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Devoir Surveillé – Chapitre 1

Statistiques à deux variables  |  Tle Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
Exercice 1 – Consommation de chauffage (guidé) 10 points

Un technicien chauffagiste relève la consommation mensuelle de gaz \(C\) (m³) d'un immeuble selon la température extérieure \(T\) (°C) :

\(T\) (°C)25810131720
\(C\) (m³)85736255432817
1. (1 pt) Quelles sont les deux variables ? Indiquer laquelle est \(x\) (cause) et laquelle est \(y\) (effet).

\(x\) = ………………… (cause)    \(y\) = ………………… (effet)

2. (1 pt) Quand la température augmente, la consommation : ☐ augmente   ☐ diminue. La tendance est : ☐ croissante   ☐ décroissante.
3. (2 pts) On admet que la droite d'ajustement est \(C = -3{,}8 \times T + 92{,}7\). Calculer \(C\) pour \(T = 12\) °C. Compléter :

\(C = -3{,}8 \times \boxed{\phantom{12}} + 92{,}7 = \boxed{\phantom{-45,6}} + 92{,}7 = \boxed{\phantom{47,1}}\) m³

4. (2 pts) \(T = 12\) est-il entre 2 et 20 (les valeurs du tableau) ? Cocher et nommer le type d'estimation :

☐ Oui → interpolation    ☐ Non → extrapolation

5. (2 pts) Calculer \(C\) pour \(T = 25\) °C. Ce résultat est-il réaliste ? Expliquer en une phrase.

\(C = -3{,}8 \times 25 + 92{,}7 = \) ………… m³

6. (2 pts) On cherche la température à laquelle la consommation est nulle. Compléter :

\(C = 0\) → \(-3{,}8 \times T + 92{,}7 = 0\) → \(T = 92{,}7 \div \boxed{\phantom{3,8}} = \) ………… °C

1. \(x\) = température \(T\) (°C) — cause ; \(y\) = consommation \(C\) (m³) — effet.

2. La consommation diminue. Tendance décroissante.

3. \(C = -3{,}8 \times 12 + 92{,}7 = -45{,}6 + 92{,}7 = \mathbf{47{,}1}\) m³

4. \(T = 12\) est entre 2 et 20 → interpolation (estimation fiable).

5. \(C = -3{,}8 \times 25 + 92{,}7 = -2{,}3\) m³ → pas réaliste : consommation négative impossible, le modèle n'est plus valable à 25 °C (extrapolation).

6. \(T = 92{,}7 \div 3{,}8 \approx \mathbf{24{,}4}\) °C. Au-delà, le modèle prédit une consommation nulle.

Exercice 2 – Coût des panneaux (guidé) 10 points

Un menuisier agenceur étudie le coût de fabrication \(C\) (€) de panneaux selon leur surface \(S\) (m²) :

\(S\) (m²)1235710
\(C\) (€)4578115185260375
1. (1 pt) La tendance du nuage de points est : ☐ croissante   ☐ décroissante   ☐ pas de tendance.
2. (2 pts) La droite d'ajustement est \(C = 36{,}5 \times S + 12{,}3\). Calculer \(C\) pour \(S = 4\) m² (compléter) :

\(C = 36{,}5 \times \boxed{\phantom{4}} + 12{,}3 = \boxed{\phantom{146}} + 12{,}3 = \boxed{\phantom{158,3}}\) €

3. (1 pt) \(S = 4\) est-il entre 1 et 10 ? Type d'estimation : ………
4. (2 pts) Calculer \(C\) pour \(S = 12\) m². Préciser le type et expliquer pourquoi c'est moins fiable.
5. (2 pts) Budget maximum : 300 €. Quelle surface peut-on commander ? Compléter le calcul :

\(36{,}5 \times S + 12{,}3 = 300\) → \(36{,}5 \times S = \boxed{\phantom{287,7}}\) → \(S = \) ………… m²

6. (2 pts) Que représente le nombre 36,5 dans le contexte du chantier ?

1. Tendance croissante : plus la surface est grande, plus le coût est élevé.

2. \(C = 36{,}5 \times 4 + 12{,}3 = 146 + 12{,}3 = \mathbf{158{,}3}\) €

3. \(S = 4\) est entre 1 et 10 → interpolation ✓

4. \(C = 36{,}5 \times 12 + 12{,}3 = 450{,}3\) € → extrapolation (12 > 10, hors données). Moins fiable car le comportement linéaire n'est peut-être plus valable au-delà.

5. \(36{,}5 \times S = 287{,}7\) → \(S = 287{,}7 \div 36{,}5 \approx \mathbf{7{,}9}\) m²

6. 36,5 signifie : chaque m² supplémentaire coûte environ 36,50 € de matériaux.

Exercice 1 – Consommation de chauffage 10 points

Un technicien chauffagiste relève la consommation mensuelle de gaz \(C\) (en m³) d'un immeuble en fonction de la température extérieure moyenne \(T\) (en °C). Il obtient les données suivantes :

\(T\) (°C)25810131720
\(C\) (m³)85736255432817
1. (2 pts) Placer le nuage de points \((T\,;\,C)\) dans un repère adapté.
2. (1 pt) Décrire la tendance observée. Le lien entre \(T\) et \(C\) semble-t-il linéaire ? Justifier.
3. (2 pts) On admet que la droite d'ajustement a pour équation \(C = -3{,}8T + 92{,}7\). Tracer cette droite dans le repère précédent.
4. (2 pts) Estimer la consommation pour une température de \(12\)°C. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Justifier.
5. (2 pts) Estimer la consommation pour une température de \(25\)°C. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Justifier. Ce résultat est-il fiable ?
6. (1 pt) À partir de quelle température la consommation estimée devient-elle nulle ? Interpréter ce résultat.

1. Le nuage de points est placé dans un repère avec \(T\) en abscisse (de 0 à 22) et \(C\) en ordonnée (de 0 à 90). Les 7 points sont placés selon le tableau.

2. Lorsque la température augmente, la consommation diminue : la tendance est décroissante. Les points sont approximativement alignés, le lien semble linéaire.

3. On trace la droite passant par exemple par \(T=0 \Rightarrow C=92{,}7\) et \(T=20 \Rightarrow C=-3{,}8\times 20+92{,}7=16{,}7\).

4. Pour \(T=12\) : \(C = -3{,}8 \times 12 + 92{,}7 = -45{,}6 + 92{,}7 = 47{,}1\) m³.
C'est une interpolation car \(12\) est compris entre les valeurs extrêmes de \(T\) (entre 2 et 20).

5. Pour \(T=25\) : \(C = -3{,}8 \times 25 + 92{,}7 = -95 + 92{,}7 = -2{,}3\) m³.
C'est une extrapolation car \(25\) est en dehors de la plage des données (au-delà de 20). Ce résultat n'est pas fiable car une consommation négative n'a pas de sens physique.

6. On résout \(-3{,}8T + 92{,}7 = 0\), soit \(T = \dfrac{92{,}7}{3{,}8} \approx 24{,}4\)°C. Au-delà d'environ 24°C, le modèle prédit une consommation nulle (plus besoin de chauffage).

Exercice 2 – Coût de fabrication de panneaux 10 points

Un agenceur d'intérieur étudie le coût de fabrication \(C\) (en €) de panneaux décoratifs en fonction de leur surface \(S\) (en m²). Il dispose des relevés suivants :

\(S\) (m²)1235710
\(C\) (€)4578115185260375
1. (2 pts) Placer le nuage de points \((S\,;\,C)\) dans un repère adapté.
2. (1 pt) La droite d'ajustement obtenue par la calculatrice a pour équation \(C = 36{,}5S + 12{,}3\). Tracer cette droite.
3. (2 pts) Estimer le coût d'un panneau de \(4\) m². Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
4. (2 pts) Estimer le coût d'un panneau de \(12\) m². Discuter de la fiabilité de cette estimation.
5. (2 pts) Le budget maximal du client est de \(300\) €. Quelle surface maximale de panneau peut-il commander ? Détailler le calcul.
6. (1 pt) Interpréter le coefficient \(36{,}5\) dans l'équation \(C = 36{,}5S + 12{,}3\) dans le contexte du problème.

1. Le nuage de points est placé dans un repère avec \(S\) en abscisse (de 0 à 11) et \(C\) en ordonnée (de 0 à 400). Les 6 points sont placés selon le tableau.

2. On trace la droite en calculant deux points : pour \(S=0\), \(C=12{,}3\) et pour \(S=10\), \(C=36{,}5 \times 10 + 12{,}3 = 377{,}3\).

3. Pour \(S=4\) : \(C = 36{,}5 \times 4 + 12{,}3 = 146 + 12{,}3 = 158{,}3\) €.
C'est une interpolation car \(4\) est compris entre les valeurs extrêmes de \(S\) (entre 1 et 10).

4. Pour \(S=12\) : \(C = 36{,}5 \times 12 + 12{,}3 = 438 + 12{,}3 = 450{,}3\) €.
C'est une extrapolation car \(12\) dépasse la plage des données (au-delà de 10). L'estimation est moins fiable car le modèle linéaire n'est pas forcément valable au-delà des données observées.

5. On résout \(36{,}5S + 12{,}3 = 300\) :
\(36{,}5S = 300 - 12{,}3 = 287{,}7\)
\(S = \dfrac{287{,}7}{36{,}5} \approx 7{,}88\) m².
Le client peut commander un panneau d'environ \(7{,}9\) m² maximum.

6. Le coefficient \(36{,}5\) représente le coût supplémentaire par m² de panneau. Chaque m² supplémentaire coûte environ \(36{,}50\) € de plus.

Exercice 1 – Modélisation et critique du modèle 10 points

Un installateur thermique relève la consommation journalière de gaz \(C\) (m³) d'un immeuble de bureaux selon la température extérieure \(T\) (°C) :

\(T\) (°C)0369121518
\(C\) (m³)92806958463422
1. (1 pt) Décrire en une phrase la tendance du nuage de points. Le lien semble-t-il linéaire ?
2. (2 pts) Calculer la droite d'ajustement par la méthode des points moyens. Rappel : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\), \(\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}\), puis la droite passe par \((\bar{x},\,\bar{y})\) avec le coefficient \(a = \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}\).
3. (2 pts) On admet que \(C = -4{,}0 \times T + 92\). Pour quelle température la consommation est-elle nulle ? Ce résultat est-il physiquement réaliste ? Justifier.
4. (2 pts) Le gestionnaire de l'immeuble souhaite réduire la consommation à moins de 40 m³/jour. D'après la droite, à partir de quelle température cela devient-il possible ?
5. (3 pts) Estimer \(C\) pour \(T = -5\) °C (hiver rigoureux) et pour \(T = 25\) °C (canicule). Discuter la fiabilité de chaque estimation et proposer une limite raisonnable du domaine de validité du modèle.

1. Quand la température augmente, la consommation diminue : tendance décroissante. Les points semblent bien alignés → lien linéaire vraisemblable.

2. \(\bar{x} = (0+3+6+9+12+15+18)/7 = 63/7 = 9\) °C ; \(\bar{y} = (92+80+69+58+46+34+22)/7 = 401/7 \approx 57{,}3\) m³.
Calcul de la pente : \(a \approx -4{,}0\) ; ordonnée à l'origine : \(b = 57{,}3 - (-4{,}0)\times9 = 57{,}3 + 36 = 93{,}3 \approx 92\). Droite : \(C \approx -4T + 92\).

3. \(C = 0\) : \(-4T + 92 = 0\) → \(T = 23\) °C. Réaliste ? Un bâtiment consomme encore de l'énergie (ventilation, eau chaude…) même à 23 °C. Le modèle linéaire a ses limites.

4. \(C < 40\) : \(-4T + 92 < 40\) → \(-4T < -52\) → \(T > 13\) °C. À partir de 13 °C.

5. \(T = -5\) : \(C = -4\times(-5)+92 = 112\) m³ → extrapolation, hors [0 ; 18] → moins fiable. \(T = 25\) : \(C = -4\times25+92 = -8\) m³ → négatif, impossible physiquement. Le modèle est raisonnablement valable sur [0 ; 18] °C environ.

Exercice 2 – Optimisation d'un devis 10 points

Un menuisier agenceur veut établir une relation entre la surface posée \(S\) (m²) et le temps de pose \(t\) (heures) pour 8 chantiers :

\(S\) (m²)4681012141618
\(t\) (h)3,24,56,17,89,010,512,213,8
1. (1 pt) Identifier les variables \(x\) et \(y\). Décrire la tendance.
2. (2 pts) On admet que la droite d'ajustement est \(t = 0{,}76 \times S + 0{,}12\). Interpréter le coefficient 0,76 dans le contexte professionnel.
3. (2 pts) Un client commande la pose de 22 m² de panneaux. Estimer le temps de pose. Interpolation ou extrapolation ? La prévision est-elle fiable ?
4. (3 pts) Le tarif horaire du menuisier est 45 €/h et les matériaux coûtent \(32 \times S\) €. Écrire le coût total \(C_{total}(S)\) en fonction de \(S\). Pour \(S = 15\) m², calculer ce coût.
5. (2 pts) Le client a un budget de 900 €. Quelle surface maximale peut-il faire poser ? (Résoudre l'équation \(C_{total}(S) = 900\).)

1. \(x\) = surface \(S\) (m²), \(y\) = temps \(t\) (h). Tendance croissante : plus la surface est grande, plus le temps de pose est long.

2. Le coefficient 0,76 signifie : chaque m² supplémentaire nécessite environ 0,76 heure (46 minutes) de pose.

3. \(t = 0{,}76 \times 22 + 0{,}12 = 16{,}72 + 0{,}12 = \mathbf{16{,}8}\) h. \(S = 22\) est hors [4 ; 18] → extrapolation → prévision moins fiable, à confirmer sur le terrain.

4. \(C_{total}(S) = 45 \times t(S) + 32S = 45(0{,}76S + 0{,}12) + 32S = 34{,}2S + 5{,}4 + 32S = \mathbf{66{,}2S + 5{,}4}\)
Pour \(S = 15\) : \(C = 66{,}2 \times 15 + 5{,}4 = 993 + 5{,}4 = \mathbf{998{,}4}\) €.

5. \(66{,}2S + 5{,}4 = 900\) → \(66{,}2S = 894{,}6\) → \(S \approx \mathbf{13{,}5}\) m².