Fonction inverse | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
On considère la fonction \(f(x) = \dfrac1x\).
1. Donner l'ensemble de définition de \(f\). (1,5 pt)
2. Calculer \(f(0{,}25)\) et \(f(-5)\). (1,5 pt)
3. Donner l'expression de \(f'(x)\) et justifier son signe. En déduire le sens de variation de \(f\) sur chaque intervalle. (2,5 pts)
4. Comment s'appelle la courbe représentative de \(f\) ? Citer ses deux asymptotes. (1,5 pt)
1. \(f\) est définie sur \(\mathbb R^{*} = \left]-\infty\,;0\right[\cup\left]0\,;+\infty\right[\) (on exclut \(0\)). (1,5 pt)
2. \(f(0{,}25) = \dfrac{1}{0{,}25} = 4\) ; \(f(-5) = -\dfrac15 = -0{,}2\). (1,5 pt)
3. \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\). Comme \(x^2 \gt 0\), on a \(f'(x) \lt 0\) pour tout \(x \ne 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). (2,5 pts)
4. C'est une hyperbole. Ses asymptotes sont l'axe des abscisses (\(y = 0\)) et l'axe des ordonnées (\(x = 0\)). (1,5 pt)
Soit \(g(x) = x + \dfrac{16}{x}\) définie sur \(\left]0\,;+\infty\right[\).
1. Calculer \(g'(x)\) et montrer que \(g'(x) = \dfrac{(x-4)(x+4)}{x^2}\). (3 pts)
2. Étudier le signe de \(g'(x)\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\). (2 pts)
3. En déduire les variations de \(g\) et la valeur de son minimum. (2 pts)
1. \(g'(x) = 1 - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{x^2 - 16}{x^2} = \dfrac{(x-4)(x+4)}{x^2}\). (3 pts)
2. Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : \(x^2 \gt 0\) et \(x+4 \gt 0\), donc le signe de \(g'(x)\) est celui de \((x-4)\) : négatif pour \(0 \lt x \lt 4\), positif pour \(x \gt 4\). (2 pts)
3. \(g\) est décroissante sur \(\left]0\,;4\right[\), croissante sur \(\left]4\,;+\infty\right[\) : elle admet un minimum en \(x = 4\), de valeur \(g(4) = 4 + \dfrac{16}{4} = 4 + 4 = 8\). (2 pts)
Une entreprise produit \(x\) articles (\(x \gt 0\)) pour un cout total, en euros, de \(C(x) = 4x^2 + 900\).
1. Exprimer le cout moyen unitaire \(C_m(x) = \dfrac{C(x)}{x}\). (2 pts)
2. Calculer \(C_m'(x)\). (2 pts)
3. Déterminer le nombre d'articles qui minimise le cout moyen, puis calculer ce cout moyen minimal. (2 pts)
1. \(C_m(x) = \dfrac{4x^2 + 900}{x} = 4x + \dfrac{900}{x}\). (2 pts)
2. \(C_m'(x) = 4 - \dfrac{900}{x^2} = \dfrac{4x^2 - 900}{x^2}\). (2 pts)
3. \(C_m'(x) = 0\) quand \(4x^2 = 900\), soit \(x^2 = 225\), soit \(x = 15\). Le cout moyen est minimal pour \(15\) articles, et vaut \(C_m(15) = 4\times 15 + \dfrac{900}{15} = 60 + 60 = 120\) € par article. (2 pts)