3. (Situation professionnelle) Un réservoir cylindrique a un diamètre intérieur de 60 cm et une hauteur de 1,2 m.
Attention au diamètre : \(d = 60\) cm donc \(r = d \div 2 = \)…… cm
Attention à la hauteur : \(h = 1{,}2\) m = …… cm
\(V = \pi \times \)……\(^2 \times \)…… \(\approx \)…… cm³
En litres : …… cm³ ÷ 1 000 ≈ …… L
4. Un pavé droit mesure \(80\) cm \(\times\) \(60\) cm \(\times\) \(45\) cm.
\(V = L \times l \times h = 80 \times 60 \times 45 = \)…… cm³
En m³ : …… cm³ ÷ 1 000 000 = …… m³
En litres : …… m³ × 1 000 = …… L
2 pts par question. Donner les résultats arrondis au centième.
1. Calculer le volume d'un cylindre de rayon \(r = 4\) cm et de hauteur \(h = 15\) cm.
2. Calculer le volume d'un cône de rayon de base \(r = 5\) cm et de hauteur \(h = 12\) cm.
3. (Situation professionnelle) Un réservoir de forme cylindrique a un diamètre intérieur de 60 cm et une hauteur de 1,2 m. Calculer son volume en litres (\(1\) L \(= 1\) dm³ \(= 1000\) cm³).
4. Un pavé droit (cuve rectangulaire) mesure \(80\) cm \(\times\) \(60\) cm \(\times\) \(45\) cm. Calculer son volume en m³ puis en litres.
4. \(450\) dm³ \(= 450\) L. Durée \(= \dfrac{450}{18} = 25\) min.
Partie C – Agrandissement et réduction5 points
1. (2 pts) On agrandit un cylindre selon un rapport \(k = 1{,}5\). Le cylindre initial a \(r = 4\) cm et \(h = 10\) cm.
a) Calculer les nouvelles dimensions \(r'\) et \(h'\).
b) Par quel facteur le volume est-il multiplié ? Calculer les deux volumes pour vérifier.
2. (2 pts) On réduit un cube de côté \(a = 6\) cm selon un rapport \(k = \dfrac{1}{2}\).
a) Par quel facteur la surface (aire) du cube est-elle multipliée ?
b) Calculer le volume initial et le volume réduit. Quel est le rapport des volumes ?
3. (1 pt) Énoncer la règle générale : si on applique un rapport \(k\) à un solide, par quel facteur l'aire et le volume sont-ils respectivement multipliés ?
1a. \(r' = 4 \times 1{,}5 = 6\) cm ; \(h' = 10 \times 1{,}5 = 15\) cm.
3. Les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\), les volumes par \(k^3\).
Partie D – Problème professionnel3 points
Un technicien doit couler une dalle de béton pour les fondations d'une extension. La dalle est un pavé droit de \(5{,}5\) m de long, \(3{,}2\) m de large et \(0{,}15\) m d'épaisseur.
1. (1 pt) Calculer le volume de béton nécessaire en m³.
2. (1 pt) Le béton prêt à l'emploi est livré en camion-toupie de 6 m³. Combien de toupies sont nécessaires ?
3. (1 pt) Si les dimensions de la dalle sont réduites avec \(k = 0{,}8\) (dalle plus petite), quel sera le nouveau volume ? Utiliser la propriété d'agrandissement.
1. Un technicien en maintenance automobile dispose d'un réservoir cylindrique de diamètre 80 cm et de hauteur 1,5 m. Calculer son volume en m³ puis en litres. Combien de bidons de 20 L faut-il pour le remplir ?
2. Une pièce de bois est un prisme à base triangulaire. La base est un triangle rectangle de côtés 6 cm et 8 cm. La longueur du prisme est 45 cm. Calculer le volume de la pièce, puis déterminer sa masse si le bois a une densité de 0,7 g/cm³ (masse = volume × densité).
3. Un cube d'acier de côté 5 cm est fondu et refondu pour former une sphère (boule). En supposant que tout le métal est conservé, calculer le rayon de la sphère obtenue. (Formule : \(V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
1. \(r = 40\) cm \(= 0{,}40\) m, \(h = 1{,}5\) m.
\(V = \pi \times 0{,}4^2 \times 1{,}5 = 0{,}24\pi \approx 0{,}754\) m³ \(= 754\) L.
Bidons : \(\dfrac{754}{20} = 37{,}7\) → 38 bidons.
2. Aire de la base : \(A = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) cm².
Volume : \(V = 24 \times 45 = 1\,080\) cm³.
Masse : \(m = 1\,080 \times 0{,}7 = 756\) g.
Partie B – Agrandissement et réduction : analyse7 points
1. (3 pts) Un menuisier agenceur fabrique un modèle réduit d'une salle au 1/25.
La salle réelle mesure : longueur 15 m, largeur 9 m, hauteur 3,5 m.
a) Calculer les dimensions du modèle en cm.
b) Calculer la surface au sol du modèle (cm²) et la surface réelle (m²). Vérifier la cohérence avec le facteur k².
c) Un revêtement de sol coûte 65 €/m². Calculer le coût total pour la salle réelle.
2. (4 pts) Un cylindre A a pour dimensions r = 6 cm, h = 20 cm. On fabrique un cylindre B avec k = 1,5 et un cylindre C avec k = 0,5.
a) Calculer les volumes des trois cylindres.
b) Vérifier pour B et C que les volumes sont bien dans le rapport k³ par rapport à A.
c) Le cylindre A est rempli d'un liquide coûtant 2 €/L. Quel est le coût si on remplit le cylindre B ? Et le cylindre C ?
d) Pour quel facteur k le cylindre aurait-il exactement le double du volume du cylindre A ? Donner la valeur exacte de k.
(7 pts) Un technicien en agencement de menuiserie doit réaliser un projet d'exposition. Il dispose d'un espace rectangulaire de 8 m × 5 m × 2,5 m (longueur × largeur × hauteur).
Partie 1 (2 pts) – Volumes :
a) Calculer le volume de la salle.
b) On installe 4 colonnes cylindriques de décoration : rayon 15 cm, hauteur 2,5 m. Quel est le volume occupé par les 4 colonnes ?
Partie 2 (3 pts) – Modèle réduit au 1/50 :
c) Calculer les dimensions du modèle en cm.
d) La surface au sol du modèle est-elle \(\dfrac{1}{50^2} = \dfrac{1}{2\,500}\) de la surface réelle ? Vérifier par le calcul.
e) Calculer le volume du modèle en cm³.
Partie 3 (2 pts) – Coûts :
f) Le revêtement de sol coûte 72 €/m². Calculer le coût total.
g) Si on agrandit la salle avec un facteur k = 1,3 sur toutes les dimensions, par quel facteur le coût du revêtement sera-t-il multiplié ? Calculer le nouveau coût.