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Chapitre 1 – Exercices par capacités

Statistiques à deux variables  |  Terminale Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Représenter un nuage de points

Rappel de cours

Un nuage de points représente \(n\) couples \((x_i ; y_i)\) dans un repère. La variable \(x\) (explicative) est placée en abscisse, la variable \(y\) (réponse) en ordonnée. L'aspect du nuage renseigne sur la nature de la liaison : si les points s'alignent, la liaison est linéaire ; on distingue liaison croissante ou décroissante selon la pente.

Exercice 1

Un menuisier relève la surface traitée (en m²) et le temps passé (en heures) sur 6 chantiers :

Surface \(x\) (m²)101520253035
Temps \(y\) (h)3467910
  1. Placer les 6 points dans un repère (axe x de 0 à 40, axe y de 0 à 12).
  2. La relation semble-t-elle linéaire ? Croissante ou décroissante ?
  1. Points à placer : (10 ; 3), (15 ; 4), (20 ; 6), (25 ; 7), (30 ; 9), (35 ; 10).
  2. Les points semblent s'aligner approximativement le long d'une droite croissante → relation linéaire positive : plus la surface est grande, plus le temps augmente.

Exercice 2

Un technicien chauffagiste note la consommation de gaz (en kWh) selon la température extérieure (en °C) pour 5 relevés :

Température \(x\) (°C)−5051015
Consommation \(y\) (kWh)12095705030
  1. Représenter le nuage de points.
  2. Décrire la tendance : croissante ou décroissante ? Quelle interprétation physique ?
  1. Points : (−5 ; 120), (0 ; 95), (5 ; 70), (10 ; 50), (15 ; 30).
  2. Tendance décroissante : quand la température extérieure augmente, la consommation de chauffage diminue. C'est cohérent : moins il fait froid, moins on chauffe.

Exercice 3

Un atelier d'agencement relève le chiffre d'affaires mensuel (en k€) sur 6 mois :

Mois \(x\)123456
CA \(y\) (k€)424548515357

Représenter le nuage de points et décrire la tendance générale.

Points : (1 ; 42), (2 ; 45), (3 ; 48), (4 ; 51), (5 ; 53), (6 ; 57).
Tendance croissante et quasi-linéaire : le chiffre d'affaires augmente régulièrement d'environ 3 k€ par mois.

C2 — Calculer le point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\)

Rappel de cours

Le point moyen \(G\) a pour coordonnées \(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}\) et \(\bar{y} = \dfrac{\sum y_i}{n}\). Il est toujours situé sur la droite d'ajustement. Calculer \(G\) est la première étape avant de déterminer la droite de régression.

Exercice 4

En reprenant les données de l'exercice 1 (surface / temps), calculer les coordonnées du point moyen \(G\).

\(\bar{x} = \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35}{6} = \frac{135}{6} = 22{,}5\) m²
\(\bar{y} = \frac{3 + 4 + 6 + 7 + 9 + 10}{6} = \frac{39}{6} = 6{,}5\) h
\(G(22{,}5 \;;\; 6{,}5)\)

Exercice 5

Un fabricant de cuisines relève le nombre de meubles posés (\(x\)) et le temps de pose (\(y\) en h) sur 5 chantiers :

\(x\) (meubles)81210155
\(y\) (h)697114

Calculer le point moyen \(G\).

\(\bar{x} = \frac{8 + 12 + 10 + 15 + 5}{5} = \frac{50}{5} = 10\) meubles
\(\bar{y} = \frac{6 + 9 + 7 + 11 + 4}{5} = \frac{37}{5} = 7{,}4\) h
\(G(10 \;;\; 7{,}4)\)

Exercice 6

On a \(\bar{x} = 18\) et la somme \(\sum y_i = 216\) pour \(n = 8\) données. Calculer \(\bar{y}\) et les coordonnées de \(G\).

\(\bar{y} = \frac{216}{8} = 27\)
\(G(18 \;;\; 27)\)

C3 — Droite d'ajustement affine

À retenir

La droite d'ajustement (droite de régression) a pour équation \(y = ax + b\). Elle passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x}; \bar{y})\). Le coefficient \(a\) est la pente (variation de \(y\) pour +1 unité de \(x\)) ; \(b\) est l'ordonnée à l'origine. On calcule \(b\) en écrivant que G est sur la droite : \(b = \bar{y} - a\bar{x}\).

x y variable explicative variable réponse G nuage de points droite d'ajustement

Exercice 7

Pour les données de l'exercice 1 (surface / temps), la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés est \(y = 0{,}28x - 0{,}79\).

  1. Vérifier que le point moyen \(G(22{,}5 ; 6{,}5)\) est bien sur cette droite.
  2. Tracer cette droite dans le repère du nuage de points.
  1. \(0{,}28 \times 22{,}5 - 0{,}79 = 6{,}3 - 0{,}79 = 5{,}51\). Ce n'est pas exactement 6,5 (arrondi des coefficients). En pratique, la droite d'ajustement passe toujours par G — les coefficients arrondis introduisent un léger écart.
  2. Pour tracer : prendre deux valeurs extrêmes, ex. \(x = 5\) → \(y = 0{,}28 \times 5 - 0{,}79 = 0{,}61\) et \(x = 40\) → \(y = 0{,}28 \times 40 - 0{,}79 = 10{,}41\). Tracer la droite passant par ces deux points.

Exercice 8

La droite d'ajustement du chiffre d'affaires (exercice 3) est \(y = 2{,}97x + 39{,}57\).

  1. Interpréter le coefficient directeur 2,97.
  2. Interpréter l'ordonnée à l'origine 39,57.
  1. Le CA augmente en moyenne de 2,97 k€ par mois (soit environ +3 k€/mois).
  2. À \(x = 0\) (avant le premier mois), le CA estimé serait de 39,57 k€. C'est une extrapolation théorique (valeur du modèle au démarrage).

Exercice 9

Pour une série, on a calculé \(G(12 ; 8{,}4)\) et le coefficient directeur de la droite de régression est \(a = 0{,}6\). Déterminer l'équation complète de la droite d'ajustement.

La droite passe par \(G\) donc : \(8{,}4 = 0{,}6 \times 12 + b\)
\(8{,}4 = 7{,}2 + b\)
\(b = 1{,}2\)
Équation : \(y = 0{,}6x + 1{,}2\)

C4 — Coefficient de corrélation linéaire \(r\)

À retenir

Le coefficient de corrélation \(r\) mesure la force et le sens de la liaison linéaire entre \(x\) et \(y\). Il est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Si \(r > 0\) : liaison croissante ; si \(r < 0\) : liaison décroissante. Plus \(|r|\) est proche de 1, plus la liaison est forte. En pratique, on considère le modèle affine pertinent si \(|r| \geq 0{,}9\).

Exercice 10

Pour chaque valeur de \(r\), décrire la nature de la liaison et son intensité :

  1. \(r = 0{,}97\)
  2. \(r = -0{,}85\)
  3. \(r = 0{,}32\)
  4. \(r = -0{,}98\)
  1. \(r = 0{,}97\) : liaison linéaire forte positive (proche de 1). Ajustement affine très pertinent.
  2. \(r = -0{,}85\) : liaison linéaire forte négative. Quand \(x\) augmente, \(y\) diminue fortement.
  3. \(r = 0{,}32\) : liaison linéaire faible positive. Le modèle affine est peu pertinent.
  4. \(r = -0{,}98\) : liaison linéaire très forte négative. Le modèle affine est très bien adapté.
Règle pratique : on considère la liaison forte si \(|r| \geq 0{,}9\).

Exercice 11

Un installateur thermique obtient \(r = 0{,}92\) pour la liaison entre la puissance installée (kW) et la surface chauffée (m²) sur 10 logements. Peut-il utiliser la droite d'ajustement pour faire des estimations ? Justifier.

\(|r| = 0{,}92 \geq 0{,}9\) → la liaison est forte. Le modèle affine est pertinent.
Oui, l'installateur peut utiliser la droite d'ajustement pour estimer la puissance nécessaire à partir de la surface d'un logement.

Exercice 12

Deux séries donnent \(r_A = 0{,}78\) et \(r_B = -0{,}95\). Pour laquelle la droite d'ajustement est-elle la plus fiable ? Expliquer.

\(|r_A| = 0{,}78\) et \(|r_B| = 0{,}95\).
La série B (\(|r| = 0{,}95\)) a une liaison plus forte → la droite d'ajustement est plus fiable pour la série B.
Le signe de \(r\) indique seulement le sens de la liaison (positive pour A, négative pour B), pas la qualité de l'ajustement.

C5 — Prévisions à partir de la droite d'ajustement

Rappel de cours

Pour estimer \(y\) à partir d'une valeur de \(x\) : remplacer \(x\) dans l'équation \(y = ax + b\). Pour estimer \(x\) à partir d'une valeur de \(y\) : résoudre \(ax + b = y_0\). Attention : les prévisions ne sont fiables que dans l'intervalle des valeurs observées (interpolation). En dehors de cet intervalle (extrapolation), les résultats sont peu fiables.

Exercice 13

La droite d'ajustement entre la surface (m²) et le temps de pose (h) est \(y = 0{,}28x - 0{,}79\). Estimer :

  1. Le temps pour traiter une surface de 50 m².
  2. La surface traitée en 8 heures.
  1. \(y = 0{,}28 \times 50 - 0{,}79 = 14 - 0{,}79 = \mathbf{13{,}21}\) h
  2. \(8 = 0{,}28x - 0{,}79 \Rightarrow 0{,}28x = 8{,}79 \Rightarrow x = \frac{8{,}79}{0{,}28} \approx \mathbf{31{,}4}\) m²

Exercice 14

La droite de régression du CA est \(y = 2{,}97x + 39{,}57\). Estimer le CA pour les mois 8, 10 et 12. Le résultat au mois 20 vous semble-t-il fiable ?

Mois 8 : \(y = 2{,}97 \times 8 + 39{,}57 = 23{,}76 + 39{,}57 = 63{,}33\) k€
Mois 10 : \(y = 29{,}7 + 39{,}57 = 69{,}27\) k€
Mois 12 : \(y = 35{,}64 + 39{,}57 = 75{,}21\) k€
Mois 20 : \(y = 59{,}4 + 39{,}57 = 98{,}97\) k€ — résultat peu fiable : on extrapole loin des données initiales (mois 1 à 6). Une tendance linéaire peut ne pas se maintenir sur la durée.

Exercice 15

Un technicien chauffagiste dispose de la droite \(y = -6x + 90\) liant température extérieure (\(x\) en °C) et consommation (\(y\) en kWh). Estimer la consommation pour \(-10\)°C, 0°C et 20°C. Interpréter le résultat pour 20°C.

\(-10\)°C : \(y = -6 \times (-10) + 90 = 60 + 90 = \mathbf{150}\) kWh
0°C : \(y = 0 + 90 = \mathbf{90}\) kWh
20°C : \(y = -6 \times 20 + 90 = -120 + 90 = \mathbf{-30}\) kWh
Une consommation négative est physiquement impossible → le modèle n'est pas valide pour des températures trop élevées. Il faut utiliser la droite uniquement dans l'intervalle des données observées.

C6 — Ajustement non affine par changement de variable

Rappel

Nuage courbe → changement de variable pour le rendre linéaire : \(z=\log(y)\) (exponentielle), \(z=1/x\) (hyperbole), etc. On ajuste le nouveau nuage, puis on revient à la variable initiale.

Exercice 16

Consommation \(E\) (kWh) selon le nombre de machines \(x\) :

\(x\)12345
\(E\)104295175310

a) Nuage aligné ? b) Poser \(z=\log(E)\), calculer. c) Droite : \(z\approx 0{,}37x+0{,}58\). d) En déduire \(E(x)\).

a) Non, croissance accélérée. b) \(z\) : 1 ; 1,62 ; 1,98 ; 2,24 ; 2,49. c) Nuage \((x;z)\) aligné. d) \(E=10^{0{,}37x+0{,}58}\approx 3{,}8\times 2{,}34^x\).

Exercice 17

Temps de séchage \(t\) (h) selon épaisseur \(e\) (mm) :

\(e\)0,511,523
\(t\)1264,232,1

a) Poser \(z=1/e\). b) On obtient \(t\approx 6z\). En déduire \(t(e)\). c) Estimer \(t(4)\).

a) \(z\) : 2, 1, 0.67, 0.5, 0.33 → nuage \((z;t)\) aligné. b) \(t=6/e\). c) \(t(4)=6/4=1{,}5\) h.