Variables aléatoires et loi binomiale | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
À une loterie, \(X\) = gain (en €) suit la loi :
| \(x_i\) | \(-2\) | \(0\) | \(10\) | \(50\) |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(0{,}5\) | \(0{,}4\) | \(0{,}08\) | \(0{,}02\) |
1. Vérifier que c'est une loi de probabilité.
2. Calculer \(E(X)\) et conclure sur l'équité du jeu.
1. \(0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}08 + 0{,}02 = 1\). ✓
2. \(E(X) = -2(0{,}5) + 0 + 10(0{,}08) + 50(0{,}02) = -1 + 0{,}8 + 1 = 0{,}8\) €. Le gain moyen est positif : jeu favorable au joueur.
À l'aide du triangle de Pascal, donner \(\binom63\), \(\binom74\) et \(\binom{5}{2}\).
Ligne 6 : \(1,6,15,20,15,6,1\) → \(\binom63 = 20\).
Ligne 7 : \(1,7,21,35,35,21,7,1\) → \(\binom74 = 35\).
Ligne 5 : \(1,5,10,10,5,1\) → \(\binom52 = 10\).
Soit \(X \sim B(8\,;\,0{,}5)\). Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=8)\) et \(P(X=1)\).
\(P(X=0) = 0{,}5^8 = \dfrac{1}{256} \approx 0{,}0039\).
\(P(X=8) = 0{,}5^8 \approx 0{,}0039\) (symétrie, car \(p = 0{,}5\)).
\(P(X=1) = \binom81\,0{,}5^1\,0{,}5^7 = 8\times0{,}5^8 = \dfrac{8}{256} = 0{,}03125\).
Une machine produit \(3\,\%\) de pièces défectueuses. On prélève \(50\) pièces avec remise. Soit \(X\) le nombre de défectueuses.
1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
2. Calculer le nombre moyen de pièces défectueuses.
3. Calculer la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse.
1. \(50\) prélèvements identiques, indépendants (avec remise), deux issues (défectueuse / correcte), \(p = 0{,}03\) constant : \(X \sim B(50\,;\,0{,}03)\).
2. \(E(X) = 50\times0{,}03 = 1{,}5\).
3. \(P(X=0) = 0{,}97^{50} \approx 0{,}218\).
On lance \(4\) fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de « pile ».
1. Donner la loi de \(X\) (utiliser le triangle de Pascal).
2. Calculer \(E(X)\) de deux façons.
1. \(X \sim B(4\,;\,0{,}5)\) ; \(P(X=k) = \binom4k \times 0{,}5^4 = \dfrac{\binom4k}{16}\) :
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\frac1{16}\) | \(\frac4{16}\) | \(\frac6{16}\) | \(\frac4{16}\) | \(\frac1{16}\) |
2. Par la formule : \(E(X) = 4\times0{,}5 = 2\). Par la somme : \(E(X) = \dfrac{0+4+12+12+4}{16} = \dfrac{32}{16} = 2\).
On lance \(5\) fois un dé équilibré. Soit \(X\) le nombre de « six ».
1. Donner la loi de \(X\).
2. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un six (arrondir à \(10^{-3}\)).
1. \(X \sim B\left(5\,;\,\frac16\right)\).
2. \(P(X\ge1) = 1 - P(X=0) = 1 - \left(\dfrac56\right)^5 = 1 - 0{,}4019 \approx 0{,}598\).
Soit \(X \sim B(6\,;\,0{,}3)\).
1. Calculer \(P(X=2)\) (on donne \(\binom62 = 15\)).
2. Calculer \(E(X)\).
1. \(P(X=2) = \binom62\,0{,}3^{2}\,0{,}7^{4} = 15\times0{,}09\times0{,}2401 \approx 0{,}324\).
2. \(E(X) = 6\times0{,}3 = 1{,}8\).
Un joueur de basket réussit ses lancers francs avec probabilité \(0{,}8\). Il en tente \(10\), de façon indépendante. Soit \(X\) le nombre de réussites.
1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner \((n,p)\).
2. Quelle est la probabilité qu'il réussisse ses \(10\) lancers ?
3. Quelle est la probabilité qu'il réussisse au moins un lancer ?
4. Calculer l'espérance du nombre de réussites et l'interpréter.
5. On donne \(\binom{10}{9} = 10\). Calculer \(P(X=9)\) (« il en manque exactement un »).
1. \(10\) lancers identiques et indépendants, deux issues (réussi / manqué), \(p = 0{,}8\) constant : \(X \sim B(10\,;\,0{,}8)\).
2. \(P(X=10) = 0{,}8^{10} \approx 0{,}107\).
3. \(P(X\ge1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}2^{10} \approx 1 - 0{,}0000001 \approx 1\) (quasi certain).
4. \(E(X) = 10\times0{,}8 = 8\) : sur \(10\) tentatives, il réussit en moyenne \(8\) lancers.
5. \(P(X=9) = \binom{10}{9}\,0{,}8^{9}\,0{,}2^{1} = 10\times0{,}8^{9}\times0{,}2 \approx 10\times0{,}1342\times0{,}2 \approx 0{,}268\).