Activité 8 – Récupérateur d'eau de pluie : la cuve va-t-elle déborder ? ENVIRONNEMENT
Chapitre 14 – Solides usuels, volumes et agrandissement | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 20:10
Objectifs :
Calculer le volume d'un cylindre \(\left(V=\pi r^2 h\right)\)
Convertir un volume de m³ en litres
Comparer une capacité et un volume d'eau pour anticiper un débordement
Comprendre l'effet d'un agrandissement (\(\times k^3\)) sur le volume
Situation – arroser le jardin sans gaspiller l'eau du robinet
Pour économiser l'eau, Hugo installe contre le mur de la maison une cuve qui récupère l'eau de pluie tombée sur le toit. Il veut savoir si sa cuve sera assez grande pour stocker l'eau d'un gros orage, et combien de temps cette réserve lui permettra d'arroser le jardin.
💧 Données
La cuve est un cylindre de diamètre 0,8 m et de hauteur 1,0 m.
L'eau tombée sur le toit s'écoule dans la cuve. Surface de toit raccordée : 40 m².
Lors d'un orage, il tombe 15 mm de pluie (soit une hauteur d'eau de 0,015 m sur tout le toit).
Hugo arrose avec un arrosoir de 10 L.
On prend \(\pi \approx 3{,}14\). On rappelle : volume d'eau récupéré = surface du toit × hauteur de pluie.
Cuve cylindrique de récupération d'eau de pluie.
Problématique :
La cuve d'Hugo est-elle assez grande pour stocker l'eau d'un orage de 15 mm, et combien d'arrosoirs cette réserve représente-t-elle ?
Question 1 APP
Quelle est la forme géométrique de la cuve ? Donner la valeur du rayon \(r\) et de la hauteur \(h\), en mètres.
La cuve est un cylindre.
Le diamètre vaut 0,8 m, donc le rayon est \(r = 0{,}8 \div 2 = \mathbf{0{,}4\,\text{m}}\).
La hauteur est \(h = \mathbf{1{,}0\,\text{m}}\).
Question 2 REA
Calculer le volume de la cuve, en m³, arrondi au centième. (Formule : \(V = \pi r^2 h\), avec \(\pi \approx 3{,}14\).)
\(r^2 = 0{,}4^2 = 0{,}16\,\text{m}^2\).
\(V = \pi \times 0{,}16 \times 1{,}0 \approx 3{,}14 \times 0{,}16 \approx \mathbf{0{,}50\,\text{m}^3}\). (Valeur plus précise avec la touche π de la calculatrice : ≈ 0,5027 m³.)
Question 3 REA
Convertir cette capacité en litres. Rappel : \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}\).
\(0{,}50\,\text{m}^3 = 0{,}50 \times 1\,000 = \mathbf{500\,\text{L}}\) environ. (Avec la valeur précise : ≈ 503 L.) La cuve peut donc contenir environ 500 litres d'eau.
Question 4 REA
Calculer le volume d'eau récupéré sur le toit lors de l'orage, en m³ puis en litres. (Volume d'eau = surface du toit × hauteur de pluie.)
Comparer la capacité de la cuve et le volume d'eau récupéré. La cuve va-t-elle déborder ? Si oui, de combien de litres ?
Capacité de la cuve ≈ 500 L, eau récupérée = 600 L.
Comme \(600 > 500\), la cuve va déborder.
Excédent : \(600 - 500 = \mathbf{100\,\text{L}}\) (environ 97 L avec la valeur précise) s'écouleront et seront perdus.
Question 6 REA
Hugo arrose son jardin avec un arrosoir de 10 L. Combien d'arrosoirs pourra-t-il remplir avec une cuve pleine ?
Nombre d'arrosoirs : \(500 \div 10 = \mathbf{50\,\text{arrosoirs}}\).
Une cuve pleine permet donc d'arroser le jardin environ 50 fois sans utiliser l'eau du robinet.
Question 7 VAL
Pour ne plus déborder, Hugo envisage une cuve plus grande dont toutes les dimensions sont multipliées par \(k = 1{,}5\) (même forme cylindrique). Sans recalculer avec la formule du cylindre, déterminer la nouvelle capacité. Sera-t-elle suffisante pour les 600 L de l'orage ?
Quand toutes les longueurs sont multipliées par \(k = 1{,}5\), le volume est multiplié par \(k^3\).
\(k^3 = 1{,}5^3 = 1{,}5 \times 1{,}5 \times 1{,}5 = 3{,}375\).
Nouvelle capacité : \(500 \times 3{,}375 \approx \mathbf{1\,690\,\text{L}}\) (environ 1 700 L).
Comme \(1\,690 > 600\), cette cuve serait largement suffisante : elle ne déborderait pas pour un orage de 15 mm.
Question 8 COM
Rédiger en deux ou trois phrases la réponse à la problématique d'Hugo : sa cuve actuelle convient-elle, et quel intérêt présente la récupération d'eau de pluie ?
La cuve actuelle (≈ 500 L) n'est pas assez grande : pour un orage de 15 mm, elle déborde de 100 L environ. Une cuve agrandie par \(k = 1{,}5\) (≈ 1 700 L) suffirait largement. Malgré tout, même la petite cuve pleine permet de remplir 50 arrosoirs, ce qui évite d'utiliser l'eau potable du robinet pour le jardin : la récupération d'eau de pluie est une économie d'eau intéressante pour l'environnement.
🎯 Bonus — Quel diamètre pour 1 000 L ?
Hugo trouve une cuve cylindrique de hauteur 1,0 m et de capacité exactement 1 000 L (soit 1 m³). Quelle doit être l'aire de sa base, en m² ? (On ne demande pas le rayon, seulement l'aire de la base.)
On veut \(V = 1\,\text{m}^3\) avec \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\) et \(h = 1{,}0\,\text{m}\).
Donc \(\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{V}{h} = \dfrac{1}{1{,}0} = \mathbf{1\,\text{m}^2}\).
Une base d'aire 1 m² et une hauteur de 1 m donnent bien un volume de 1 m³ = 1 000 L. ✔
À retenir
Réponse à la problématique : la cuve actuelle (≈ 500 L) déborde pour un orage de 15 mm (600 L récupérés), mais une cuve pleine remplit déjà 50 arrosoirs de 10 L — la récupération d'eau de pluie économise donc beaucoup d'eau potable.
Volume d'un cylindre : \(V = \pi r^2 h\) — bien utiliser le rayon (= diamètre ÷ 2).