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Chapitre 14 – Exercices par capacités

Solides usuels, volumes et agrandissement  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître et nommer les solides usuels

Rappel de cours — Solides usuels
  • Cube : 6 faces carrées identiques, toutes les arêtes égales.
  • Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires, 3 dimensions différentes.
  • Cylindre droit : 2 bases circulaires parallèles et identiques, une surface latérale.
  • Pyramide : une base polygonale et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet (apex).
  • Cône : une base circulaire et un sommet pointu.
  • Boule (sphère) : tous les points de la surface sont à la même distance du centre.
Cube a a r h Cylindre
Représentations en perspective cavalière d'un cube (arête a) et d'un cylindre droit (rayon r, hauteur h).

Exercice 1

Associer chaque description à son nom de solide (cube, pavé droit, cylindre droit, pyramide à base carrée, cône, boule) :

  1. Solide avec 2 faces circulaires parallèles et une surface latérale.
  2. Solide avec 6 faces rectangulaires, longueur ≠ largeur ≠ hauteur.
  3. Solide avec une base polygonale et un sommet (apex) pointu.
  4. Solide parfaitement rond, tous les points de sa surface sont à égale distance du centre.
  1. Cylindre droit
  2. Pavé droit (ou parallélépipède rectangle)
  3. Pyramide (ou cône si la base est circulaire)
  4. Boule (ou sphère)

Exercice 2

Un menuisier fabrique différents objets. Identifier le solide le plus proche pour chaque objet :

  1. Un pot de colle cylindrique de diamètre 8 cm et hauteur 12 cm.
  2. Une caisse de rangement rectangulaire de 60 cm × 40 cm × 30 cm.
  3. La pointe d'un poinçon de toiture triangulaire à base carrée.
  1. Cylindre droit
  2. Pavé droit
  3. Pyramide à base carrée

C2 — Calculer le volume d'un solide usuel

Rappel de cours — Formules de volume
Solide Formule Paramètres
Cube \(V = a^3\) \(a\) = côté
Pavé droit \(V = L \times l \times h\) longueur × largeur × hauteur
Cylindre \(V = \pi r^2 h\) \(r\) = rayon, \(h\) = hauteur
Pyramide / Cône \(V = \dfrac{B \times h}{3}\) \(B\) = aire de la base, \(h\) = hauteur
Boule \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) \(r\) = rayon

Unités : si les dimensions sont en cm, le volume est en cm³. Si en m, le volume est en m³.

Exercice 3

Calculer le volume des solides suivants :

  1. Cube de côté 5 cm.
  2. Pavé droit de 8 cm × 4 cm × 3 cm.
  3. Cylindre de rayon 6 cm et hauteur 10 cm (prendre \(\pi \approx 3{,}14\)).
  1. \(V = 5^3 = \mathbf{125}\) cm³
  2. \(V = 8 \times 4 \times 3 = \mathbf{96}\) cm³
  3. \(V = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 36 \times 10 = \mathbf{1\,130{,}4}\) cm³

Exercice 4

Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté 6 m et de hauteur 4 m. Rappel : \(V = \frac{B \times h}{3}\) où \(B\) est l'aire de la base.

6 m h = 4 m S
Aire de la base carrée : \(B = 6^2 = 36\) m²
\(V = \frac{36 \times 4}{3} = \frac{144}{3} = \mathbf{48}\) m³

Exercice 5

Calculer le volume d'une boule de rayon 9 cm. Rappel : \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Prendre \(\pi \approx 3{,}14\).

r = 9
\(V = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 9^3 = \frac{4}{3} \times 3{,}14 \times 729 = \frac{4 \times 3{,}14 \times 729}{3} = \frac{9\,156{,}24}{3} \approx \mathbf{3\,052{,}1}\) cm³

Exercice 6

Un cône a une base circulaire de rayon 4 cm et une hauteur de 9 cm. Rappel : \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). Calculer son volume.

r = 4 h = 9
\(V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 4^2 \times 9 = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 16 \times 9 = \frac{3{,}14 \times 144}{3} = \frac{452{,}16}{3} \approx \mathbf{150{,}7}\) cm³

C3 — Convertir des unités de volume

Rappel de cours — Conversions d'unités de volume

Chaque fois qu'on passe à l'unité inférieure, on multiplie par 1 000 (et non 100, car le volume est en 3 dimensions).

m³ dm³ = L cm³ = mL mm³
1 1 000 1 000 000 1 000 000 000

Équivalences utiles : 1 dm³ = 1 litre ; 1 cm³ = 1 mL ; 1 m³ = 1 000 litres.

Exercice 7

Convertir :

  1. 3,5 m³ en dm³ (litres)
  2. 48 000 cm³ en litres, puis en m³
  3. 0,25 m³ en cm³
  4. 2 500 mm³ en cm³
  1. \(3{,}5 \text{ m}^3 = 3{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{3\,500}\) dm³ (litres)
  2. \(48\,000 \text{ cm}^3 \div 1\,000 = \mathbf{48}\) litres ; \(48 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}048}\) m³
  3. \(0{,}25 \text{ m}^3 = 0{,}25 \times 10^6 = \mathbf{250\,000}\) cm³
  4. \(2\,500 \text{ mm}^3 = 2\,500 \div 1\,000 = \mathbf{2{,}5}\) cm³

Rappel : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3\) ; \(1 \text{ dm}^3 = 1\) litre.

Exercice 8

Un réservoir de chauffage a une contenance de 0,8 m³. Combien de litres peut-il contenir ? Un technicien le remplit avec des bidons de 25 litres ; combien de bidons faut-il ?

\(0{,}8 \text{ m}^3 = 800\) litres
Nombre de bidons : \(800 \div 25 = \mathbf{32}\) bidons

Exercice 9

Un tube cylindrique de plomberie a un diamètre intérieur de 20 mm et une longueur de 5 m. Calculer le volume d'eau qu'il peut contenir, en cm³ puis en litres.

Rayon : \(r = 10\) mm \(= 1\) cm ; Longueur : \(500\) cm
\(V = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 1^2 \times 500 = \mathbf{1\,570}\) cm³
En litres : \(1\,570 \div 1\,000 = \mathbf{1{,}57}\) litre

C4 — Volume par décomposition

Rappel de cours — Décomposition en solides simples

Lorsqu'un solide est complexe, on le découpe en solides usuels (pavé, cylindre, pyramide…) et on additionne (ou soustrait) leurs volumes.

  1. Identifier les solides simples qui composent la figure.
  2. Calculer le volume de chaque solide séparément.
  3. Additionner les volumes (ou soustraire si on a évidé une partie).

Exemple : un bâtiment = murs (pavé droit) + toit (prisme triangulaire) → \(V_\text{total} = V_\text{pavé} + V_\text{prisme}\).

Exercice 10

Une pièce en bois a la forme d'un pavé droit de 20 cm × 10 cm × 8 cm, auquel on a ajouté un prisme demi-cylindrique de rayon 5 cm et de longueur 20 cm sur le dessus. Calculer le volume total.

Volume du pavé : \(20 \times 10 \times 8 = 1\,600\) cm³
Volume du demi-cylindre : \(\frac{\pi r^2 L}{2} = \frac{3{,}14 \times 25 \times 20}{2} = \frac{1\,570}{2} = 785\) cm³
Volume total : \(1\,600 + 785 = \mathbf{2\,385}\) cm³

Exercice 11

Un toit en forme de prisme triangulaire est posé sur des murs formant un pavé droit. Le bâtiment complet mesure : murs 8 m × 6 m × 3 m de hauteur, toit triangulaire d'une hauteur de 2 m pour la même empreinte. Calculer le volume total du bâtiment.

Volume des murs (pavé) : \(8 \times 6 \times 3 = 144\) m³
Volume du toit (prisme triangulaire = \(\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \times \text{longueur}\)) : \(\frac{6 \times 2}{2} \times 8 = 6 \times 8 = 48\) m³
Volume total : \(144 + 48 = \mathbf{192}\) m³

Exercice 12

On évide un cylindre de rayon 6 cm et de hauteur 12 cm en y perçant un trou cylindrique de rayon 2 cm sur toute la hauteur. Calculer le volume de matière restante.

h=12 R=6 r=2
Volume grand cylindre : \(\pi \times 6^2 \times 12 = 3{,}14 \times 36 \times 12 = 1\,356{,}48\) cm³
Volume du trou : \(\pi \times 2^2 \times 12 = 3{,}14 \times 4 \times 12 = 150{,}72\) cm³
Volume restant : \(1\,356{,}48 - 150{,}72 = \mathbf{1\,205{,}76}\) cm³

C5 — Problèmes de volume en contexte professionnel

Rappel de cours — Démarche pour les problèmes de volume
  1. Identifier le solide en jeu (cube, pavé, cylindre…).
  2. Relever les dimensions utiles et les convertir dans la même unité.
  3. Appliquer la formule de volume correspondante.
  4. Convertir l'unité du résultat si nécessaire (cm³ → L, m³ → L…).
  5. Répondre à la question posée (quantité, coût, nombre de contenants…).

Rappel : 1 m³ = 1 000 litres. Pour un problème de remplissage, arrondir à l'entier supérieur (on ne peut pas acheter un demi-bidon).

Exercice 13

Un menuisier fabrique des tasseaux de section carrée de côté 4 cm et de longueur 2 m. Il doit en fabriquer 50. Quel volume total de bois utilise-t-il ? Donner le résultat en dm³ (litres).

Volume d'un tasseau : \(4 \times 4 \times 200 = 3\,200\) cm³
Volume total : \(50 \times 3\,200 = 160\,000\) cm³
En litres : \(160\,000 \div 1\,000 = \mathbf{160}\) litres

Exercice 14

Un installateur thermique doit remplir une chaudière cylindrique de diamètre 80 cm et de hauteur 1,2 m avec du liquide caloporteur. Calculer le volume en litres. Le liquide est vendu en bidons de 20 litres à 35 €. Combien de bidons faut-il et quel est le coût ?

Rayon : \(r = 40\) cm \(= 0{,}4\) m ; Hauteur : \(h = 1{,}2\) m
\(V = \pi r^2 h = 3{,}14 \times 0{,}16 \times 1{,}2 = 0{,}60288\) m³ \(\approx 603\) litres
Nombre de bidons : \(\lceil 603 \div 20 \rceil = \lceil 30{,}15 \rceil = \mathbf{31}\) bidons
Coût : \(31 \times 35 = \mathbf{1\,085}\) €

Exercice 15

Un artisan coule des pieds de table en béton. Chaque pied est un cylindre de diamètre 12 cm et de hauteur 30 cm. Il doit en faire 6. Le béton coûte 0,05 € par cm³. Calculer le volume total et le coût.

Volume d'un pied : \(\pi r^2 h = 3{,}14 \times 6^2 \times 30 = 3{,}14 \times 36 \times 30 = 3\,391{,}2\) cm³
Volume total : \(6 \times 3\,391{,}2 = 20\,347{,}2\) cm³
Coût : \(20\,347{,}2 \times 0{,}05 = \mathbf{1\,017{,}36}\) €

C6 — Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires et volumes

À retenir

Si on multiplie toutes les dimensions d'une figure par un coefficient \(k\) :

  • Les longueurs sont multipliées par \(k\)
  • Les aires sont multipliées par \(k^2\)
  • Les volumes sont multipliés par \(k^3\)

Exemple : si on double les dimensions (\(k = 2\)) → l'aire est multipliée par 4, le volume par 8.

Exercice 16

Un cube a une arête de 3 cm. On construit un second cube dont l'arête est le triple (9 cm).

  1. Calculer le volume du petit cube et du grand cube.
  2. Par quel nombre le volume a-t-il été multiplié ?
  3. Vérifier que ce nombre est bien \(k^3\) avec \(k = 3\).
  1. Petit : \(3^3 = 27\) cm³. Grand : \(9^3 = 729\) cm³.
  2. \(\dfrac{729}{27} = \mathbf{27}\).
  3. \(k^3 = 3^3 = 27\) ✔ Le volume est bien multiplié par \(k^3\).

Exercice 17

Une maquette de meuble est réalisée à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\). Le meuble réel mesure 1 m × 0,5 m × 0,8 m.

  1. Quelles sont les dimensions de la maquette ?
  2. Quel est le rapport des aires entre la maquette et le meuble réel ?
  3. Quel est le rapport des volumes ?
  4. Si le meuble réel a un volume de 400 dm³, quel est le volume de la maquette en cm³ ?
  1. Dimensions : \(20 \times 10 \times 16\) cm (tout divisé par 5).
  2. Rapport des aires : \(k^2 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}\). L'aire de la maquette est 25 fois plus petite.
  3. Rapport des volumes : \(k^3 = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}\).
  4. \(V_{\text{maquette}} = \dfrac{400}{125} = 3{,}2\) dm³ \(= 3\,200\) cm³.

Exercice 18

Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. On réduit toutes ses dimensions de moitié (\(k = 0{,}5\)).

  1. Calculer l'aire latérale du cylindre original puis du réduit. Vérifier le rapport \(k^2\).
  2. Calculer le volume du cylindre original puis du réduit. Vérifier le rapport \(k^3\).
  1. Aire latérale = \(2\pi r h\).
    Original : \(2 \times 3{,}14 \times 4 \times 10 = 251{,}2\) cm².
    Réduit (\(r=2\), \(h=5\)) : \(2 \times 3{,}14 \times 2 \times 5 = 62{,}8\) cm².
    Rapport : \(\dfrac{62{,}8}{251{,}2} = 0{,}25 = 0{,}5^2 = k^2\) ✔
  2. Volume = \(\pi r^2 h\).
    Original : \(3{,}14 \times 16 \times 10 = 502{,}4\) cm³.
    Réduit : \(3{,}14 \times 4 \times 5 = 62{,}8\) cm³.
    Rapport : \(\dfrac{62{,}8}{502{,}4} = 0{,}125 = 0{,}5^3 = k^3\) ✔