Devoir Surveillé – Chapitre 5

Statistique à deux variables quantitatives | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : changements de variable \(y = ax^2+b\) → \(u=x^2\), \(y = \dfrac ax + b\) → \(u=\dfrac1x\), \(y = k\,a^x\) → \(v=\log y\) (avec \(\log y = \log k + x\log a\)) ; la droite des moindres carrés minimise \(\sum(y_i-(ax_i+b))^2\) et s'obtient à la calculatrice ; toujours revenir aux variables initiales et ne pas extrapoler abusivement.

Exercice 1 — Nuage de points et ajustement affine (7 points)

Le chiffre d'affaires \(y\) (en milliers d'euros) d'une jeune entreprise selon l'année \(x\) (avec \(x = 0\) la première année) :

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(12\)	\(15\)	\(18\)	\(20\)	\(23\)

1. Le nuage \((x\,;y)\) paraît-il aligné ? Justifier brièvement. (1,5 pt)

2. À la calculatrice, l'ajustement des moindres carrés donne \(y = 2{,}7\,x + 12{,}2\). Estimer le chiffre d'affaires la 3ᵉ année (\(x=3\)) par ce modèle. (2 pts)

3. Estimer le chiffre d'affaires attendu la 6ᵉ année (\(x=6\)). S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? (2 pts)

4. Peut-on utiliser ce modèle pour prévoir le chiffre d'affaires dans \(30\) ans ? Justifier. (1,5 pt)

1. Les écarts de \(y\) (\(+3, +3, +2, +3\)) sont presque constants pour des écarts de \(x\) de \(+1\) : le nuage est sensiblement aligné.

2. \(y = 2{,}7\times 3 + 12{,}2 = 8{,}1 + 12{,}2 = 20{,}3\) milliers d'euros (proche des \(20\) observés).

3. \(y = 2{,}7\times 6 + 12{,}2 = 16{,}2 + 12{,}2 = 28{,}4\) milliers d'euros. Comme \(6\) est hors de la plage \([0\,;4]\), c'est une extrapolation.

4. Non : à \(30\) ans, on extrapole très loin des données. Une croissance linéaire indéfinie n'est pas réaliste (marché, concurrence…). Le modèle n'est fiable qu'autour des années mesurées.

Exercice 2 — Ajustement par changement de variable (7 points)

On soupçonne une relation \(y = \dfrac{a}{x} + b\) pour les données :

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(5\)
\(y\)	\(11\)	\(6\)	\(3{,}5\)	\(3\)

1. Quel changement de variable proposer pour redresser le nuage ? (1,5 pt)

2. Poser \(u = \dfrac1x\) et compléter le tableau \((u\,;y)\). (2 pts)

3. On admet que le nuage \((u\,;y)\) est aligné sur \(y = 10\,u + 1\). En déduire le modèle en fonction de \(x\). (2 pts)

4. Estimer \(y\) pour \(x = 8\). (1,5 pt)

1. On pose \(u = \dfrac1x\) : le modèle \(y = \dfrac ax + b\) devient \(y = a\,u + b\), affine en \(u\).

2. \(u = 1\,;\,0{,}5\,;\,0{,}25\,;\,0{,}2\) pour \(y = 11\,;\,6\,;\,3{,}5\,;\,3\).

3. En remplaçant \(u\) par \(\dfrac1x\) : \(y = \dfrac{10}{x} + 1\).

4. \(y = \dfrac{10}{8} + 1 = 1{,}25 + 1 = 2{,}25\).

Exercice 3 — Ajustement exponentiel (6 points)

Une population (en milliers) évolue selon l'année \(x\) :

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(100\)	\(150\)	\(225\)	\(338\)

1. Calculer \(v = \log(y)\) pour chaque année (arrondir au millième). (2 pts)

2. Vérifier que le nuage \((x\,;v)\) est aligné et donner la pente et l'ordonnée à l'origine. (2 pts)

3. En déduire \(a\) et \(k\), puis écrire le modèle \(y = k\,a^x\). Interpréter le taux de croissance annuel. (2 pts)

1. \(v = \log y \approx 2{,}000\,;\,2{,}176\,;\,2{,}352\,;\,2{,}529\).

2. Écart constant \(\approx +0{,}176\) par an → aligné. Pente \(\approx 0{,}176\), ordonnée à l'origine \(\approx 2{,}000\).

3. \(a = 10^{0{,}176} \approx 1{,}5\) et \(k = 10^{2{,}000} = 100\). Modèle : \(y = 100 \times 1{,}5^{\,x}\) : croissance de \(50\,\%\) par an.