Devoir Surveillé – Chapitre 1

Suites numériques | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : arithmétique \(u_n=u_0+n\,r\), somme \(=\dfrac{(\text{nb})(\text{prem.}+\text{dern.})}{2}\) ; géométrique \(u_n=u_0\,q^{\,n}\), somme \(=u_0\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\) (\(q\ne1\)) ; trois termes consécutifs : \(2b=a+c\) (arith.) ou \(b^2=ac\) (géom.) ; intérêts composés \(C_n=C_0(1+t)^n\).

Exercice 1 — Suite arithmétique (7 points)

Soit \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 8\) et \(r = 5\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_{10}\). (2 pts)

2. Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)

3. Les nombres \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\) sont-ils des termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Le vérifier avec la relation \(2b = a + c\). (1,5 pt)

4. Calculer la somme \(u_0 + u_1 + \dots + u_{10}\). (2 pts)

1. \(u_1 = 13\) ; \(u_2 = 18\) ; \(u_{10} = 8 + 50 = 58\).

2. \(u_n = 8 + 5n\).

3. \(u_2 = 18\), \(u_3 = 23\), \(u_4 = 28\). On vérifie \(2\times 23 = 46 = 18 + 28\) : oui, ce sont bien des termes consécutifs.

4. \(11\) termes, premier \(8\), dernier \(58\) : \(S = \dfrac{11\times(8 + 58)}{2} = \dfrac{11\times 66}{2} = 363\).

Exercice 2 — Suite géométrique et pourcentage (7 points)

Le nombre d'adhérents d'un club sportif est de \(400\) au départ et augmente de \(6\,\%\) chaque année. On note \(u_n\) le nombre d'adhérents au bout de \(n\) années.

1. Justifier que \((u_n)\) est géométrique et donner \(u_0\) et la raison \(q\). (2 pts)

2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)

3. Calculer le nombre d'adhérents au bout de \(5\) ans (arrondir à l'unité). (1,5 pt)

4. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier. (2 pts)

1. On multiplie chaque année par \(q = 1 + 0{,}06 = 1{,}06\) : suite géométrique, \(u_0 = 400\).

2. \(u_n = 400\times 1{,}06^{\,n}\).

3. \(u_5 = 400\times 1{,}06^{5} \approx 535\) adhérents.

4. \(q = 1{,}06 \gt 1\) et les termes sont positifs ⇒ suite croissante.

Exercice 3 — Sommes et placement (6 points)

1. Calculer \(S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 512\) (suite géométrique de raison \(2\), premier terme \(1\)). (3 pts)

2. Un capital de \(3000\) € est placé au taux annuel de \(2{,}5\,\%\) à intérêts composés. On note \(C_n\) sa valeur au bout de \(n\) années.

a) Donner la nature de \((C_n)\) et l'expression de \(C_n\). (1,5 pt)
b) Calculer la valeur du capital au bout de \(6\) ans (arrondir à l'euro). (1,5 pt)

1. \(512 = 2^{9}\), donc \(10\) termes. \(S = 1\times\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1} = 1023\).

2. a) \((C_n)\) est géométrique de raison \(q = 1{,}025\) : \(C_n = 3000\times 1{,}025^{\,n}\).

b) \(C_6 = 3000\times 1{,}025^{6} \approx 3479\) €.