Devoir Surveillé – Chapitre 2

Fonctions exponentielles de base a | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(x \mapsto a^{\,x}\) (\(a \gt 0\)) croissante si \(a \gt 1\), décroissante si \(0 \lt a \lt 1\), toujours \(\gt 0\), passe par \((0\,;1)\) ; pour \(k\,a^{\,x}\), le signe de \(k\) inverse le sens si \(k \lt 0\) ; règles \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\), \(a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}}\), \((a^{x})^{n} = a^{\,nx}\) ; taux moyen sur \(n\) périodes : \(C^{1/n} - 1\).

Exercice 1 — Sens de variation et calculs (7 points)

1. Donner, sans calcul, le sens de variation de : a) \(x \mapsto 3^{\,x}\) ; b) \(x \mapsto 0{,}4^{\,x}\) ; c) \(x \mapsto -2 \times 1{,}2^{\,x}\). (3 pts)

2. Soit \(g(x) = 5 \times 2^{\,x}\). Calculer \(g(0)\), \(g(2)\) et \(g(-1)\). (2 pts)

3. Par quel point de coordonnées connues passe la courbe de toute fonction \(x \mapsto a^{\,x}\) ? Pourquoi ? (2 pts)

1. a) croissante (\(a = 3 \gt 1\)). b) décroissante (\(a = 0{,}4 \lt 1\)). c) \(a = 1{,}2 \gt 1\) mais \(k = -2 \lt 0\) → décroissante.

2. \(g(0) = 5 \times 2^{0} = 5\) ; \(g(2) = 5 \times 4 = 20\) ; \(g(-1) = 5 \times 2^{-1} = 5 \times \dfrac{1}{2} = 2{,}5\).

3. La courbe passe par \((0\,;1)\), car \(a^0 = 1\) pour tout \(a \gt 0\).

Exercice 2 — Propriétés algébriques (6 points)

1. Simplifier : a) \(6^{\,x} \times 6^{\,3}\) ; b) \(\dfrac{5^{\,2x}}{5^{\,x-1}}\). (3 pts)

2. Écrire \((2^{\,x})^{3}\) sous la forme \(b^{\,x}\) avec \(b\) entier. (1,5 pt)

3. Un élève écrit \(2^{\,x} \times 3^{\,x} = 6^{\,2x}\). A-t-il raison ? Corriger si nécessaire. (1,5 pt)

1. a) \(6^{\,x+3}\). b) \(5^{\,2x - (x-1)} = 5^{\,x+1}\).

2. \((2^{\,x})^{3} = 2^{\,3x} = (2^{3})^{\,x} = 8^{\,x}\).

3. Non. La règle \(a^{x+y} = a^{x}a^{y}\) suppose la même base. Ici \(2^{\,x} \times 3^{\,x} = (2 \times 3)^{\,x} = 6^{\,x}\), et non \(6^{\,2x}\).

Exercice 3 — Modèle et taux moyen (7 points)

Une ville comptait \(25\,000\) habitants en 2020 et en compte \(28\,600\) en 2024.

1. Calculer le coefficient multiplicateur global \(C\) sur ces \(4\) années. (1,5 pt)

2. En déduire le coefficient multiplicateur annuel moyen \(C_{\text{moyen}}\), puis le taux annuel moyen (arrondir au centième de pourcent). (2,5 pts)

3. On modélise la population par \(P(t) = 25\,000 \times C_{\text{moyen}}^{\,t}\) (\(t\) en années depuis 2020). La population croît-elle ou décroît-elle ? Justifier. (1,5 pt)

4. Estimer la population prévue en 2027 (soit \(t = 7\)), en arrondissant à la centaine. (1,5 pt)

1. \(C = \dfrac{28\,600}{25\,000} = 1{,}144\).

2. \(C_{\text{moyen}} = 1{,}144^{1/4} \approx 1{,}0342\). Taux annuel moyen : environ \(+3{,}42\,\%\) par an.

3. \(C_{\text{moyen}} \approx 1{,}0342 \gt 1\) → la population croît.

4. \(P(7) = 25\,000 \times 1{,}0342^{7} \approx 25\,000 \times 1{,}266 \approx 31\,600\) habitants.