le meuble peut comporter au maximum 26 pièces.
Pour une série de données, la calculatrice donne \(r = 0{,}72\) avec un ajustement affine.
a) Cet ajustement est-il satisfaisant ? Justifier.
b) Que faut-il faire pour améliorer le modèle ?
a) \(|r| = 0{,}72 < 0{,}85\). La liaison linéaire est faible. L'ajustement affine n'est pas satisfaisant.
b) Il faut essayer un changement de variable (ajustement exponentiel, puissance ou inverse) pour trouver un modèle mieux adapté à la forme du nuage.
Barème : 20 points
Un technicien chauffagiste relève la température extérieure moyenne \(x\) (en °C) et la consommation hebdomadaire d'électricité \(y\) (en kWh) d'un bâtiment :
| \(x\) (°C) | 2 | 6 | 10 | 14 | 18 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) (kWh) | 135 | 112 | 88 | 66 | 42 | 20 |
a) Calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
b) Placer les points dans un repère et le point moyen \(G\). Le nuage est-il plutôt rectiligne ?
a) \(\bar{x} = \dfrac{2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22}{6} = \dfrac{72}{6} = \mathbf{12\,°C}\)
\(\bar{y} = \dfrac{135 + 112 + 88 + 66 + 42 + 20}{6} = \dfrac{463}{6} \approx \mathbf{77{,}2\,\text{kWh}}\)
b) Le nuage a une forme allongée, les points sont bien alignés. Le nuage est rectiligne (ajustement affine adapté).
La calculatrice donne pour les données précédentes :
a) Interpréter la valeur de \(r\). L'ajustement est-il fiable ?
b) Que signifie le coefficient directeur \(a = -5{,}75\) dans le contexte de ce problème ?
c) Vérifier que \(G(12\,;\,77{,}2)\) appartient approximativement à la droite.
a) \(|r| = 0{,}9999 > 0{,}95\) : la liaison linéaire est très forte. L'ajustement affine est excellent.
b) Le coefficient \(a = -5{,}75\) signifie que lorsque la température augmente de 1°C, la consommation d'électricité diminue d'environ 5,75 kWh par semaine.
c) \(y = -5{,}75 \times 12 + 146{,}2 = -69 + 146{,}2 = 77{,}2\). On retrouve bien \(\bar{y} \approx 77{,}2\). ✓
Avec la droite \(y = -5{,}75x + 146{,}2\) :
a) Estimer la consommation pour une semaine où la température moyenne est de 8°C. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
b) Estimer la consommation pour une semaine à 28°C. Commenter le résultat.
a) \(y = -5{,}75 \times 8 + 146{,}2 = -46 + 146{,}2 = \mathbf{100{,}2\,\text{kWh}}\). C'est une interpolation (8°C est dans l'intervalle [2 ; 22]).
b) \(y = -5{,}75 \times 28 + 146{,}2 = -161 + 146{,}2 = \mathbf{-14{,}8\,\text{kWh}}\). C'est une extrapolation (28°C est hors de l'intervalle). Le résultat négatif n'a pas de sens physique : le modèle n'est plus valable à cette température.
Un ébéniste mesure le temps de séchage \(y\) (en jours) en fonction de l'épaisseur \(x\) (en cm) d'une planche de bois :
| \(x\) (cm) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) (jours) | 5 | 11 | 16 | 22 |
La calculatrice donne \(r = 0{,}999\) et \(y = 2{,}8x - 0{,}5\).
a) Combien de jours de séchage faut-il pour une planche de 5 cm d'épaisseur ?
b) Pour un délai maximal de 30 jours, quelle épaisseur maximale peut-on sécher ? (résoudre \(2{,}8x - 0{,}5 = 30\))
a) \(y = 2{,}8 \times 5 - 0{,}5 = 14 - 0{,}5 = \mathbf{13{,}5\,\text{jours}}\) (interpolation car 5 est dans [2 ; 8]).
b) \(2{,}8x - 0{,}5 = 30\) → \(2{,}8x = 30{,}5\) → \(x = \dfrac{30{,}5}{2{,}8} \approx \mathbf{10{,}9\,\text{cm}}\). On peut sécher des planches d'au maximum 10 cm d'épaisseur environ.
Pour une série de données, la calculatrice donne \(r = 0{,}65\) avec un ajustement affine.
a) Cet ajustement est-il satisfaisant ? Justifier.
b) Que faut-il faire pour améliorer le modèle ?
a) \(|r| = 0{,}65 < 0{,}85\). La liaison linéaire est faible. L'ajustement affine n'est pas satisfaisant.
b) Il faut essayer un changement de variable (ajustement exponentiel, puissance ou inverse) pour trouver un modèle mieux adapté à la forme du nuage.
Barème : 20 points
Un technicien en génie climatique mesure le COP (Coefficient de Performance) d'une pompe à chaleur pour différentes températures extérieures :
| Temp. \(x\) (°C) | −5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| COP \(y\) | 2,1 | 2,6 | 3,2 | 3,7 | 4,3 | 4,8 |
a) Calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
b) La calculatrice donne \(y = 0{,}108x + 2{,}617\) et \(r = 0{,}999\). L'ajustement est-il fiable ? Justifier.
c) Estimer le COP pour une température de \(-10\,°C\). Préciser le type d'estimation et commenter.
a) \(\bar{x} = \dfrac{-5 + 0 + 5 + 10 + 15 + 20}{6} = \dfrac{45}{6} = \mathbf{7{,}5\,°C}\)
\(\bar{y} = \dfrac{2{,}1 + 2{,}6 + 3{,}2 + 3{,}7 + 4{,}3 + 4{,}8}{6} = \dfrac{20{,}7}{6} = \mathbf{3{,}45}\)
b) \(|r| = 0{,}999 > 0{,}95\) : la liaison est très forte. L'ajustement affine est excellent.
c) \(y = 0{,}108 \times (-10) + 2{,}617 = -1{,}08 + 2{,}617 = \mathbf{1{,}54}\). C'est une extrapolation (−10°C est hors de l'intervalle [−5 ; 20]). Un COP de 1,54 est très faible : la PAC est peu rentable à cette température, il faudrait envisager un chauffage d'appoint.
Avec la droite de la question 1, \(y = 0{,}108x + 2{,}617\) :
a) Pour quelle température extérieure le COP atteint-il exactement 1 ? (résoudre \(0{,}108x + 2{,}617 = 1\))
b) Interpréter ce résultat dans le contexte professionnel : que se passe-t-il si le COP est inférieur à 1 ?
a) \(0{,}108x + 2{,}617 = 1\) → \(0{,}108x = 1 - 2{,}617 = -1{,}617\) → \(x = \dfrac{-1{,}617}{0{,}108} \approx \mathbf{-15{,}0\,°C}\)
b) Si le COP est inférieur à 1, la pompe à chaleur consomme plus d'énergie qu'elle n'en produit. Il devient alors plus économique de basculer sur un autre mode de chauffage (résistance électrique, chaudière gaz). Cette température seuil est un critère de dimensionnement important en génie climatique.
On observe la population d'une culture de bactéries \(N\) (en milliers) au fil des heures :
| Heure \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(N\) (milliers) | 3 | 6,1 | 12,5 | 25,2 | 50,8 |
a) Vérifier que le nuage \((t, N)\) n'est pas rectiligne en calculant les rapports \(\dfrac{N_1}{N_0}\), \(\dfrac{N_2}{N_1}\), \(\dfrac{N_3}{N_2}\). Que constate-t-on ?
b) On pose \(z = \log(N)\). Compléter le tableau des \(z\) (arrondir à 0,01).
c) La calculatrice donne pour le nuage \((t, z)\) : \(z = 0{,}306t + 0{,}473\) avec \(r = 0{,}9999\). En déduire un modèle de la forme \(N = A \times q^t\).
a) \(\dfrac{6{,}1}{3} \approx 2{,}03\), \(\dfrac{12{,}5}{6{,}1} \approx 2{,}05\), \(\dfrac{25{,}2}{12{,}5} \approx 2{,}02\). Les rapports sont proches mais le nuage \((t,N)\) n'est pas rectiligne : la croissance est exponentielle, pas linéaire.
b) \(z = \log(3) \approx 0{,}48\), \(\log(6{,}1) \approx 0{,}79\), \(\log(12{,}5) \approx 1{,}10\), \(\log(25{,}2) \approx 1{,}40\), \(\log(50{,}8) \approx 1{,}71\)
c) \(\log(N) = 0{,}306t + 0{,}473\) donc \(N = 10^{0{,}306t + 0{,}473} = 10^{0{,}473} \times (10^{0{,}306})^t\).
\(10^{0{,}473} \approx 2{,}97 \approx 3\) et \(10^{0{,}306} \approx 2{,}02 \approx 2\).
Modèle : \(\boxed{N \approx 3 \times 2^t}\) (la population double environ toutes les heures).
En physique, on mesure la tension \(U\) (en V) pour différentes intensités \(I\) (en mA) dans un circuit :
| \(I\) (mA) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(U\) (V) | 0,48 | 0,97 | 1,48 | 1,95 | 2,45 |
La régression linéaire donne \(U = 0{,}0494I + 0{,}005\) avec \(r = 0{,}9999\).
En utilisant la loi d'Ohm \(U = R \times I\), déterminer la résistance \(R\) du composant (en \(\Omega\)). Justifier.
Le coefficient directeur \(a = 0{,}0494\) V/mA correspond au rapport \(\dfrac{U}{I}\), c'est-à-dire la résistance.
Conversion : \(0{,}0494\,\text{V/mA} = 0{,}0494 \times 1\,000\,\text{V/A} = \mathbf{49{,}4\,\Omega}\)
Le \(r\) très proche de 1 confirme que la relation est bien linéaire, ce qui est cohérent avec la loi d'Ohm pour un résistor.
Un élève affirme : « Si le coefficient de corrélation \(r\) est proche de 0, il n'y a aucune relation entre les deux variables. »
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier en donnant un contre-exemple.
L'affirmation est incorrecte. Un coefficient \(r\) proche de 0 signifie uniquement qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les deux variables.
Il peut exister une relation non linéaire forte. Par exemple, si les points forment une parabole (relation quadratique), \(r\) sera proche de 0 alors que la relation entre \(x\) et \(y\) est très nette. Il faut alors tester un changement de variable pour trouver un ajustement adapté.
Barème : 20 points
Un installateur thermique mesure le rendement \(y\) (en %) d'une chaudière à condensation pour différentes températures de retour d'eau \(x\) (en °C) :
| Temp. retour \(x\) (°C) | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Rendement \(y\) (%) | 108 | 106 | 103 | 100 | 97 | 94 |
a) Calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
b) La calculatrice donne \(y = -0{,}56x + 122\) et \(r = -0{,}999\). L'ajustement est-il fiable ? Justifier.
c) Estimer le rendement pour une température de retour de \(55\,°C\). Préciser le type d'estimation et commenter.
a) \(\bar{x} = \dfrac{25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50}{6} = \dfrac{225}{6} = \mathbf{37{,}5\,°C}\)
\(\bar{y} = \dfrac{108 + 106 + 103 + 100 + 97 + 94}{6} = \dfrac{608}{6} \approx \mathbf{101{,}3\,\%}\)
b) \(|r| = 0{,}999 > 0{,}95\) : la liaison est très forte. L'ajustement affine est excellent.
c) \(y = -0{,}56 \times 55 + 122 = -30{,}8 + 122 = \mathbf{91{,}2\,\%}\). C'est une extrapolation (55°C est hors de l'intervalle [25 ; 50]). Le rendement diminue quand la température de retour augmente, ce qui est cohérent avec le fonctionnement d'une chaudière à condensation.
Avec la droite de la question 1, \(y = -0{,}56x + 122\) :
a) Pour quelle température de retour le rendement tombe-t-il à 90 % ? (résoudre \(-0{,}56x + 122 = 90\))
b) Interpréter ce résultat dans le contexte professionnel.
a) \(-0{,}56x + 122 = 90\) → \(-0{,}56x = 90 - 122 = -32\) → \(x = \dfrac{-32}{-0{,}56} \approx \mathbf{57{,}1\,°C}\)
b) Au-delà de 57°C de température de retour, le rendement passe sous 90 %. La chaudière à condensation perd son avantage de rendement et fonctionne comme une chaudière classique. Il est donc essentiel de dimensionner le circuit pour maintenir une température de retour basse.
On observe la croissance d'un capital placé à intérêts composés \(C\) (en €) au fil des années :
| Année \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C\) (€) | 5 000 | 5 250 | 5 513 | 5 788 | 6 078 |
a) Vérifier que le nuage \((t, C)\) n'est pas rectiligne en calculant les rapports \(\dfrac{C_1}{C_0}\), \(\dfrac{C_2}{C_1}\), \(\dfrac{C_3}{C_2}\). Que constate-t-on ?
b) On pose \(z = \log(C)\). Compléter le tableau des \(z\) (arrondir à 0,01).
c) La calculatrice donne pour le nuage \((t, z)\) : \(z = 0{,}0212t + 3{,}699\) avec \(r = 0{,}9999\). En déduire un modèle de la forme \(C = A \times q^t\).
a) \(\dfrac{5\,250}{5\,000} = 1{,}05\), \(\dfrac{5\,513}{5\,250} \approx 1{,}05\), \(\dfrac{5\,788}{5\,513} \approx 1{,}05\). Les rapports sont quasi constants, ce qui signifie une croissance exponentielle (pas linéaire).
b) \(z = \log(5\,000) \approx 3{,}70\), \(\log(5\,250) \approx 3{,}72\), \(\log(5\,513) \approx 3{,}74\), \(\log(5\,788) \approx 3{,}76\), \(\log(6\,078) \approx 3{,}78\)
c) \(\log(C) = 0{,}0212t + 3{,}699\) donc \(C = 10^{0{,}0212t + 3{,}699} = 10^{3{,}699} \times (10^{0{,}0212})^t\).
\(10^{3{,}699} \approx 5\,000\) et \(10^{0{,}0212} \approx 1{,}05\).
Modèle : \(\boxed{C \approx 5\,000 \times 1{,}05^t}\) (le capital augmente de 5 % par an).
En physique, on mesure la pression \(P\) (en bar) pour différentes profondeurs \(d\) (en m) dans un liquide :
| \(d\) (m) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) (bar) | 1,20 | 1,39 | 1,59 | 1,78 | 1,98 |
La régression linéaire donne \(P = 0{,}098d + 1{,}005\) avec \(r = 0{,}9999\).
En utilisant la relation \(P = \rho g d + P_0\), déterminer la masse volumique \(\rho\) du liquide (en kg/m³) sachant que \(g = 9{,}8\) m/s². Justifier.
Le coefficient directeur \(a = 0{,}098\) bar/m correspond à \(\rho g\) (en bar/m).
Conversion : \(0{,}098\,\text{bar/m} = 0{,}098 \times 10^5\,\text{Pa/m} = 9\,800\,\text{Pa/m}\)
\(\rho = \dfrac{9\,800}{9{,}8} = \mathbf{1\,000\,\text{kg/m}^3}\)
Le liquide est de l'eau (masse volumique 1 000 kg/m³). Le \(r\) très proche de 1 confirme la relation linéaire entre pression et profondeur.
Un élève affirme : « Si le coefficient de corrélation \(r\) est très proche de 1, alors la variable \(x\) cause la variable \(y\). »
Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier en donnant un contre-exemple.
L'affirmation est incorrecte. Un coefficient \(r\) proche de 1 mesure uniquement une corrélation (liaison statistique), pas une causalité.
Par exemple, la consommation de glaces et le nombre de noyades sont fortement corrélés (\(r\) élevé), mais les glaces ne causent pas les noyades : c'est la chaleur estivale qui est la cause commune des deux phénomènes. On parle de variable confondante.