Chapitre 1 – Statistiques à deux variables | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Léo, gérant d'une PME d'agencement de magasins, étudie l'évolution de son chiffre d'affaires (CA) sur les 6 dernières années pour préparer son business plan et solliciter un crédit bancaire.
| Année x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| CA y (k€) | 50 | 62 | 78 | 97 | 121 | 151 |
| Modèle | Équation | Coefficient r |
|---|---|---|
| Linéaire | y = 20,3 × x + 25,7 | 0,975 |
| Exponentiel | y = 41,2 × 1,25^x | 0,999 |
| Puissance | y = 47,3 × x^0,79 | 0,990 |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (coefficient de corrélation), §4 (modèles d'ajustement) et §5 (prévisions).
Décrire l'allure du nuage de points : la croissance du CA est-elle linéaire ou non ?
Différences successives : 62−50 = 12 ; 78−62 = 16 ; 97−78 = 19 ; 121−97 = 24 ; 151−121 = 30.
Les écarts augmentent d'année en année → croissance plus que linéaire. Le CA accélère.
Visuellement, la courbe a une forme d'« exponentielle » : départ doux, puis pente forte.
D'après les valeurs de r, quel est le modèle le mieux adapté au nuage ? Justifier.
Modèle exponentiel : r = 0,999 → meilleur score.
Modèle puissance : r = 0,990 → bon mais moins.
Modèle linéaire : r = 0,975 → correct mais moins bon.
Le modèle exponentiel est le plus adapté. C'est cohérent avec l'analyse du nuage (croissance qui s'accélère).
Avec chacun des 3 modèles, calculer la prévision du CA pour l'année 8.
Écart énorme entre les modèles : de 188 à 246 k€, soit 58 k€ de différence (= 30 % d'écart).
Le choix du modèle est crucial pour la prévision !
Léo doit-il prévoir 246 k€ pour l'année 8 (modèle exponentiel) ? Quels sont les risques d'utiliser un modèle exponentiel pour des prévisions à long terme ?
Le modèle exponentiel colle bien aux 6 années passées (r = 0,999), mais un CA ne peut pas croître exponentiellement à l'infini :
Recommandation pratique : utiliser 246 k€ comme scénario optimiste ; viser 200-220 k€ comme prévision médiane plausible. Le modèle puissance (228 k€) est un bon compromis : croissance qui ralentit doucement.
Imaginons que la 7ème année, Léo observe un CA réel de 175 k€. Lequel des 3 modèles est le plus proche de la réalité ? Faut-il le confirmer pour autant ?
Calcul des prévisions à l'année 7 :
Le linéaire est cette fois plus proche !
Cela peut indiquer que la croissance commence à ralentir (saturation, concurrence). Léo devrait :
Pour le banquier, quelle prévision présenter ? Justifier le choix.
Pour un banquier, présenter 3 scénarios :
Cette présentation est plus honnête et crédible qu'un seul chiffre.
Le banquier appréciera la transparence et la prudence. Demander un crédit basé sur le scénario médian ou pessimiste donne une marge de sécurité.
Quels sont les avantages et inconvénients de chaque modèle pour ce type de prévision ?
| Modèle | Avantages | Inconvénients |
|---|---|---|
| Linéaire | Simple, prudent, facile à expliquer | Sous-estime souvent la croissance |
| Exponentiel | Capte bien la croissance accélérée | Diverge à l'infini, peu réaliste à long terme |
| Puissance | Croissance ralentie, plus naturelle | Plus complexe, paramètres difficiles à interpréter |
En pratique : utiliser le linéaire pour les prévisions courtes (1-2 ans après les données), l'exponentiel pour des explosions de marché, la puissance pour des phénomènes naturels (croissance d'une plante, propagation).
Présenter en 5 lignes le tableau de prévision à présenter au banquier de Léo.
Prévisions de chiffre d'affaires — PME Agencement
| Année | Pessimiste | Médian | Optimiste |
|---|---|---|---|
| An 7 | 168 k€ | 196 k€ | 196 k€ |
| An 8 | 188 k€ | 228 k€ | 246 k€ |
| An 9 | 208 k€ | 261 k€ | 308 k€ |
Prévisions basées sur 6 ans de données. Modèle exponentiel (r=0,999) recommandé pour court terme, linéaire pour long terme. Demande de crédit calée sur scénario médian (sécurité). Plan B basé sur scénario pessimiste si conjoncture difficile.
Le modèle « logistique » (en S) est utilisé pour modéliser une croissance qui sature : y = K / (1 + a × e^(−bx)), avec K = limite max. Pour la PME de Léo, si on suppose un plafond de 500 k€, comment serait l'évolution ?
La courbe logistique commence comme une exponentielle, puis ralentit pour atteindre asymptotiquement le plafond K = 500 k€.
Phases :
Ce modèle est plus réaliste à long terme car il intègre la saturation du marché. Il est utilisé pour modéliser : adoption de nouveaux produits, croissance bactérienne, propagation d'une épidémie.
Inconvénient : K est inconnu a priori (combien de clients potentiels ?). Il faut l'estimer par enquête de marché.