Devoir Surveillé – Chapitre 6

Probabilités conditionnelles et probabilités totales | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : conditionnelle \(P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\), d'où \(P(A\cap B) = P(A)P_A(B)\) ; arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins ; probabilités totales \(P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + \dots + P(A_k)P_{A_k}(B)\) ; indépendance \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).

Exercice 1 — Arbre et probabilité totale (8 points)

Une entreprise fabrique des tablettes sur deux chaînes. La chaîne \(C_1\) produit \(70\,\%\) des tablettes, dont \(3\,\%\) présentent un défaut. La chaîne \(C_2\) produit les \(30\,\%\) restants, dont \(6\,\%\) présentent un défaut. On prélève une tablette au hasard ; \(D\) est l'évènement « la tablette est défectueuse ».

1. Construire l'arbre pondéré de la situation. (2 pts)

2. Calculer \(P(C_1\cap D)\) et \(P(C_2\cap D)\). (2 pts)

3. En déduire \(P(D)\) par la formule des probabilités totales. (2 pts)

4. Une tablette prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la chaîne \(C_2\). (2 pts)

1. Niveau 1 : \(C_1\) (\(0{,}7\)), \(C_2\) (\(0{,}3\)) ; niveau 2 depuis \(C_1\) : \(D\) (\(0{,}03\)), \(\overline D\) (\(0{,}97\)) ; depuis \(C_2\) : \(D\) (\(0{,}06\)), \(\overline D\) (\(0{,}94\)).

2. \(P(C_1\cap D) = 0{,}7\times0{,}03 = 0{,}021\) ; \(P(C_2\cap D) = 0{,}3\times0{,}06 = 0{,}018\).

3. \(P(D) = 0{,}021 + 0{,}018 = 0{,}039\), soit \(3{,}9\,\%\).

4. \(P_D(C_2) = \dfrac{P(C_2\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}018}{0{,}039} \approx 0{,}462\), soit environ \(46{,}2\,\%\).

Exercice 2 — Partition en trois (7 points)

Un magasin vend des ampoules provenant de trois marques. La marque \(M_1\) représente \(50\,\%\) du stock, \(M_2\) représente \(35\,\%\) et \(M_3\) le reste. La proportion d'ampoules défaillantes est de \(2\,\%\) pour \(M_1\), \(4\,\%\) pour \(M_2\) et \(5\,\%\) pour \(M_3\). On choisit une ampoule au hasard.

1. Déterminer la proportion du stock pour la marque \(M_3\). (1 pt)

2. Justifier que \(M_1, M_2, M_3\) forment une partition de l'univers. (1,5 pt)

3. Calculer la probabilité qu'une ampoule soit défaillante. (3 pts)

4. Une ampoule est défaillante. Calculer la probabilité qu'elle soit de la marque \(M_1\). (1,5 pt)

1. \(P(M_3) = 1 - 0{,}50 - 0{,}35 = 0{,}15\), soit \(15\,\%\).

2. Chaque ampoule provient d'une seule marque (incompatibles) et forcément de l'une des trois (réunion \(= \Omega\)) : c'est bien une partition.

3. \(P(D) = 0{,}50\times0{,}02 + 0{,}35\times0{,}04 + 0{,}15\times0{,}05 = 0{,}010 + 0{,}014 + 0{,}0075 = 0{,}0315\), soit \(3{,}15\,\%\).

4. \(P_D(M_1) = \dfrac{0{,}010}{0{,}0315} \approx 0{,}317\), soit environ \(31{,}7\,\%\).

Exercice 3 — Conditionnelle et indépendance (5 points)

On donne \(P(A) = 0{,}6\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A\cap B) = 0{,}3\).

1. Calculer \(P_A(B)\). (1,5 pt)

2. Les évènements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier. (2 pts)

3. Calculer \(P(A\cup B)\). (1,5 pt)

1. \(P_A(B) = \dfrac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5\).

2. \(P(A)\times P(B) = 0{,}6\times0{,}5 = 0{,}3 = P(A\cap B)\) : oui, \(A\) et \(B\) sont indépendants. (On remarque aussi que \(P_A(B) = 0{,}5 = P(B)\).)

3. \(P(A\cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8\).