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Chapitre 14 – Exercices par capacités

Solides usuels, volumes et agrandissement  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 02:30

Capacités et connaissances du programme :

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre, dans l'ordre du cours (C7 vient avant C6) ; ce ne sont pas des codes officiels. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : le prisme droit, \(V = A_{\text{base}} \times h\). Cette relation est toujours fournie ; l'exercice 11 en donne un exemple.

C1 — Reconnaître et nommer un solide usuel

Rappel de cours — Les six solides du programme
  • Cube : 6 faces carrées identiques, toutes les arêtes égales.
  • Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires ; on le décrit par sa longueur, sa largeur et sa hauteur.
  • Cylindre droit : 2 bases circulaires parallèles et identiques, une surface latérale.
  • Pyramide : une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
  • Cône : une base circulaire et un sommet pointu.
  • Boule : tous les points de sa surface sont à la même distance du centre.

Trois questions pour nommer : les deux bouts sont-ils identiques (cube, pavé, cylindre) ou l'un est-il une pointe (cône, pyramide) ? La base est-elle un disque ou un polygone ? Aucune face plane : c'est une boule.

Cube a a r h Cylindre
Représentations en perspective cavalière d'un cube (arête a) et d'un cylindre droit (rayon r, hauteur h).

Exercice 1

Associer chaque description à son nom de solide (cube, pavé droit, cylindre droit, pyramide, cône, boule) :

  1. Solide avec 2 faces circulaires parallèles et une surface latérale.
  2. Solide avec 6 faces rectangulaires, longueur, largeur et hauteur toutes différentes.
  3. Solide avec une base polygonale et un sommet pointu.
  4. Solide parfaitement rond, tous les points de sa surface sont à égale distance du centre.
  1. Cylindre droit
  2. Pavé droit (ou parallélépipède rectangle)
  3. Pyramide (la base est un polygone ; si la base était un disque, ce serait un cône)
  4. Boule

Exercice 2 — Nommer les objets d'un chantier

Pour chaque objet, nommer le solide le plus proche et dire si ses deux bouts sont identiques.

  1. Un rondin de bois scié aux deux bouts.
  2. Un cône de signalisation posé sur la chaussée.
  3. Un parpaing plein.
  4. La pyramide de verre du Louvre (base carrée).
  5. Une bille d'acier de roulement.
  6. Un glaçon dont toutes les arêtes mesurent 3 cm.

g. Un élève affirme que le cône de signalisation est un cylindre. Quelle question de la méthode lui montre son erreur ? Pourquoi cette erreur coûte-t-elle cher pour un calcul de volume ?

  1. Cylindre droit : deux bouts identiques (deux disques).
  2. Cône : les bouts ne sont pas identiques, l'un est une pointe.
  3. Pavé droit : deux bouts identiques (deux rectangles).
  4. Pyramide à base carrée : l'un des bouts est une pointe.
  5. Boule : aucune face plane.
  6. Cube : toutes les arêtes sont égales ; deux bouts identiques.

g. « Les deux bouts sont-ils identiques ? » : non, le cône de signalisation se termine en pointe, ce n'est donc pas un cylindre. Le volume d'un cône vaut le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur : se tromper de solide, c'est trouver un volume trois fois trop grand.

Exercice 2 bis

Nommer chaque solide représenté ci-dessous, puis indiquer le nombre de faces d'un cube.

① ②
Deux solides usuels à identifier
  1. Nommer le solide ①.
  2. Nommer le solide ②.
  3. Combien de faces possède un cube ?
  1. Solide ① : cylindre droit (deux disques parallèles reliés par une surface latérale).
  2. Solide ② : cône (une base circulaire et un sommet).
  3. Un cube possède 6 faces (toutes carrées et identiques).

C2 — Calculer le volume d'un solide usuel (formules du cône, de la pyramide et de la boule fournies)

Rappel de cours — Formules de volume
SolideFormuleStatut
Cube d'arête \(c\)\(V = c \times c \times c = c^3\)à connaître
Pavé droit\(V = L \times \ell \times h\)à connaître
Cylindre de rayon \(r\)\(V = \pi \times r^2 \times h\)à connaître
Cône\(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\)fournie
Pyramide\(V = \dfrac{A_{\text{base}} \times h}{3}\)fournie
Boule\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)fournie

Les trois longueurs doivent être dans la même unité avant d'être multipliées : en cm, le volume est en cm³ ; en m, il est en m³. Utiliser la touche \(\pi\) de la calculatrice. Sur un plan, c'est souvent le diamètre qui est donné : \(r = d \div 2\).

Pour aller plus loin (hors programme, non évalué) : prisme droit, \(V = A_{\text{base}} \times h\). Cette relation est toujours fournie.

Exercice 3

Calculer le volume des solides suivants :

  1. Cube de côté 5 cm.
  2. Pavé droit de 8 cm × 4 cm × 3 cm.
  3. Cylindre de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm (touche \(\pi\), arrondir au centième).
  1. \(V = 5^3 = \mathbf{125}\) cm³
  2. \(V = 8 \times 4 \times 3 = \mathbf{96}\) cm³
  3. \(V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 6^2 \times 10 = 360\pi \approx \mathbf{1\,130{,}97}\) cm³

Exercice 4

Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté 6 m et de hauteur 4 m. Formule fournie : \(V = \dfrac{A_{\text{base}} \times h}{3}\).

6 m h = 4 m S
Aire de la base carrée : \(A_{\text{base}} = 6^2 = 36\) m²
\(V = \dfrac{36 \times 4}{3} = \dfrac{144}{3} = \mathbf{48}\) m³

Exercice 5

Calculer le volume d'une boule de rayon 9 cm, arrondi au centième. Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).

r = 9
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 9^3 = \dfrac{4 \times 729}{3} \times \pi = 972\pi \approx \mathbf{3\,053{,}63}\) cm³

Exercice 6

Un cône a une base circulaire de rayon 4 cm et une hauteur de 9 cm. Formule fournie : \(V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\). Calculer son volume, arrondi au centième.

r = 4 h = 9
\(V = \dfrac{\pi \times 4^2 \times 9}{3} = \dfrac{144\pi}{3} = 48\pi \approx \mathbf{150{,}80}\) cm³
Contrôle : le cylindre de même base et de même hauteur aurait un volume trois fois plus grand, \(144\pi \approx 452{,}39\) cm³.

Exercice 6 bis — Un diamètre et deux unités

Un récupérateur d'eau cylindrique est coté « ∅ 80 cm » sur la notice. Sa hauteur intérieure est de 1,10 m.

  1. Donner le rayon et la hauteur, en mètres.
  2. Calculer son volume en m³, arrondi au millième, puis sa contenance en litres.
  3. Un apprenti calcule \(\pi \times 80^2 \times 110\) et trouve environ 2 211 681 cm³, soit 2 212 L. Quelle erreur a-t-il faite ? Combien de fois son résultat est-il trop grand ?
  1. Le symbole ∅ annonce un diamètre : \(r = 80 \div 2 = 40\) cm \(= 0{,}40\) m. Hauteur : \(h = 1{,}10\) m.
  2. \(V = \pi \times 0{,}40^2 \times 1{,}10 = \pi \times 0{,}176 \approx \mathbf{0{,}553}\) m³, soit environ 553 L (1 m³ = 1 000 L).
  3. Il a pris le diamètre (80 cm) pour le rayon. Le rayon est au carré : le diamètre étant 2 fois le rayon, son carré est 4 fois plus grand. Le résultat est 4 fois trop grand : \(553 \times 4 \approx 2\,212\).

C3 — Convertir des unités de volume

Rappel de cours — Conversions d'unités de volume

Chaque fois qu'on passe à l'unité inférieure, on multiplie par 1 000 (et non par 10 ou 100, car un volume est le produit de trois longueurs).

m³ dm³ = L cm³ = mL mm³
1 1 000 1 000 000 1 000 000 000

Équivalences utiles : 1 dm³ = 1 litre ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 m³ = 1 000 litres.

Contrôle : vers une unité plus petite, le nombre grandit ; vers une unité plus grande, il rétrécit.

Exercice 7

Convertir :

  1. 3,5 m³ en dm³ (litres)
  2. 48 000 cm³ en litres, puis en m³
  3. 0,25 m³ en cm³
  4. 2 500 mm³ en cm³
  1. \(3{,}5 \text{ m}^3 = 3{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{3\,500}\) dm³ (litres)
  2. \(48\,000 \text{ cm}^3 \div 1\,000 = \mathbf{48}\) litres ; \(48 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}048}\) m³
  3. \(0{,}25 \text{ m}^3 = 0{,}25 \times 1\,000\,000 = \mathbf{250\,000}\) cm³
  4. \(2\,500 \text{ mm}^3 = 2\,500 \div 1\,000 = \mathbf{2{,}5}\) cm³

Rappel : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3\) ; \(1 \text{ dm}^3 = 1\) litre.

Exercice 8 — Le litre et le contrôle du sens

  1. Un réservoir de chauffage a une contenance de 0,8 m³. Combien de litres peut-il contenir ?
  2. Une seringue contient 5 mL. Exprimer ce volume en cm³, puis en dm³.
  3. Un apprenti écrit : « 4 500 cm³ = 4 500 000 dm³ ». Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi c'est forcément faux. Corriger.
  1. \(0{,}8 \text{ m}^3 = 0{,}8 \times 1\,000 = \mathbf{800}\) dm³, soit 800 litres.
  2. \(5 \text{ mL} = \mathbf{5}\) cm³ ; \(5 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}005}\) dm³.
  3. Le dm³ est une unité plus grande que le cm³ : le nombre doit rétrécir. Ici il a grandi, c'est donc faux. \(4\,500 \text{ cm}^3 = 4\,500 \div 1\,000 = \mathbf{4{,}5}\) dm³ (4,5 L).

Exercice 9

Un tube cylindrique de plomberie a un diamètre intérieur de 20 mm et une longueur de 5 m. Calculer le volume d'eau qu'il peut contenir, en cm³ (arrondi à l'unité) puis en litres.

Même unité d'abord : rayon \(r = 20 \div 2 = 10\) mm \(= 1\) cm ; longueur \(5\) m \(= 500\) cm.
\(V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 1^2 \times 500 = 500\pi \approx \mathbf{1\,571}\) cm³
En litres : \(1\,571 \div 1\,000 \approx \mathbf{1{,}57}\) L

C4 — Calculer le volume d'un solide composé

Rappel de cours — Ajouter ou retrancher
  1. Découper le solide en solides usuels, et les nommer.
  2. Calculer chaque volume à part, avec ses propres dimensions.
  3. Additionner si les morceaux s'ajoutent, soustraire si l'un est un creux.

Exemple : un socle est un pavé de 40 cm × 30 cm × 20 cm, percé de part en part d'un trou cylindrique de rayon 5 cm. \(V = 40 \times 30 \times 20 - \pi \times 5^2 \times 20 \approx 24\,000 - 1\,571 = 22\,429\) cm³. Le trou traverse toute la hauteur : sa hauteur est celle du pavé.

Exercice 10

Une pièce en bois a la forme d'un pavé droit de 20 cm × 10 cm × 8 cm. On colle sur le dessus un demi-cylindre, c'est-à-dire la moitié d'un cylindre coupé dans sa longueur, de rayon 5 cm et de longueur 20 cm. Calculer le volume total, arrondi à l'unité.

Volume du pavé : \(20 \times 10 \times 8 = 1\,600\) cm³
Volume du demi-cylindre : la moitié du cylindre entier, \(\dfrac{\pi \times 5^2 \times 20}{2} = 250\pi \approx 785\) cm³
Volume total : \(1\,600 + 785 = \mathbf{2\,385}\) cm³

Exercice 11 — Pour aller plus loin

Hors programme, non évalué. Relation fournie : le volume d'un prisme droit est \(V = A_{\text{base}} \times h\), où \(A_{\text{base}}\) est l'aire de la base et \(h\) la longueur du prisme.

Un bâtiment est formé de murs qui délimitent un pavé droit de 8 m × 6 m × 3 m, surmontés d'un toit en prisme droit. La base du toit est le pignon : un triangle de base 6 m et de hauteur 2 m. Le toit court sur les 8 m du bâtiment. Calculer le volume total du bâtiment.

Volume des murs (pavé) : \(8 \times 6 \times 3 = 144\) m³
Aire du pignon : \(\dfrac{6 \times 2}{2} = 6\) m² ; volume du toit : \(6 \times 8 = 48\) m³
Volume total : \(144 + 48 = \mathbf{192}\) m³

Exercice 12

On évide un cylindre de rayon 6 cm et de hauteur 12 cm en y perçant un trou cylindrique de rayon 2 cm sur toute la hauteur. Calculer le volume de matière restante, arrondi au centième.

h=12 R=6 r=2
Volume du grand cylindre : \(\pi \times 6^2 \times 12 = 432\pi\) cm³
Volume du trou : \(\pi \times 2^2 \times 12 = 48\pi\) cm³
Volume restant : \(432\pi - 48\pi = 384\pi \approx \mathbf{1\,206{,}37}\) cm³

Exercice 12 bis — Un silo à grains

Un silo est formé d'un cylindre de rayon 1,2 m et de hauteur 2,5 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 0,9 m. Formule fournie : \(V_{\text{cône}} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}\).

  1. Nommer les deux solides et calculer chaque volume, arrondi au centième.
  2. En déduire le volume du silo, en m³ puis en litres.
  3. Un élève trouve 15,38 m³. Quelle erreur a-t-il faite ?
  1. Cylindre : \(\pi \times 1{,}2^2 \times 2{,}5 = 3{,}6\pi \approx 11{,}31\) m³. Cône : \(\dfrac{\pi \times 1{,}2^2 \times 0{,}9}{3} = 0{,}432\pi \approx 1{,}36\) m³.
  2. Les deux morceaux s'ajoutent : \(11{,}31 + 1{,}36 = \mathbf{12{,}67}\) m³, soit environ 12 670 L.
  3. Il a oublié de diviser par 3 le volume du cône : \(11{,}31 + \pi \times 1{,}44 \times 0{,}9 \approx 11{,}31 + 4{,}07 = 15{,}38\). Le cône vaut le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

C5 — Exploiter un volume : nombre de contenants, masse, prix

Rappel de cours — La chaîne du métré cubique
  1. Le volume, dans l'unité de l'ouvrage (le béton se commande en m³).
  2. La quantité : on divise par la contenance d'un contenant, et l'on arrondit au-dessus.
  3. La masse, s'il le faut : \(m = \rho \times V\), la masse volumique \(\rho\) étant fournie.
  4. Le prix : quantité × prix unitaire. On paie ce qui est livré.

Pour un nombre de contenants, on arrondit toujours au supérieur : 1,2 toupie, c'est 2 toupies, sinon il manque du béton.

Exercice 13 — Des sacs de terreau

On remplit de terreau trois jardinières identiques. Chacune est un pavé droit de 100 cm de long, 20 cm de large et 20 cm de profondeur.

DonnéeValeur
Dimensions d'une jardinière100 cm × 20 cm × 20 cm
Nombre de jardinières3
Contenance d'un sac de terreau50 L
Prix d'un sac6 €
  1. Calculer le volume d'une jardinière en cm³, puis en litres.
  2. Calculer le volume de terreau pour les trois jardinières.
  3. Calculer le nombre de sacs nécessaires. Pourquoi 2 sacs ne suffisent-ils pas ?
  4. Calculer le prix des sacs achetés.
  1. \(V = 100 \times 20 \times 20 = 40\,000\) cm³ \(= 40\) L (1 L = 1 000 cm³).
  2. \(3 \times 40 = \mathbf{120}\) L.
  3. \(120 \div 50 = 2{,}4\) : il faut 3 sacs. Avec 2 sacs, on n'a que 100 L : il manque 20 L.
  4. \(3 \times 6 = \mathbf{18}\) €.

Exercice 14 — Combien de toupies ?

Une dalle de béton mesure 10 m sur 5 m, pour une épaisseur de 14 cm. Une toupie livre 6 m³ de béton, facturé 130 € le mètre cube.

DonnéeValeur
Dalle10 m × 5 m, épaisseur 14 cm
Contenance d'une toupie6 m³
Prix du béton livré130 € / m³
  1. Convertir l'épaisseur en mètres, puis calculer le volume de la dalle.
  2. Combien de toupies faut-il commander ?
  3. Un apprenti arrondit « au plus proche » et commande 1 toupie. Quel volume de béton manque-t-il ?
  4. Calculer le prix du béton livré.
  1. \(14\) cm \(= 0{,}14\) m. \(V = 10 \times 5 \times 0{,}14 = \mathbf{7}\) m³.
  2. \(7 \div 6 \approx 1{,}17\) : on arrondit au-dessus, il faut 2 toupies.
  3. Une toupie livre 6 m³ : il manque \(7 - 6 = \mathbf{1}\) m³. La dalle ne peut pas être coulée en entier.
  4. On paie ce qui est livré : \(2 \times 6 = 12\) m³, et \(12 \times 130 = \mathbf{1\,560}\) €. (Et non \(7 \times 130 = 910\) €.)

Exercice 15 — La masse de pieds de table en béton

Un artisan coule 6 pieds de table en béton. Chaque pied est un cylindre de diamètre 12 cm et de hauteur 30 cm. La masse volumique du béton est \(\rho = 2\,400\) kg/m³.

  1. Calculer le volume d'un pied en cm³, arrondi à l'unité, puis en m³.
  2. Calculer la masse d'un pied, arrondie au dixième de kilogramme, avec \(m = \rho \times V\).
  3. En déduire la masse des 6 pieds.
  1. Rayon : \(12 \div 2 = 6\) cm. \(V = \pi \times 6^2 \times 30 = 1\,080\pi \approx \mathbf{3\,393}\) cm³, soit \(3\,393 \div 1\,000\,000 = 0{,}003\,393\) m³.
  2. La masse volumique est en kg/m³ : le volume doit être en m³. \(m = 2\,400 \times 0{,}003\,393 \approx \mathbf{8{,}1}\) kg.
  3. On multiplie la masse non arrondie : \(6 \times 2\,400 \times 0{,}003\,393 \approx \mathbf{48{,}9}\) kg. (Avec la masse arrondie, \(6 \times 8{,}1 = 48{,}6\) kg : l'arrondi fait perdre 0,3 kg.)

Exercice 16 — Un aquarium sur son meuble

Un aquarium est un pavé droit de 120 cm de long, 50 cm de large et 50 cm de haut. On le remplit d'eau sur une hauteur de 45 cm. L'eau a une masse volumique \(\rho = 1\,000\) kg/m³, soit 1 kg par litre.

DonnéeValeur
Dimensions de la cuve120 cm × 50 cm × 50 cm
Hauteur d'eau45 cm
Masse de l'aquarium vide60 kg
Charge maximale du meuble support400 kg
  1. Quelle hauteur faut-il utiliser pour le volume d'eau ? Calculer ce volume en litres.
  2. Calculer la masse de l'eau.
  3. Le meuble peut-il supporter l'aquarium rempli ? Justifier.
  1. La hauteur d'eau, 45 cm, et non la hauteur de la cuve. \(V = 120 \times 50 \times 45 = 270\,000\) cm³ \(= \mathbf{270}\) L.
  2. \(270 \text{ L} = 0{,}27\) m³ ; \(m = 1\,000 \times 0{,}27 = \mathbf{270}\) kg.
  3. Masse totale : \(60 + 270 = 330\) kg. \(330 < 400\) : oui, le meuble peut le supporter.

Exercice 17 — Commander le béton d'une semelle

La semelle de fondation d'un garage mesure au total 32 m de long, 0,5 m de large et 0,35 m de profondeur. Le béton a une masse volumique de 2 400 kg/m³. Une toupie livre 5 m³, facturés 130 € le mètre cube.

DonnéeValeur
Semelle32 m × 0,5 m × 0,35 m
Masse volumique du béton2 400 kg/m³
Contenance d'une toupie5 m³
Prix du béton livré130 € / m³
  1. Calculer le volume de béton.
  2. Calculer le nombre de toupies à commander.
  3. Calculer la masse de béton mise en œuvre, en tonnes.
  4. Le devis affiche \(5{,}6 \times 130 = 728\) €. Expliquer pourquoi la facture sera plus élevée et calculer son montant.
  1. \(V = 32 \times 0{,}5 \times 0{,}35 = \mathbf{5{,}6}\) m³.
  2. \(5{,}6 \div 5 = 1{,}12\) : il faut 2 toupies.
  3. \(m = 2\,400 \times 5{,}6 = 13\,440\) kg \(= \mathbf{13{,}44}\) t.
  4. On paie ce qui est livré : 2 toupies, soit \(2 \times 5 = 10\) m³. Facture : \(10 \times 130 = \mathbf{1\,300}\) €.

C7 — Retrouver une dimension à partir du volume

Rappel de cours — On divise, on ne devine pas
SolideOn connaîtOn chercheOn fait
Pavé droit\(V\), \(L\), \(\ell\)la hauteur\(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\)
Cylindre\(V\), \(r\)la hauteur\(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\)
Cylindre\(V\), \(h\)le rayon\(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\)

1. Mettre toutes les grandeurs dans la même unité (litres en m³, cm en m…). 2. Diviser ; pour le rayon, diviser puis prendre la racine carrée (touche \(\sqrt{\ }\)). 3. Contrôler : recalculer le volume avec la dimension trouvée, on doit retomber sur celui de l'énoncé.

Exercice 18 — La profondeur d'un bac

Un bac de rétention parallélépipédique mesure 1,5 m de long et 0,8 m de large. Il doit pouvoir contenir 600 L.

  1. Convertir 600 L en m³.
  2. Calculer l'aire du fond du bac.
  3. Calculer la profondeur avec \(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\).
  4. Contrôler en refaisant le calcul direct.
  1. \(600 \text{ L} = 600 \text{ dm}^3 = 600 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}6}\) m³.
  2. \(1{,}5 \times 0{,}8 = \mathbf{1{,}2}\) m².
  3. \(h = \dfrac{0{,}6}{1{,}2} = \mathbf{0{,}5}\) m, soit 50 cm.
  4. \(1{,}5 \times 0{,}8 \times 0{,}5 = 0{,}6\) m³ \(= 600\) L ✔

Exercice 19 — L'épaisseur d'une dalle

Avec le béton d'une toupie, soit 6 m³, un maçon veut couler une dalle rectangulaire de 8 m sur 5 m.

  1. Quelle épaisseur peut-il donner à la dalle ? Donner le résultat en cm.
  2. Contrôler le résultat.
  3. La dalle passe à 10 m sur 5 m, avec la même toupie. Quelle est la nouvelle épaisseur ?
  1. La dalle est un pavé droit : \(h = \dfrac{V}{L \times \ell} = \dfrac{6}{8 \times 5} = \dfrac{6}{40} = 0{,}15\) m, soit 15 cm.
  2. \(8 \times 5 \times 0{,}15 = 6\) m³ ✔
  3. \(h = \dfrac{6}{10 \times 5} = 0{,}12\) m, soit 12 cm.

Exercice 20 — La hauteur d'une cuve cylindrique

Une cuve cylindrique doit contenir 1 000 L. Son emplacement impose un diamètre de 90 cm.

  1. Donner le volume en m³ et le rayon en m.
  2. Calculer la hauteur de la cuve avec \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\), arrondie au centimètre.
  3. Contrôler en refaisant le calcul direct.
  4. Un collègue utilise 0,9 m comme rayon. Quelle hauteur trouve-t-il ? Combien de fois est-elle trop petite ?
  1. \(V = 1\,000 \text{ L} = \mathbf{1}\) m³. \(r = 90 \div 2 = 45\) cm \(= \mathbf{0{,}45}\) m.
  2. \(h = \dfrac{1}{\pi \times 0{,}45^2} = \dfrac{1}{\pi \times 0{,}2025} \approx \mathbf{1{,}57}\) m.
  3. \(\pi \times 0{,}45^2 \times 1{,}57 \approx 0{,}999\) m³, soit environ 1 000 L ✔ (le petit écart vient de l'arrondi).
  4. \(\dfrac{1}{\pi \times 0{,}9^2} \approx 0{,}39\) m. Il a pris le diamètre pour le rayon : \(r^2\) est 4 fois trop grand, donc la hauteur est 4 fois trop petite.

Exercice 21 — Le rayon d'un fût

Un fût cylindrique de 85 cm de hauteur intérieure doit contenir 200 L.

  1. Convertir le volume en m³ et la hauteur en m.
  2. Calculer \(r^2 = \dfrac{V}{\pi h}\), arrondi au dix-millième.
  3. En déduire le rayon intérieur, en cm arrondi au millimètre, puis le diamètre.
  4. Contrôler en refaisant le calcul direct.
  1. \(V = 200 \text{ L} = \mathbf{0{,}2}\) m³ ; \(h = 85 \text{ cm} = \mathbf{0{,}85}\) m.
  2. \(r^2 = \dfrac{0{,}2}{\pi \times 0{,}85} \approx \mathbf{0{,}0749}\). Attention : c'est \(r^2\), pas encore le rayon.
  3. \(r = \sqrt{0{,}0749} \approx 0{,}274\) m, soit 27,4 cm. Diamètre : \(2 \times 27{,}4 = \mathbf{54{,}8}\) cm.
  4. \(\pi \times 0{,}274^2 \times 0{,}85 \approx 0{,}200\) m³ \(= 200\) L ✔

Exercice 22 — Contrôler une dimension trouvée

Deux apprentis ont retrouvé une dimension. Pour chacun, refaire le calcul direct, dire si le résultat est juste et, sinon, trouver l'erreur et corriger.

  1. Une cuve parallélépipédique a un fond de 2 m sur 1,5 m et contient 2 400 L. Léo écrit : \(h = 2\,400 \div (2 \times 1{,}5) = 800\) m.
  2. Un réservoir cylindrique de 1 m de hauteur contient 0,5 m³. Inès écrit : \(r = 0{,}5 \div (\pi \times 1) \approx 0{,}16\) m.
  1. Calcul direct : \(2 \times 1{,}5 \times 800 = 2\,400\) m³, et non 2,4 m³. Léo n'a pas converti les litres : \(2\,400 \text{ L} = 2{,}4\) m³. \(h = 2{,}4 \div 3 = \mathbf{0{,}8}\) m. Contrôle : \(2 \times 1{,}5 \times 0{,}8 = 2{,}4\) m³ ✔
  2. Calcul direct : \(\pi \times 0{,}16^2 \times 1 \approx 0{,}08\) m³, et non 0,5 m³. Inès a calculé \(r^2\) et a oublié la racine carrée. \(r = \sqrt{0{,}5 \div \pi} \approx \sqrt{0{,}1592} \approx \mathbf{0{,}40}\) m. Contrôle : \(\pi \times 0{,}40^2 \times 1 \approx 0{,}50\) m³ ✔

C6 — Déterminer l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes

À retenir

\(k = \dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur d'origine}}\). Si \(k > 1\), c'est un agrandissement ; si \(0 < k < 1\), une réduction. Quand toutes les dimensions sont multipliées par \(k\) :

  • les longueurs sont multipliées par \(k\) ;
  • les aires (surfaces à peindre, à isoler) sont multipliées par \(k^2\) ;
  • les volumes (contenances) sont multipliés par \(k^3\).

Exemple : si on double les dimensions (\(k = 2\)), l'aire est multipliée par 4 et le volume par 8.

Remonter à \(k\) : depuis un rapport d'aires, \(k = \sqrt{k^2}\) (touche \(\sqrt{\ }\)). Depuis un rapport de volumes, on reconnaît seulement un cube de la table : 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³, 1 000 = 10³. Contrôle : on élève \(k\) au cube et on retrouve le rapport de départ.

Exercice 23

Un cube a une arête de 3 cm. On construit un second cube dont l'arête est le triple (9 cm).

  1. Calculer le volume du petit cube et du grand cube.
  2. Par quel nombre le volume a-t-il été multiplié ?
  3. Vérifier que ce nombre est bien \(k^3\) avec \(k = 3\).
  1. Petit : \(3^3 = 27\) cm³. Grand : \(9^3 = 729\) cm³.
  2. \(\dfrac{729}{27} = \mathbf{27}\).
  3. \(k^3 = 3^3 = 27\) ✔ Le volume est bien multiplié par \(k^3\).

Exercice 24

Une maquette de meuble est réalisée à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\). Le meuble réel mesure 1 m × 0,5 m × 0,8 m.

  1. Quelles sont les dimensions de la maquette ?
  2. Quel est le rapport des aires entre la maquette et le meuble réel ?
  3. Quel est le rapport des volumes ?
  4. Le meuble réel a un volume de 400 dm³. Quel est le volume de la maquette en cm³ ?
  1. Dimensions : \(20 \times 10 \times 16\) cm (tout divisé par 5).
  2. Rapport des aires : \(k^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}\). L'aire de la maquette est 25 fois plus petite.
  3. Rapport des volumes : \(k^3 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}\).
  4. \(V_{\text{maquette}} = \dfrac{400}{125} = 3{,}2\) dm³ \(= 3\,200\) cm³. Contrôle : \(20 \times 10 \times 16 = 3\,200\) cm³ ✔

Exercice 25

Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. On réduit toutes ses dimensions de moitié (\(k = 0{,}5\)).

  1. Calculer l'aire du disque de base du cylindre d'origine, puis du cylindre réduit. Vérifier le rapport \(k^2\).
  2. Calculer le volume du cylindre d'origine, puis du cylindre réduit. Vérifier le rapport \(k^3\).
  1. Aire du disque de base = \(\pi r^2\).
    Origine : \(\pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}27\) cm².
    Réduit (\(r = 2\)) : \(\pi \times 2^2 = 4\pi \approx 12{,}57\) cm².
    Rapport : \(\dfrac{4\pi}{16\pi} = 0{,}25 = 0{,}5^2 = k^2\) ✔
  2. Volume = \(\pi r^2 h\).
    Origine : \(\pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 502{,}65\) cm³.
    Réduit (\(r = 2\), \(h = 5\)) : \(\pi \times 4 \times 5 = 20\pi \approx 62{,}83\) cm³.
    Rapport : \(\dfrac{20\pi}{160\pi} = 0{,}125 = 0{,}5^3 = k^3\) ✔

Exercice 26 — Le devis d'une jardinière agrandie

Une jardinière en bois contient 24 L de terreau et il faut 0,8 m² de lasure pour la protéger. Un menuisier fabrique deux modèles semblables : un grand, dont toutes les dimensions sont doublées, et un petit, dont toutes les dimensions sont divisées par 2.

  1. Un client pense que le grand modèle demandera 48 L de terreau et 1,6 m² de lasure. A-t-il raison ? Corriger.
  2. La jardinière d'origine mesure 40 cm de haut. Quelle est la hauteur du grand modèle ?
  3. Pour le petit modèle, donner \(k\), puis calculer sa contenance et sa surface à lasurer.
  1. Non. Avec \(k = 2\), la contenance est multipliée par \(k^3 = 8\) : \(24 \times 8 = \mathbf{192}\) L. La surface est multipliée par \(k^2 = 4\) : \(0{,}8 \times 4 = \mathbf{3{,}2}\) m². Le client a multiplié par 2 une contenance et une surface, comme si c'étaient des longueurs.
  2. Une hauteur est une longueur : \(40 \times 2 = \mathbf{80}\) cm.
  3. \(k = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Contenance : \(24 \times 0{,}5^3 = 24 \div 8 = \mathbf{3}\) L. Surface : \(0{,}8 \times 0{,}5^2 = 0{,}8 \div 4 = \mathbf{0{,}2}\) m².

Exercice 27 — Remonter à k

  1. Deux bacs semblables contiennent 3 L et 81 L. Calculer le rapport des volumes, puis en déduire \(k\). Le petit bac mesure 20 cm de haut : quelle est la hauteur du grand ?
  2. Un réservoir contient 250 L ; sa maquette, semblable, contient 2 L. Calculer le rapport des volumes de la maquette au réservoir, puis \(k\). Contrôler.
  3. Deux panneaux semblables ont pour aires 1,5 m² et 13,5 m². Calculer \(k\).
  4. Deux plaques semblables ont pour aires 2 m² et 7 m². Calculer \(k\), arrondi au centième.
  1. \(k^3 = \dfrac{81}{3} = 27\). On reconnaît \(27 = 3^3\), donc \(k = \mathbf{3}\). Hauteur du grand bac : \(20 \times 3 = \mathbf{60}\) cm. Contrôle : \(3^3 = 27\) ✔
  2. \(k^3 = \dfrac{2}{250} = \dfrac{1}{125}\). On reconnaît \(125 = 5^3\), donc \(k = \mathbf{\dfrac{1}{5}}\) : la maquette est au 1/5. Contrôle : \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}\) ✔
  3. \(k^2 = \dfrac{13{,}5}{1{,}5} = 9\), donc \(k = \sqrt{9} = \mathbf{3}\).
  4. \(k^2 = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\), donc \(k = \sqrt{3{,}5} \approx \mathbf{1{,}87}\). Pour une aire, la racine carrée fonctionne même si le nombre n'est pas un carré parfait.

C8 — Calculer des volumes en série au tableur

Rappel de cours — Une formule en ligne 2, puis la recopie

On saisit la longueur, la largeur et la hauteur dans les colonnes A, B et C. On écrit une seule formule en ligne 2, puis on la recopie vers le bas : le tableur adapte seul les numéros de ligne (=A2*B2*C2 devient =A3*B3*C3 en ligne 3).

  • Volume : =A2*B2*C2
  • Nombre de toupies de 5 m³ : =ARRONDI.SUP(D2/5;0) donne le premier entier au-dessus de \(D2 \div 5\).
  • Total des volumes : =SOMME(D2:D5)

Au tableur, \(\pi\) s'écrit PI() et « au carré » s'écrit ^2. Toujours contrôler une ligne à la main.

Exercice 28 — Un métré de dalles

Un métreur saisit trois dalles dans une feuille de calcul. Les dimensions sont en mètres.

ABCD
1L (m)ℓ (m)h (m)V (m³)
2640,15
353,50,12
484,50,15
5Total
  1. Quelle formule écrire en D2 ? Après recopie vers le bas, quelle formule contient D4 ?
  2. Quelle formule écrire en D5 ?
  3. Calculer à la main les quatre nombres affichés dans la colonne D.
  4. L'épaisseur de la deuxième dalle passe à 0,15 m. Quelle cellule faut-il modifier ? Quelles cellules changent toutes seules, et quelles valeurs affichent-elles ?
  1. D2 : =A2*B2*C2. Après recopie, D4 contient =A4*B4*C4.
  2. D5 : =SOMME(D2:D4).
  3. D2 : \(6 \times 4 \times 0{,}15 = 3{,}6\) ; D3 : \(5 \times 3{,}5 \times 0{,}12 = 2{,}1\) ; D4 : \(8 \times 4{,}5 \times 0{,}15 = 5{,}4\) ; D5 : \(3{,}6 + 2{,}1 + 5{,}4 = \mathbf{11{,}1}\) m³.
  4. On modifie C3. D3 devient \(5 \times 3{,}5 \times 0{,}15 = 2{,}625\) et D5 devient \(11{,}625\), sans rien retaper.

Exercice 29 — Le nombre de toupies avec ARRONDI.SUP

Un conducteur de travaux prépare quatre semelles de fondation. Une toupie livre 6 m³.

ABCDE
1L (m)ℓ (m)h (m)V (m³)toupies
2150,50,4
3200,60,5
4280,50,45
5120,40,35
6Total
  1. Écrire la formule de D2 et celle de E2, à recopier jusqu'à la ligne 5.
  2. Compléter les colonnes D et E (lignes 2 à 5).
  3. Écrire la formule de D6 et donner sa valeur.
  4. Un collègue écrit =ARRONDI(D2/6;0), qui arrondit au plus proche. Que deviennent E4 et E5 ? Pourquoi est-ce grave ?
  5. Si les quatre semelles sont coulées le même jour, combien de toupies commander ? Comparer avec la somme de la colonne E.
  1. D2 : =A2*B2*C2 ; E2 : =ARRONDI.SUP(D2/6;0).
  2. D2 = 3 et E2 = 1 ; D3 = 6 et E3 = 1 (\(6 \div 6 = 1\) tout juste) ; D4 = 6,3 et E4 = 2 (\(6{,}3 \div 6 = 1{,}05\)) ; D5 = 1,68 et E5 = 1 (\(1{,}68 \div 6 = 0{,}28\)).
  3. D6 : =SOMME(D2:D5), qui affiche \(3 + 6 + 6{,}3 + 1{,}68 = \mathbf{16{,}98}\) m³.
  4. E4 affiche 1 au lieu de 2 : il manque 0,3 m³ de béton. E5 affiche 0 : aucune toupie pour une semelle de 1,68 m³. Pour un nombre de contenants, on arrondit toujours au supérieur.
  5. \(16{,}98 \div 6 = 2{,}83\) : 3 toupies. La somme de la colonne E donne \(1 + 1 + 2 + 1 = 5\) toupies, valable seulement si chaque semelle est coulée à part.

Exercice 30 — Trouver les erreurs d'une feuille

Un apprenti a saisi l'épaisseur de trois dalles en centimètres. Voici ce qu'affiche sa feuille.

ABCD
1L (m)ℓ (m)h (cm)V (m³)
26412288
35315288
47410280
  1. Calculer à la main le volume de la dalle de la ligne 2, en m³. Pourquoi la feuille affiche-t-elle 288 ?
  2. D2 contient =A2*B2*C2. D3 affiche la même valeur que D2 alors que les dalles sont différentes. Quelle formule l'apprenti a-t-il tapée en D3 ? Qu'aurait-il dû faire ?
  3. Proposer une formule pour D2 qui donne le volume en m³, puis donner les trois valeurs affichées après recopie.
  1. \(12\) cm \(= 0{,}12\) m ; \(6 \times 4 \times 0{,}12 = \mathbf{2{,}88}\) m³. La feuille multiplie des mètres par des centimètres : \(6 \times 4 \times 12 = 288\), cent fois trop.
  2. Il a tapé à la main =A2*B2*C2 en D3 : la formule pointe encore vers la ligne 2. Il fallait recopier D2 vers le bas, pour obtenir =A3*B3*C3.
  3. D2 : =A2*B2*C2/100 (on convertit les cm en m), recopiée vers le bas. Valeurs : D2 = 2,88 ; D3 = \(5 \times 3 \times 0{,}15 = 2{,}25\) ; D4 = \(7 \times 4 \times 0{,}10 = 2{,}8\).

Exercice 31 — Des plots cylindriques en série

Pour les fondations d'une terrasse, on coule trois sortes de plots cylindriques. Le plan donne leur diamètre.

ABCD
1PlotDiamètre (m)Hauteur (m)V (m³)
2P10,200,80
3P20,250,80
4P30,301,00
5Total
  1. Écrire en D2 une formule qui calcule le volume du plot, à recopier vers le bas.
  2. Donner les valeurs affichées en D2, D3 et D4, arrondies au millième, puis le total en D5 et sa valeur en litres.
  3. Contrôler à la main la ligne 2.
  1. Le rayon est la moitié du diamètre : D2 contient =PI()*(B2/2)^2*C2.
  2. D2 ≈ 0,025 ; D3 ≈ 0,039 ; D4 ≈ 0,071. D5 : =SOMME(D2:D4) affiche environ 0,135 m³, soit environ 135 L.
  3. \(r = 0{,}10\) m ; \(\pi \times 0{,}10^2 \times 0{,}80 = 0{,}008\pi \approx 0{,}025\) m³ ✔