Devoir Surveillé – Chapitre 7

Variables aléatoires et loi binomiale | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : espérance \(E(X)=\sum_i x_i p_i\) ; loi binomiale \(B(n,p)\) : \(P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\) ; \(P(X=0)=(1-p)^n\) ; \(P(X\ge1)=1-(1-p)^n\) ; \(E(X)=np\) ; triangle de Pascal pour \(\binom nk\).

Exercice 1 — Espérance d'un jeu (6 points)

À une kermesse, un jeu coûte \(2\) € la partie. \(X\) désigne le gain algébrique du joueur (gain reçu diminué de la mise), de loi :

\(x_i\)	\(-2\)	\(3\)	\(8\)
\(p_i\)	\(0{,}7\)	\(0{,}25\)	\(0{,}05\)

1. Vérifier que le tableau définit bien une loi de probabilité. (1,5 pt)

2. Calculer \(E(X)\). (2,5 pts)

3. Le jeu est-il favorable, défavorable ou équitable pour le joueur ? Justifier. (2 pts)

1. \(0{,}7 + 0{,}25 + 0{,}05 = 1\) et toutes les probabilités sont positives : c'est bien une loi de probabilité.

2. \(E(X) = -2(0{,}7) + 3(0{,}25) + 8(0{,}05) = -1{,}4 + 0{,}75 + 0{,}4 = -0{,}25\) €.

3. \(E(X) = -0{,}25 \lt 0\) : le joueur perd en moyenne \(0{,}25\) € par partie, le jeu est défavorable au joueur.

Exercice 2 — Reconnaître et exploiter une loi binomiale (8 points)

Une entreprise expédie des colis ; \(4\,\%\) d'entre eux arrivent en retard. On suit \(20\) colis, de façon indépendante. Soit \(X\) le nombre de colis en retard. On donne \(\binom{20}{1} = 20\).

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et donner ses paramètres. (2 pts)

2. Calculer \(P(X=0)\), probabilité qu'aucun colis ne soit en retard (arrondir à \(10^{-3}\)). (2 pts)

3. Calculer \(P(X=1)\), probabilité qu'exactement un colis soit en retard. (2 pts)

4. Calculer le nombre moyen de colis en retard sur les \(20\). (2 pts)

1. \(20\) colis identiques et indépendants, deux issues (en retard / à l'heure), \(p = 0{,}04\) constant : \(X \sim B(20\,;\,0{,}04)\).

2. \(P(X=0) = 0{,}96^{20} \approx 0{,}442\).

3. \(P(X=1) = \binom{20}{1}\,0{,}04^{1}\,0{,}96^{19} = 20\times0{,}04\times0{,}96^{19} \approx 0{,}8\times0{,}4604 \approx 0{,}368\).

4. \(E(X) = 20\times0{,}04 = 0{,}8\) colis en retard en moyenne.

Exercice 3 — Triangle de Pascal et « au moins un » (6 points)

1. À l'aide du triangle de Pascal, donner \(\binom50\), \(\binom52\) et \(\binom53\). (2 pts)

2. Un archer atteint sa cible avec probabilité \(0{,}6\). Il tire \(5\) flèches indépendantes. Soit \(Y\) le nombre de flèches dans la cible.

a) Donner la loi de \(Y\). (1,5 pt)
b) Calculer la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois (arrondir à \(10^{-3}\)). (2,5 pts)

1. Ligne 5 : \(1,5,10,10,5,1\), donc \(\binom50 = 1\), \(\binom52 = 10\), \(\binom53 = 10\).

2. a) \(Y \sim B(5\,;\,0{,}6)\).

b) \(P(Y\ge1) = 1 - P(Y=0) = 1 - 0{,}4^{5} = 1 - 0{,}01024 \approx 0{,}990\).