Coniques et perspective centrale | Terminale technologique — série STD2A | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Un cône de révolution d'axe vertical est coupé par un plan. Nommer la conique obtenue pour chaque cas : (2 pts)
a) plan horizontal ; b) plan parallèle à une génératrice ; c) plan oblique coupant une seule nappe ; d) plan coupant les deux nappes.
2. Définir, en une phrase, la tangente à une conique en un point \(M\). (1,5 pt)
3. On souhaite raccorder de façon lisse en \(x = 3\) la courbe de \(f(x) = x^2\) à une droite \(d\). (3,5 pts)
a) Par quel point passe \(d\) ?
b) Quelle est sa pente ?
c) Donner l'équation de \(d\).
1. a) cercle ; b) parabole ; c) ellipse ; d) hyperbole.
2. La tangente en \(M\) est la position limite des sécantes \((MM')\) lorsque \(M'\) se rapproche indéfiniment de \(M\) sur la conique.
3. a) \(f(3) = 9\) : \(d\) passe par \((3\,;9)\). b) \(f'(x) = 2x\), \(f'(3) = 6\) : pente \(6\). c) \(d : y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9\).
1. Rappeler la définition de la projection centrale de centre \(O\) sur un tableau \(\pi\). (2 pts)
2. Parmi les éléments suivants, indiquer ceux que la projection centrale conserve et ceux qu'elle ne conserve pas : alignement, longueurs, contact, milieux, angles, parallélisme. (3 pts)
3. Qu'appelle-t-on un plan frontal ? Quelle propriété remarquable a l'image d'une figure située dans un plan frontal ? (2 pts)
1. La projection centrale de centre \(O\) sur \(\pi\) associe à un point \(M\) le point \(M'\), intersection de la droite \((OM)\) avec le tableau \(\pi\).
2. Conservés : alignement, contact. Non conservés : longueurs, milieux, angles, parallélisme.
3. Un plan frontal est un plan parallèle au tableau. L'image d'une figure frontale conserve la forme (elle est semblable à la figure : mêmes angles, rapports conservés), simplement agrandie ou réduite.
Un designer représente une allée bordée de lampadaires en perspective centrale à un point de fuite.
1. Les deux bords de l'allée sont horizontaux et perpendiculaires au tableau. Que deviennent leurs images ? Comment s'appelle leur point commun et sur quelle ligne se trouve-t-il ? (2 pts)
2. Les lampadaires sont dessinés sur une façade vue de face (frontale). Sont-ils déformés ? Justifier. (1,5 pt)
3. Décrire les étapes de construction d'un cube (une caisse) posé au sol, en perspective centrale à un point de fuite \(F\), sa face avant carrée étant tracée en vraie grandeur. (2,5 pts)
1. Les images des deux bords convergent en un point de fuite (ici principal), situé sur la ligne d'horizon (hauteur de l'œil).
2. Non déformés : la façade est frontale → la forme est conservée, les lampadaires gardent leurs proportions réelles.
3. Étapes : tracer la ligne d'horizon et y placer \(F\) ; dessiner la face avant (carré) en vraie grandeur ; relier ses \(4\) sommets à \(F\) (arêtes fuyantes) ; tracer la face arrière (carré plus petit, côtés parallèles à la face avant) à la profondeur voulue, puis fermer le volume.