Solides usuels, volumes et agrandissement — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Associer chaque solide à sa formule de volume :
| Solide | Formule |
|---|---|
| Cube (côté \(a\)) | ............ |
| Pavé droit (\(L, l, h\)) | ............ |
| Cylindre (\(r, h\)) | ............ |
Formules proposées : \(\pi r^2 h\) | \(a^3\) | \(L \times l \times h\)
Cube : \(\mathbf{V = a^3}\)
Pavé droit : \(\mathbf{V = L \times l \times h}\)
Cylindre : \(\mathbf{V = \pi r^2 h}\)
Une boîte de rangement mesure 50 cm × 30 cm × 20 cm.
a) Volume : \(V = 50 \times 30 \times 20 = \ldots\) cm³
b) Convertir en litres : \(\ldots\) cm³ \(\div 1\,000 = \ldots\) L
a) \(V = 50 \times 30 \times 20 = \mathbf{30\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(30\,000 \div 1\,000 = \mathbf{30\,\text{L}}\)
Un pot cylindrique a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 15 cm.
a) Rayon : \(r = \dfrac{10}{2} = \ldots\) cm
b) Volume : \(V = \pi \times \ldots^2 \times 15 = \pi \times \ldots \times 15 = \ldots\) cm³ (arrondir à l'unité)
a) \(r = 5\) cm
b) \(V = \pi \times 5^2 \times 15 = \pi \times 25 \times 15 = 375\pi \approx \mathbf{1\,178\,\text{cm}^3}\)
Convertir :
a) 5 L = ........... cm³
b) 3 500 cm³ = ........... L
c) 2 m³ = ........... L
d) 800 mL = ........... cm³
a) \(5\,\text{L} = 5 \times 1\,000 = \mathbf{5\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(3\,500\,\text{cm}^3 = \dfrac{3\,500}{1\,000} = \mathbf{3{,}5\,\text{L}}\)
c) \(2\,\text{m}^3 = 2 \times 1\,000 = \mathbf{2\,000\,\text{L}}\)
d) \(800\,\text{mL} = \mathbf{800\,\text{cm}^3}\) (car 1 mL = 1 cm³)
Un cube a un côté de 4 cm. On fabrique un cube deux fois plus grand (côté 8 cm).
a) Volume du petit cube : \(V_1 = 4^3 = \ldots\) cm³
b) Volume du grand cube : \(V_2 = 8^3 = \ldots\) cm³
c) Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Est-ce le même facteur que pour le côté ?
a) \(V_1 = 4^3 = \mathbf{64\,\text{cm}^3}\)
b) \(V_2 = 8^3 = \mathbf{512\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{512}{64} = 8\). Le volume a été multiplié par 8, alors que le côté n'a été multiplié que par 2. C'est normal : \(k = 2\), donc les volumes sont multipliés par \(k^3 = 2^3 = 8\).
Associer chaque solide à sa formule de volume :
| Solide | Formule |
|---|---|
| Pavé droit (\(L, l, h\)) | ............ |
| Cylindre (\(r, h\)) | ............ |
| Boule (\(r\)) | ............ |
Formules proposées : \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) | \(\pi r^2 h\) | \(L \times l \times h\)
Pavé droit : \(\mathbf{V = L \times l \times h}\)
Cylindre : \(\mathbf{V = \pi r^2 h}\)
Boule : \(\mathbf{V = \dfrac{4}{3}\pi r^3}\)
Un tiroir mesure 40 cm × 25 cm × 15 cm.
a) Volume : \(V = 40 \times 25 \times 15 = \ldots\) cm³
b) Convertir en litres : \(\ldots\) cm³ \(\div 1\,000 = \ldots\) L
a) \(V = 40 \times 25 \times 15 = \mathbf{15\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(15\,000 \div 1\,000 = \mathbf{15\,\text{L}}\)
Un tube cylindrique a un diamètre de 8 cm et une hauteur de 20 cm.
a) Rayon : \(r = \dfrac{8}{2} = \ldots\) cm
b) Volume : \(V = \pi \times \ldots^2 \times 20 = \pi \times \ldots \times 20 = \ldots\) cm³ (arrondir à l'unité)
a) \(r = 4\) cm
b) \(V = \pi \times 4^2 \times 20 = \pi \times 16 \times 20 = 320\pi \approx \mathbf{1\,005\,\text{cm}^3}\)
Convertir :
a) 8 L = ........... cm³
b) 4 200 cm³ = ........... L
c) 3 m³ = ........... L
d) 500 mL = ........... cm³
a) \(8\,\text{L} = 8 \times 1\,000 = \mathbf{8\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(4\,200\,\text{cm}^3 = \dfrac{4\,200}{1\,000} = \mathbf{4{,}2\,\text{L}}\)
c) \(3\,\text{m}^3 = 3 \times 1\,000 = \mathbf{3\,000\,\text{L}}\)
d) \(500\,\text{mL} = \mathbf{500\,\text{cm}^3}\) (car 1 mL = 1 cm³)
Un cube a un côté de 3 cm. On fabrique un cube trois fois plus grand (côté 9 cm).
a) Volume du petit cube : \(V_1 = 3^3 = \ldots\) cm³
b) Volume du grand cube : \(V_2 = 9^3 = \ldots\) cm³
c) Par combien le volume a-t-il été multiplié ? Est-ce le même facteur que pour le côté ?
a) \(V_1 = 3^3 = \mathbf{27\,\text{cm}^3}\)
b) \(V_2 = 9^3 = \mathbf{729\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{729}{27} = 27\). Le volume a été multiplié par 27, alors que le côté n'a été multiplié que par 3. C'est normal : \(k = 3\), donc les volumes sont multipliés par \(k^3 = 3^3 = 27\).
Barème : 20 points
Un menuisier fabrique un coffre en forme de pavé droit de dimensions 120 cm × 50 cm × 45 cm.
a) Calculer le volume du coffre en cm³.
b) Convertir en litres.
c) Peut-on y stocker 250 L de copeaux de bois ?
a) \(V = 120 \times 50 \times 45 = \mathbf{270\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(V = \dfrac{270\,000}{1\,000} = \mathbf{270\,\text{L}}\)
c) Oui, car \(270 > 250\). Le coffre peut contenir 250 L de copeaux.
Un tuyau cylindrique a un diamètre intérieur de 8 cm et une longueur de 3 m.
a) Calculer le volume intérieur en cm³ (arrondir à l'unité).
b) Convertir en litres (arrondir au dixième).
\(r = 4\,\text{cm}\), \(h = 300\,\text{cm}\)
a) \(V = \pi \times 4^2 \times 300 = \pi \times 16 \times 300 = 4\,800\pi \approx \mathbf{15\,080\,\text{cm}^3}\)
b) \(V \approx \dfrac{15\,080}{1\,000} \approx \mathbf{15{,}1\,\text{L}}\)
Une pyramide à base carrée a un côté de base de 10 cm et une hauteur de 12 cm.
Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
a) Calculer l'aire de la base.
b) En déduire le volume.
a) \(\mathcal{A}_{\text{base}} = 10^2 = \mathbf{100\,\text{cm}^2}\)
b) \(V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times 12 = \dfrac{1\,200}{3} = \mathbf{400\,\text{cm}^3}\)
Un artisan fabrique un modèle réduit d'un meuble à l'échelle 1/4.
Le meuble réel a un volume de 0,32 m³.
a) Quel est le rapport \(k\) ?
b) Par combien le volume est-il divisé dans le modèle réduit ?
c) Calculer le volume du modèle réduit (en m³ puis en cm³).
a) \(k = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
b) Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}\). Le volume est divisé par 64.
c) \(V_{\text{modèle}} = \dfrac{0{,}32}{64} = \mathbf{0{,}005\,\text{m}^3} = 5\,000\,\text{cm}^3 = \mathbf{5\,\text{L}}\)
Un élève affirme : « Si on double les dimensions d'un cylindre, son volume double aussi. »
a) Cette affirmation est-elle correcte ?
b) Justifier par le calcul avec un cylindre de rayon 5 cm et hauteur 10 cm.
a) Non, cette affirmation est fausse.
b) Cylindre original : \(V_1 = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi\) cm³.
Cylindre doublé (\(r = 10\), \(h = 20\)) : \(V_2 = \pi \times 10^2 \times 20 = 2\,000\pi\) cm³.
\(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{2\,000\pi}{250\pi} = 8\). Le volume est multiplié par 8 (\(= 2^3\)), pas par 2.
Un ébéniste fabrique un bac de rangement en forme de pavé droit de dimensions 80 cm × 40 cm × 30 cm.
a) Calculer le volume du bac en cm³.
b) Convertir en litres.
c) Peut-on y stocker 100 L de granulés de bois ?
a) \(V = 80 \times 40 \times 30 = \mathbf{96\,000\,\text{cm}^3}\)
b) \(V = \dfrac{96\,000}{1\,000} = \mathbf{96\,\text{L}}\)
c) Non, car \(96 < 100\). Le bac ne peut pas contenir 100 L de granulés.
Un tuyau cylindrique a un diamètre intérieur de 6 cm et une longueur de 2 m.
a) Calculer le volume intérieur en cm³ (arrondir à l'unité).
b) Convertir en litres (arrondir au dixième).
\(r = 3\,\text{cm}\), \(h = 200\,\text{cm}\)
a) \(V = \pi \times 3^2 \times 200 = \pi \times 9 \times 200 = 1\,800\pi \approx \mathbf{5\,655\,\text{cm}^3}\)
b) \(V \approx \dfrac{5\,655}{1\,000} \approx \mathbf{5{,}7\,\text{L}}\)
Une pyramide à base carrée a un côté de base de 8 cm et une hauteur de 15 cm.
Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
a) Calculer l'aire de la base.
b) En déduire le volume.
a) \(\mathcal{A}_{\text{base}} = 8^2 = \mathbf{64\,\text{cm}^2}\)
b) \(V = \dfrac{1}{3} \times 64 \times 15 = \dfrac{960}{3} = \mathbf{320\,\text{cm}^3}\)
Un artisan fabrique un modèle réduit d'une armoire à l'échelle 1/5.
L'armoire réelle a un volume de 0,5 m³.
a) Quel est le rapport \(k\) ?
b) Par combien le volume est-il divisé dans le modèle réduit ?
c) Calculer le volume du modèle réduit (en m³ puis en cm³).
a) \(k = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)
b) Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}\). Le volume est divisé par 125.
c) \(V_{\text{modèle}} = \dfrac{0{,}5}{125} = \mathbf{0{,}004\,\text{m}^3} = 4\,000\,\text{cm}^3 = \mathbf{4\,\text{L}}\)
Un élève affirme : « Si on triple les dimensions d'un cube, son volume triple aussi. »
a) Cette affirmation est-elle correcte ?
b) Justifier par le calcul avec un cube de côté 2 cm.
a) Non, cette affirmation est fausse.
b) Cube original : \(V_1 = 2^3 = 8\) cm³.
Cube triplé (côté 6 cm) : \(V_2 = 6^3 = 216\) cm³.
\(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{216}{8} = 27\). Le volume est multiplié par 27 (\(= 3^3\)), pas par 3.
Barème : 20 points
Un cône a un rayon de base de 6 cm et une hauteur de 10 cm.
Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
a) Calculer le volume du cône (arrondir au cm³).
b) Calculer le volume d'un cylindre de mêmes dimensions (rayon 6 cm, hauteur 10 cm).
c) Quel est le rapport entre le volume du cône et celui du cylindre ? Commenter.
a) \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = \dfrac{360\pi}{3} = 120\pi \approx \mathbf{377\,\text{cm}^3}\)
b) \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 6^2 \times 10 = 360\pi \approx \mathbf{1\,131\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{V_{\text{cône}}}{V_{\text{cyl}}} = \dfrac{120\pi}{360\pi} = \dfrac{1}{3}\). Le volume du cône est exactement le tiers du volume du cylindre correspondant.
Un fabricant de mobilier conçoit une boîte cylindrique de rayon 8 cm et de hauteur 20 cm. Il veut fabriquer une version agrandie avec un rapport \(k = 1{,}5\).
a) Calculer les nouvelles dimensions (rayon et hauteur).
b) Calculer le volume de la boîte originale.
c) Sans recalculer le volume agrandi, utiliser la propriété d'agrandissement pour le déduire.
d) Vérifier en calculant directement le volume agrandi.
a) Rayon : \(8 \times 1{,}5 = \mathbf{12\,\text{cm}}\). Hauteur : \(20 \times 1{,}5 = \mathbf{30\,\text{cm}}\).
b) \(V_1 = \pi \times 8^2 \times 20 = 1\,280\pi \approx 4\,021\,\text{cm}^3\)
c) \(V_2 = k^3 \times V_1 = 1{,}5^3 \times 1\,280\pi = 3{,}375 \times 1\,280\pi = 4\,320\pi \approx \mathbf{13\,572\,\text{cm}^3}\)
d) Vérification : \(V_2 = \pi \times 12^2 \times 30 = \pi \times 144 \times 30 = 4\,320\pi \approx 13\,572\,\text{cm}^3\) ✔
Une boule a un rayon de 9 cm. Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
a) Calculer son volume (arrondir au cm³).
b) On réduit le rayon de moitié. Quel est le nouveau volume ?
c) Par combien le volume a-t-il été divisé ?
a) \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 9^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi \approx \mathbf{3\,054\,\text{cm}^3}\)
b) \(r = 4{,}5\,\text{cm}\). \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 4{,}5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 91{,}125 = 121{,}5\pi \approx \mathbf{382\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{3\,054}{382} = 8\). Le volume est divisé par 8 (\(= 2^3\)), car \(k = \dfrac{1}{2}\) et \(k^3 = \dfrac{1}{8}\).
Un menuisier doit remplir de résine une pièce en forme de prisme droit dont la base est un trapèze. Le trapèze a une grande base de 20 cm, une petite base de 12 cm et une hauteur de 8 cm. La longueur du prisme est de 50 cm.
a) Calculer l'aire de la base trapézoïdale.
b) Calculer le volume du prisme.
c) Convertir en litres.
a) \(\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{(20 + 12) \times 8}{2} = \dfrac{32 \times 8}{2} = \dfrac{256}{2} = \mathbf{128\,\text{cm}^2}\)
b) \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times \text{longueur} = 128 \times 50 = \mathbf{6\,400\,\text{cm}^3}\)
c) \(V = \dfrac{6\,400}{1\,000} = \mathbf{6{,}4\,\text{L}}\)
Un architecte conçoit une maquette au 1/50 d'un bâtiment dont le volume réel est de 2 500 m³.
a) Quel est le rapport \(k\) ?
b) Calculer le volume de la maquette en m³, puis en cm³.
a) \(k = \dfrac{1}{50}\)
b) \(V_{\text{maquette}} = k^3 \times V_{\text{réel}} = \left(\dfrac{1}{50}\right)^3 \times 2\,500 = \dfrac{1}{125\,000} \times 2\,500 = \dfrac{2\,500}{125\,000} = \mathbf{0{,}02\,\text{m}^3}\)
\(0{,}02\,\text{m}^3 = 0{,}02 \times 1\,000\,000 = \mathbf{20\,000\,\text{cm}^3} = 20\,\text{L}\)
Un cône a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm.
Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
a) Calculer le volume du cône (arrondir au cm³).
b) Calculer le volume d'un cylindre de mêmes dimensions (rayon 5 cm, hauteur 12 cm).
c) Quel est le rapport entre le volume du cône et celui du cylindre ? Commenter.
a) \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi \approx \mathbf{314\,\text{cm}^3}\)
b) \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 5^2 \times 12 = 300\pi \approx \mathbf{942\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{V_{\text{cône}}}{V_{\text{cyl}}} = \dfrac{100\pi}{300\pi} = \dfrac{1}{3}\). Le volume du cône est exactement le tiers du volume du cylindre correspondant.
Un fabricant de mobilier conçoit une boîte cylindrique de rayon 6 cm et de hauteur 15 cm. Il veut fabriquer une version agrandie avec un rapport \(k = 2\).
a) Calculer les nouvelles dimensions (rayon et hauteur).
b) Calculer le volume de la boîte originale.
c) Sans recalculer le volume agrandi, utiliser la propriété d'agrandissement pour le déduire.
d) Vérifier en calculant directement le volume agrandi.
a) Rayon : \(6 \times 2 = \mathbf{12\,\text{cm}}\). Hauteur : \(15 \times 2 = \mathbf{30\,\text{cm}}\).
b) \(V_1 = \pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696\,\text{cm}^3\)
c) \(V_2 = k^3 \times V_1 = 2^3 \times 540\pi = 8 \times 540\pi = 4\,320\pi \approx \mathbf{13\,572\,\text{cm}^3}\)
d) Vérification : \(V_2 = \pi \times 12^2 \times 30 = \pi \times 144 \times 30 = 4\,320\pi \approx 13\,572\,\text{cm}^3\) ✔
Une boule a un rayon de 6 cm. Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
a) Calculer son volume (arrondir au cm³).
b) On réduit le rayon au tiers (\(r = 2\) cm). Quel est le nouveau volume ?
c) Par combien le volume a-t-il été divisé ?
a) \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx \mathbf{905\,\text{cm}^3}\)
b) \(r = 2\,\text{cm}\). \(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 8 = \dfrac{32\pi}{3} \approx \mathbf{34\,\text{cm}^3}\)
c) \(\dfrac{905}{34} \approx 27\). Le volume est divisé par 27 (\(= 3^3\)), car \(k = \dfrac{1}{3}\) et \(k^3 = \dfrac{1}{27}\).
Un ébéniste doit remplir de vernis une pièce en forme de prisme droit dont la base est un trapèze. Le trapèze a une grande base de 16 cm, une petite base de 10 cm et une hauteur de 6 cm. La longueur du prisme est de 40 cm.
a) Calculer l'aire de la base trapézoïdale.
b) Calculer le volume du prisme.
c) Convertir en litres.
a) \(\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{(16 + 10) \times 6}{2} = \dfrac{26 \times 6}{2} = \dfrac{156}{2} = \mathbf{78\,\text{cm}^2}\)
b) \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times \text{longueur} = 78 \times 40 = \mathbf{3\,120\,\text{cm}^3}\)
c) \(V = \dfrac{3\,120}{1\,000} = \mathbf{3{,}12\,\text{L}}\)
Un architecte conçoit une maquette au 1/25 d'un bâtiment dont le volume réel est de 500 m³.
a) Quel est le rapport \(k\) ?
b) Calculer le volume de la maquette en m³, puis en cm³.
a) \(k = \dfrac{1}{25}\)
b) \(V_{\text{maquette}} = k^3 \times V_{\text{réel}} = \left(\dfrac{1}{25}\right)^3 \times 500 = \dfrac{1}{15\,625} \times 500 = \dfrac{500}{15\,625} = \mathbf{0{,}032\,\text{m}^3}\)
\(0{,}032\,\text{m}^3 = 0{,}032 \times 1\,000\,000 = \mathbf{32\,000\,\text{cm}^3} = 32\,\text{L}\)