Statistique à deux variables quantitatives | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On dispose des couples \((1\,;4),(2\,;6),(3\,;8),(4\,;10)\).
1. Les points sont-ils alignés ? Justifier.
2. Donner une droite d'ajustement \(y = ax + b\).
3. Estimer \(y\) pour \(x = 6\). S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
1. Les écarts de \(y\) valent \(+2\) pour des écarts de \(x\) de \(+1\) : rapport constant, points alignés.
2. Coefficient directeur \(a = 2\). Pour \(x = 1\), \(y = 4\) donne \(b = 4 - 2 = 2\). Droite : \(y = 2x + 2\).
3. \(y = 2\times 6 + 2 = 14\). Comme \(6\) est hors de la plage \([1\,;4]\), c'est une extrapolation.
On soupçonne \(y = a\,x^2 + b\) pour :
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(y\) | \(7\) | \(13\) | \(23\) | \(37\) |
1. Poser \(u = x^2\) et dresser le tableau \((u\,;y)\).
2. Le nuage \((u\,;y)\) est-il aligné ? Donner l'ajustement \(y = a\,u + b\).
3. En déduire le modèle en fonction de \(x\).
1. \(u = 1, 4, 9, 16\) pour \(y = 7, 13, 23, 37\).
2. Écarts de \(y\) : \(+6, +10, +14\) pour des écarts de \(u\) de \(+3, +5, +7\) : rapport constant \(2\), donc aligné. \(y = 2u + 5\).
3. En revenant à \(x\) : \(y = 2x^2 + 5\).
Une grandeur \(y\) décroît selon \(x\) : \((1\,;20),(2\,;10),(5\,;4),(10\,;2)\).
1. Reconnaître le modèle en observant le produit \(x \times y\).
2. L'établir par le changement \(u = \dfrac1x\).
3. Prévoir \(y\) pour \(x = 4\).
1. \(x\times y = 20\) constant → \(y = \dfrac{20}{x}\).
2. Avec \(u = \dfrac1x\) : \((1\,;20),(0{,}5\,;10),(0{,}2\,;4),(0{,}1\,;2)\) alignés sur \(y = 20u\), donc \(y = \dfrac{20}{x}\).
3. \(y = \dfrac{20}{4} = 5\).
Un capital placé (en €) évolue selon les années : \((0\,;1000),(1\,;1100),(2\,;1210),(3\,;1331)\).
1. Calculer \(v = \log(y)\) pour chaque année (arrondir au millième).
2. Vérifier que le nuage \((x\,;v)\) est aligné et donner sa pente et son ordonnée à l'origine.
3. En déduire \(a\) et \(k\), puis le modèle \(y = k\,a^x\). Interpréter le taux annuel.
1. \(v \approx 3{,}000\,;\,3{,}041\,;\,3{,}083\,;\,3{,}124\).
2. Écart constant \(\approx +0{,}041\) par an → aligné. Pente \(\approx 0{,}041\), ordonnée à l'origine \(\approx 3{,}000\).
3. \(a = 10^{0{,}041} \approx 1{,}1\) et \(k = 10^{3} = 1000\). Modèle : \(y = 1000 \times 1{,}1^{\,x}\) : croissance de \(10\,\%\) par an.
Pour un ressort, l'allongement \(y\) (cm) selon la masse \(x\) (g) :
| \(x\) | \(10\) | \(20\) | \(30\) | \(40\) |
| \(y\) | \(1{,}2\) | \(2{,}4\) | \(3{,}5\) | \(4{,}8\) |
1. Un ajustement affine \(y = ax\) (proportionnel) est-il raisonnable ?
2. Estimer \(a\) et donner le modèle.
3. Prévoir l'allongement pour une masse de \(25\) g.
1. Les rapports \(y/x \approx 0{,}12\) sont quasi constants : ajustement proportionnel pertinent.
2. \(a \approx 0{,}12\) cm/g. Modèle : \(y \approx 0{,}12\,x\).
3. \(y \approx 0{,}12\times 25 = 3\) cm (interpolation, \(25\) est dans la plage).
On teste deux droites d'ajustement pour le nuage \((1\,;3),(2\,;5),(3\,;6),(4\,;9)\).
1. Pour la droite \(y = 2x + 1\), calculer chaque résidu \(y_i - (2x_i + 1)\).
2. En déduire la somme des carrés des écarts \(S\).
3. Le programme ci-dessous renvoie cette somme. Que renvoie somme_carres_ecarts(X, Y, 2, 1) ?
def somme_carres_ecarts(X, Y, a, b):
S = 0
for x, y in zip(X, Y):
S = S + (y - (a * x + b))**2
return S
X = [1, 2, 3, 4]
Y = [3, 5, 6, 9]1. Résidus : \(3-3 = 0\) ; \(5-5 = 0\) ; \(6-7 = -1\) ; \(9-9 = 0\).
2. \(S = 0^2 + 0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1\).
3. Le programme renvoie \(1\).
Une culture de bactéries (en milliers) suit \(y = 5 \times 2^{x}\), où \(x\) est le temps en heures. On a vérifié ce modèle pour \(x\) de \(0\) à \(6\) h.
1. Prévoir la population à \(x = 5\) h.
2. Le modèle donne \(y = 5\times 2^{40} \approx 5{,}5\times 10^{12}\) milliers à \(x = 40\) h. Commenter la validité de cette prévision.
1. \(y = 5\times 2^{5} = 5\times 32 = 160\) milliers (interpolation valide, \(5\) est dans \([0\,;6]\)).
2. La valeur est colossale et irréaliste : une population ne croît pas indéfiniment (ressources, place limitées). L'extrapolation lointaine hors de la plage \([0\,;6]\) n'est pas fiable.
On mesure la consommation \(y\) (L/100 km) d'un véhicule selon sa vitesse \(x\) (km/h) :
| \(x\) | \(30\) | \(50\) | \(70\) | \(90\) |
| \(y\) | \(9{,}3\) | \(6{,}2\) | \(5{,}0\) | \(4{,}4\) |
1. Le nuage \((x\,;y)\) semble décroître de plus en plus lentement : on soupçonne \(y = \dfrac{a}{x} + b\). Poser \(u = \dfrac1x\) et dresser le tableau \((u\,;y)\) (arrondir \(u\) au millième).
2. À la calculatrice, l'ajustement des moindres carrés du nuage \((u\,;y)\) donne \(y \approx 175\,u + 2{,}4\). En déduire le modèle en fonction de \(x\).
3. Estimer la consommation à \(60\) km/h.
4. Le modèle prévoit-il une consommation raisonnable pour \(x\) très grand ? Commenter au regard de l'esprit critique.
1. \(u = \dfrac1x \approx 0{,}033\,;\,0{,}020\,;\,0{,}014\,;\,0{,}011\) pour \(y = 9{,}3\,;\,6{,}2\,;\,5{,}0\,;\,4{,}4\). Le nuage \((u\,;y)\) est aligné.
2. En revenant à \(x\) : \(y \approx \dfrac{175}{x} + 2{,}4\).
3. \(y \approx \dfrac{175}{60} + 2{,}4 \approx 2{,}92 + 2{,}4 \approx 5{,}3\) L/100 km (interpolation, \(60\) dans la plage).
4. Quand \(x\) devient très grand, \(\dfrac{175}{x} \to 0\) et le modèle tend vers \(2{,}4\) L/100 km. En réalité, la consommation ré-augmente à haute vitesse (résistance de l'air) : le modèle n'est valable qu'autour des vitesses mesurées, il ne faut pas l'extrapoler aux très grandes vitesses.