Devoir Surveillé – Chapitre 3

Fonction logarithme décimal | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\log(b) = x \iff 10^{x} = b\) (\(b \gt 0\)) ; \(\log(10^n) = n\) ; \(\log(ab) = \log a + \log b\) ; \(\log(a/b) = \log a - \log b\) ; \(\log(a^n) = n\log a\) ; \(a^{x} = b \iff x = \dfrac{\log b}{\log a}\) ; nombre de chiffres d'un entier \(N\) : \(\lfloor\log N\rfloor + 1\). On donne \(\log 2 \approx 0{,}301\), \(\log 3 \approx 0{,}477\).

Exercice 1 — Calculs et propriétés (7 points)

1. Sans calculatrice, donner \(\log(10\,000)\), \(\log(0{,}001)\) et \(10^{\log 5}\). (3 pts)

2. On donne \(\log 2 \approx 0{,}301\) et \(\log 3 \approx 0{,}477\). Calculer sans calculatrice \(\log 6\) et \(\log 4\). (2 pts)

3. Exprimer \(\log\!\big(\tfrac{a^3}{b}\big)\) en fonction de \(\log a\) et \(\log b\) (\(a, b \gt 0\)). (2 pts)

1. \(\log(10\,000) = \log(10^4) = 4\) ; \(\log(0{,}001) = \log(10^{-3}) = -3\) ; \(10^{\log 5} = 5\). (1 pt chacun)

2. \(\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}778\) ; \(\log 4 = 2\log 2 \approx 0{,}602\). (1 pt chacun)

3. \(\log\!\big(\tfrac{a^3}{b}\big) = 3\log a - \log b\). (2 pts)

Exercice 2 — Équations et inéquation (7 points)

1. Résoudre \(10^{x} = 400\) (valeur approchée au centième). (2 pts)

2. Résoudre \(2^{x} = 100\) (valeur approchée au centième). (2,5 pts)

3. Résoudre l'inéquation \(1{,}04^{n} \gt 2\), où \(n\) est un entier naturel. Donner la plus petite valeur de \(n\). (2,5 pts)

1. \(x = \log 400 \approx 2{,}60\). (2 pts)

2. \(x = \dfrac{\log 100}{\log 2} = \dfrac{2}{0{,}301} \approx 6{,}64\). (2,5 pts)

3. \(n\log 1{,}04 \gt \log 2\), et comme \(\log 1{,}04 \gt 0\) le sens est conservé : \(n \gt \dfrac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}0170} \approx 17{,}7\). La plus petite valeur entière est \(n = 18\). (2,5 pts)

Exercice 3 — Nombre de chiffres et placement (6 points)

1. Combien de chiffres possède le nombre \(3^{100}\) ? (On donne \(\log 3 \approx 0{,}477\).) (2,5 pts)

2. Un capital de \(4000\) € est placé au taux annuel de \(3\,\%\) à intérêts composés. On note \(C_n\) sa valeur au bout de \(n\) années.

a) Donner la nature de \((C_n)\) et l'expression de \(C_n\). (1,5 pt)
b) Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il \(5000\) € ? (2 pts)

1. \(\log(3^{100}) = 100\times 0{,}477 = 47{,}7\). Nombre de chiffres \(= \lfloor 47{,}7\rfloor + 1 = 48\). (2,5 pts)

2. a) \((C_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}03\) : \(C_n = 4000\times 1{,}03^{\,n}\). (1,5 pt)

b) On résout \(4000\times 1{,}03^{\,n} \gt 5000\), soit \(1{,}03^{\,n} \gt 1{,}25\), donc \(n \gt \dfrac{\log 1{,}25}{\log 1{,}03} \approx \dfrac{0{,}0969}{0{,}0128} \approx 7{,}55\). Il faut \(n = 8\) ans (vérification : \(C_8 = 4000\times 1{,}03^{8} \approx 5067\) €). (2 pts)