Chapitre 14 – Solides et volumes | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Sami, technicien d'agencement, doit présenter à un client une cuisine sur mesure. Pour faciliter la visualisation, il décide de fabriquer une maquette à l'échelle 1/10 de la cuisine.
📋 Cuisine réelle : 4 m × 3 m × 2,4 m (hauteur sous plafond)
📋 Échelle de la maquette : 1/10 (chaque longueur réelle est divisée par 10)
Pour un agrandissement (ou réduction) de rapport k :
Exemple : maquette 1/10 → longueurs ÷10, aires ÷100, volumes ÷1 000.
📚 Cette activité réinvestit les notions du chapitre 13 (échelles) et du cours §6 (effet d'un agrandissement sur volumes).
Calculer les dimensions de la maquette (échelle 1/10).
Chaque dimension est divisée par 10 :
La maquette tient sur une grande table (40 × 30 cm) avec 24 cm de hauteur.
Calculer le volume de la maquette et celui de la cuisine réelle. En déduire le rapport entre les deux.
V_maquette = 0,40 × 0,30 × 0,24 = 0,0288 m³ = 28,8 L.
V_réel = 4 × 3 × 2,4 = 28,8 m³.
Rapport : V_réel / V_maquette = 28,8 / 0,0288 = 1 000.
Échelle linéaire 1/10 → échelle volumique 1 / 10³ = 1/1 000. ✓
Calculer la surface des 4 murs de la cuisine réelle (sans les plafonds, ni les portes/fenêtres). Calculer la surface équivalente sur la maquette.
Surface des 4 murs (réel) = 2 × (4 × 2,4) + 2 × (3 × 2,4) = 19,2 + 14,4 = 33,6 m².
Sur la maquette : 2 × (0,40 × 0,24) + 2 × (0,30 × 0,24) = 0,192 + 0,144 = 0,336 m².
Rapport : 33,6 / 0,336 = 100. Échelle aire : 1 / 10² = 1/100. ✓
Sami a utilisé 10 mL de peinture pour peindre la maquette. Quelle quantité de peinture sera nécessaire pour la cuisine réelle ?
La quantité de peinture est proportionnelle à la SURFACE (pas au volume).
Échelle aire : 1/100 → quantité réelle = 10 × 100 = 1 000 mL = 1 L.
1 L de peinture pour les 4 murs + plafond. Cohérent avec la couvrance habituelle (~ 10 m²/L pour 1 couche).
Sami a aussi utilisé 12 g de carrelage miniature pour le sol de la maquette. Combien de carrelage faudra-t-il pour la cuisine réelle ?
Le carrelage couvre une surface (le sol) → échelle aire = 1/100.
Masse réelle : 12 × 100 = 1 200 g = 1,2 kg.
Cohérent avec la surface du sol : 4 × 3 = 12 m². À 100 g/m² (pour des carreaux fins), ça donne 1 200 g.
Si carrelage standard 25 kg/m² : 12 × 25 = 300 kg → la maquette ne représente pas la masse réelle (les matériaux ne sont pas du même type), juste les proportions.
Pourquoi les surfaces évoluent en k² et les volumes en k³ ? Démontrer pour un cube de côté c.
Soit un cube de côté c. Si on applique l'agrandissement k :
Cette règle se généralise à toute figure, pas seulement aux cubes : c'est une propriété fondamentale de la géométrie.
Conséquence pratique : un objet « 2 fois plus grand » prend 4 fois plus de surface et 8 fois plus de volume. Énorme effet.
Une fourmi (~1 cm) et un éléphant (~3 m) ont des rapports d'échelle k = 300. Pourquoi un éléphant ne peut-il pas grimper aux murs comme une fourmi ?
La force d'adhérence est proportionnelle à la surface de contact (k²).
Le poids est proportionnel au volume (k³) (la masse est proportionnelle au volume si même densité).
Rapport poids/adhérence : k³ / k² = k. Pour k = 300 : un éléphant a 300 fois plus de poids par cm² d'adhérence qu'une fourmi.
Conclusion : les petits êtres adhèrent mieux que les grands. C'est pourquoi les insectes peuvent grimper, pas les mammifères.
Cette « loi d'échelle » est cruciale en biologie, en bâtiment (pourquoi un grand bâtiment a besoin de fondations massives), en industrie...
Rédiger en 5 lignes une note pratique pour un agenceur sur l'utilité des maquettes et la règle k, k², k³.
Maquettes et règles d'échelle — Mémo agenceur
Les maquettes 1/10 ou 1/20 sont d'excellents outils de présentation client : visualisation rapide, ajustements faciles avant commande définitive. Elles permettent aussi d'estimer les matériaux en multipliant correctement.
Règle d'or pour passer de la maquette au réel :
Toujours vérifier le résultat par un calcul direct sur les dimensions réelles avant commande.
Sami compare 2 cubes de glace : un petit (1 cm de côté, masse 1 g) et un gros (5 cm de côté). Combien pèse le gros cube et en combien de temps fond-il (le temps de fonte est proportionnel au volume / aire) ?
k = 5/1 = 5. Volume × k³ = 125 → masse gros cube = 125 g.
Temps de fonte ∝ V / A = k³ / k² = k. Donc gros cube fond 5 fois plus longtemps que petit.
Si le petit fond en 10 minutes, le gros prend 50 minutes.
C'est pour ça que les gros glaçons dans un cocktail durent plus longtemps que des petits, et que les icebergs mettent des années à fondre dans l'océan.
Application : conservation des aliments congelés, dimensionnement de chambres froides, isolation thermique…