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Activité 2 – Régression linéaire : hauteur d'un arbre selon son âge SITUATION PRO

Chapitre 1 – Statistiques à deux variables | Terminale Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min

Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30

Objectifs :

Situation – exploitation forestière

Tom, technicien forestier, étudie la croissance des chênes d'une parcelle pour planifier les coupes (éclaircies et abattage). Il mesure la hauteur de 8 chênes d'âges connus, en faisant attention de prendre des arbres de la même variété et soumis à des conditions équivalentes.

Document — relevé de Tom (parcelle Nord)

Âge x (ans)1020304050607080
Hauteur y (m)4,59,013,216,819,522,024,025,8

Document — nuage de points et droite d'ajustement

Hauteur des chênes selon l'âge 0 7,5 15 22,5 30 Hauteur (m) 0 20 40 60 80 100 Âge x (ans) y = 0,30 x + 3,0 G

L'équation de la droite d'ajustement obtenue avec une calculatrice est : y = 0,30 x + 3,0 avec un coefficient de corrélation r ≈ 0,997 (très proche de 1).

📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §2 (nuage de points, droite d'ajustement) et §3 (coefficient de corrélation, fiabilité d'une prévision).

Problématique : Peut-on prédire de manière fiable la hauteur d'un chêne à partir de son âge, et jusqu'où le modèle linéaire reste-t-il valide ?

Question 1 APP

Lire sur le graphique :

  1. la hauteur d'un chêne de 30 ans
  2. l'âge correspondant à une hauteur de 22 m
  • 30 ans : hauteur ≈ 13,2 m (lecture du point ; calcul : 0,30 × 30 + 3 = 12 m, écart car la donnée brute n'est pas exactement sur la droite).
  • 22 m : âge ≈ 60 ans.

Question 2 REA

Calculer les coordonnées du point moyen G(x̄, ȳ).

x̄ = (10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80) / 8 = 360 / 8 = 45 ans

ȳ = (4,5 + 9,0 + 13,2 + 16,8 + 19,5 + 22,0 + 24,0 + 25,8) / 8 = 134,8 / 8 = 16,85 m

G a pour coordonnées (45 ; 16,85).

Vérification : la droite y = 0,30 × 45 + 3 = 16,5 m, proche de 16,85 (petit écart car la croissance n'est pas strictement linéaire).

Question 3 REA

Utiliser l'équation y = 0,30 x + 3,0 pour estimer la hauteur d'un chêne de :

  1. 35 ans (interpolation)
  2. 100 ans (extrapolation)
  • 35 ans : y = 0,30 × 35 + 3 = 10,5 + 3 = 13,5 m. Cohérent avec les données voisines (30 ans → 13,2 m, 40 ans → 16,8 m).
  • 100 ans : y = 0,30 × 100 + 3 = 33 m.

Question 4 VAL

L'estimation à 100 ans est-elle fiable ? Pourquoi un chêne de 200 ans ne mesure-t-il pas 63 m comme le calcul le prévoit ?

Limites du modèle linéaire :

  • La droite est ajustée pour la plage 10-80 ans. Au-delà, on extrapole sans données.
  • Biologiquement, un arbre ne grandit pas indéfiniment. Sa hauteur tend vers une asymptote (25-35 m pour un chêne pédonculé).
  • La croissance ralentit avec l'âge (modèle réel : courbe sigmoïde ou logarithmique).

Conclusion : à 100 ans, l'estimation 33 m est douteuse mais pas absurde. À 200 ans (63 m prévus), le modèle est faux : aucun chêne n'atteint 63 m.

Règle pro : jamais extrapoler trop loin hors de la plage des données.

Question 5 APP

Que signifie le coefficient de corrélation r = 0,997 ? Est-ce une bonne valeur ?

r mesure la force de la corrélation linéaire entre x et y.

  • r = 1 ou −1 : corrélation linéaire parfaite (tous les points alignés exactement).
  • r ≈ 0 : pas de corrélation linéaire.
  • r ≈ 0,997 : corrélation très forte et positive. Le modèle linéaire est très bon.

En pratique :

  • |r| > 0,9 : excellente corrélation
  • 0,7 < |r| < 0,9 : bonne corrélation
  • |r| < 0,5 : corrélation faible, modèle peu fiable

Question 6 VAL

Tom veut prévoir le diamètre du tronc à partir de l'âge (autre étude). Il trouve r = 0,5. Peut-il utiliser ce modèle pour ses prévisions ?

r = 0,5 indique une corrélation faible. Le modèle linéaire ne captre que ~ 25 % de la variabilité (r² ≈ 0,25 → 25 % de variance expliquée).

Donc peu fiable pour des prévisions individuelles. Il y a probablement d'autres facteurs (sol, exposition, génétique) qui influencent le diamètre.

Tom doit :

  • Soit chercher d'autres variables explicatives (régression multiple)
  • Soit augmenter son échantillon pour confirmer la tendance
  • Soit accepter qu'il ne peut pas prédire le diamètre fiablement

Question 7 REA

Si Tom souhaite des chênes d'au moins 25 m pour la coupe d'œuvre (charpente), à quel âge minimum doivent-ils être abattus selon le modèle ?

Résoudre : 0,30 × x + 3 = 25 → 0,30 × x = 22 → x = 22 / 0,30 ≈ 73 ans.

Donc Tom doit prévoir des chênes d'au moins 73 ans pour la coupe charpente.

Vérification dans le tableau : à 70 ans, hauteur 24 m ; à 80 ans, 25,8 m → cohérent.

Cycle commercial typique d'un chêne : 80-150 ans (selon usage et qualité du bois recherchée).

Question 8 COM

Rédiger en 5 lignes une note d'aide à Tom pour utiliser correctement son modèle dans la planification des coupes.

Note régression hauteur/âge — chênes parcelle Nord

Le modèle y = 0,30 x + 3,0 (r = 0,997) prédit avec précision la hauteur des chênes dans la plage 10-80 ans. À utiliser pour décider des éclaircies à 30 ans, 50 ans, et l'abattage entre 75 et 90 ans (hauteur ≥ 25 m).

Pour les chênes > 80 ans, la croissance ralentit fortement → ne pas extrapoler la droite. Refaire des mesures terrain avant abattage des arbres anciens.

Refaire une nouvelle régression tous les 5 ans pour réajuster (climat, sol évoluent).

🚀 Pour aller plus loin ANA

Tom veut tester un modèle non linéaire (courbe en racine carrée : y = a × √x + b). En plus du modèle linéaire, comment décider lequel des 2 modèles est le meilleur ?

Le modèle racine carrée s'écrit y = a × √x + b. Il modélise une croissance qui ralentit avec l'âge, ce qui est plus réaliste biologiquement.

Pour comparer 2 modèles :

  • Comparer les r² : celui qui explique la plus grande variance.
  • Comparer les résidus : écarts entre points observés et prédits. Petit résidu = bon modèle.
  • Vérifier la cohérence physique : le modèle se comporte-t-il bien aux limites ?

Pour les arbres : la racine carrée est souvent meilleure aux grands âges (modèle linéaire diverge à 200 ans → aberrant). Mais sur 10-80 ans, le linéaire est très bon.

Choix du modèle = compromis entre simplicité et précision selon l'usage.

À retenir