Devoir Surveillé n° 2 – Chapitre 1

1. \(f = -0{,}00147\,m + 204{,}6\) avec \(r = -0{,}34\).

\(|r| = 0{,}34 \leq 0{,}85\) : la liaison linéaire est faible, l'ajustement est à rejeter. La valeur prévue le confirme : pour la souris, \(-0{,}00147 \times 0{,}020 + 204{,}6 \approx 204{,}6\) battements/min, contre 600 mesurés. La relation existe (le nuage est nettement décroissant) mais elle n'est pas affine.

2. On pose \(u = \log(m)\) et \(z = \log(f)\). La régression de \(z\) en \(u\) donne :

\(z = -0{,}27\,u + 2{,}37\)   avec   \(r = -0{,}996\)

\(|r| > 0{,}95\) : l'ajustement est excellent.

3. \(\log(f) = -0{,}27\log(m) + 2{,}37\) donne \(f = 10^{2{,}37} \times m^{-0{,}27}\), soit \(f \approx 234 \times m^{-0{,}27}\).

Comparaison avec \(f = 241 \times m^{-0{,}25}\) :

• coefficient : écart relatif \(\dfrac{241 - 234}{241} \approx 0{,}029\), soit 2,9 % ;
• exposant : \(-0{,}27\) contre \(-0{,}25\), soit un écart de 0,02.

Les deux modèles sont donc très proches. Un ajustement mené sur dix animaux en une heure retrouve, à 3 % près, une loi établie sur plusieurs centaines d'espèces. L'exposant \(-0{,}25\) de la loi de référence est exactement \(-\frac{1}{4}\), ce qui n'est pas un hasard : c'est une constante de l'allométrie des mammifères.

4. \(f = 234 \times 0{,}009^{-0{,}27} \approx 234 \times 3{,}57 \approx \mathbf{835}\) battements/min.

C'est une extrapolation : 0,009 kg est en dessous de la plus petite masse du tableau (la souris, 0,020 kg).

5. VAL : le résultat est crédible. Les musaraignes ont effectivement les fréquences cardiaques les plus élevées connues chez les mammifères, de l'ordre de 800 à 1 000 battements par minute — soit plus de 13 battements par seconde.

Réserves à poser :

• on est sorti du domaine des données, donc la fiabilité est moindre qu'en interpolation ;
• un modèle puissance n'a aucune limite : en faisant tendre \(m\) vers 0, il donnerait une fréquence infinie. Il existe forcément une limite physiologique que le modèle ignore ;
• les valeurs du document 1 sont des moyennes : la fréquence d'un même animal varie avec l'effort, le stress, la température et l'âge.

6. \(N = f \times 525\,600 \times T = \left(234 \times m^{-0{,}27}\right) \times 525\,600 \times \left(9{,}8 \times m^{0{,}22}\right)\).

On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de \(m\) de l'autre :

\(N = 234 \times 9{,}8 \times 525\,600 \times m^{-0{,}27} \times m^{0{,}22}\)

\(234 \times 9{,}8 \times 525\,600 = 1\,205\,305\,920 \approx 1{,}21 \times 10^{9}\), et \(m^{-0{,}27} \times m^{0{,}22} = m^{-0{,}27 + 0{,}22} = m^{-0{,}05}\).

\(N \approx 1{,}21 \times 10^{9} \times m^{-0{,}05}\)

7. Souris : \(N = 1{,}21 \times 10^{9} \times 0{,}020^{-0{,}05} \approx 1{,}21 \times 10^{9} \times 1{,}22 \approx \mathbf{1{,}5 \times 10^{9}}\) battements.
Baleine bleue : \(N = 1{,}21 \times 10^{9} \times 136\,000^{-0{,}05} \approx 1{,}21 \times 10^{9} \times 0{,}554 \approx \mathbf{0{,}67 \times 10^{9}}\) battements.

8. COM : l'exposant \(-0{,}05\) est très proche de 0, et \(m^{0} = 1\) : le nombre de battements d'une vie ne dépend donc presque pas de la masse. Le calcul le confirme — entre la souris et la baleine, la masse est multipliée par près de 7 millions et \(N\) est seulement divisé par 2,2.

La fréquence décroît en \(m^{-0{,}27}\), la durée de vie croît en \(m^{0{,}22}\) : les deux effets se compensent presque exactement. C'est la raison mathématique du « milliard de battements » commun à tous les mammifères.

Pour l'être humain, le modèle prévoit \(1{,}21 \times 10^{9} \times 70^{-0{,}05} \approx 0{,}98 \times 10^{9}\) battements, soit environ un milliard. Or le calcul direct donne \(70 \times 525\,600 \times 80 = 2{,}94 \times 10^{9}\) battements, soit trois fois plus. L'être humain est hors du modèle : ce n'est pas son cœur qui est particulier — 70 battements/min pour 70 kg correspond bien à la loi — mais sa durée de vie, très supérieure à celle que sa masse laisserait attendre.