Chapitre 14 – Solides et volumes | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Léa, jeune apprentie en finition, achète un seau cylindrique pour préparer du vernis pour un grand chantier. L'étiquette du seau indique « contenance 15 L » et il a les dimensions suivantes :
🪣 Seau cylindrique en plastique
• Diamètre : 28 cm (rayon r = 14 cm = 0,14 m)
• Hauteur totale : 32 cm = 0,32 m
• Capacité indiquée par le fabricant : 15 L
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (volume du cylindre) et §5 (volume utile vs volume total).
Rappeler la formule du volume d'un cylindre, et identifier les valeurs r et h dans cette situation.
V = π × r² × h où r = rayon de la base et h = hauteur du cylindre.
Ici : r = 14 cm, h = 32 cm. Important : même unité pour r et h.
Calculer le volume géométrique du seau (en cm³ puis en L).
V = π × 14² × 32 = π × 196 × 32 = π × 6 272 ≈ 19 705 cm³.
Conversion : 1 L = 1 000 cm³.
V = 19 705 / 1 000 ≈ 19,7 L.
Le fabricant indique 15 L. Pourquoi cette différence avec les 19,7 L calculés géométriquement ?
Plusieurs raisons :
Vérification : avec 27 cm de hauteur utile (32 − 5) : V = π × 14² × 27 ≈ 16 626 cm³ = 16,6 L. Encore un peu au-dessus de 15 L → marge supplémentaire de 1,6 L pour les manipulations.
Convertir 19,7 L et 16,6 L en m³.
1 m³ = 1 000 L → 1 L = 0,001 m³.
19,7 L = 19,7 / 1 000 = 0,0197 m³.
16,6 L = 0,0166 m³.
Astuce : 1 L = 1 dm³, donc 1 000 L = 1 m³ (cube de 1 m d'arête).
Léa veut un seau plus petit (5 L de capacité utile) avec un rayon de 10 cm. Calculer la hauteur nécessaire (en supposant la même marge de sécurité de 5 cm sous le bord).
Volume utile cherché : 5 L = 5 000 cm³.
5 000 = π × 10² × h_utile → h_utile = 5 000 / (π × 100) = 5 000 / 314,16 ≈ 15,9 cm.
Hauteur totale = h_utile + marge = 15,9 + 5 = 20,9 cm ≈ 21 cm.
Donc un seau de Ø 20 cm × 21 cm est adapté pour 5 L utile.
Léa préfère un seau plus large mais moins haut (Ø 24 cm). Quelle hauteur pour 5 L utile ?
r = 12 cm. 5 000 = π × 144 × h → h_utile = 5 000 / (π × 144) ≈ 11 cm.
Hauteur totale ≈ 11 + 5 = 16 cm.
Comparaison :
Le seau large est plus stable (centre de gravité plus bas) mais prend plus de place au sol. À choisir selon l'usage.
Si Léa renverse 1 L de vernis sur le sol de l'atelier (environ 10 m²), quelle épaisseur moyenne fait la flaque (en supposant qu'elle s'étale uniformément) ?
Volume répandu : 1 L = 1 000 cm³ = 0,001 m³.
Surface : 10 m².
Épaisseur = volume / surface = 0,001 / 10 = 0,0001 m = 0,1 mm.
Très fine couche → en réalité le vernis (visqueux) ne s'étale pas si loin ; il forme une flaque locale (~ 1 m² × 1 mm).
Ce calcul donne quand même un ordre de grandeur utile pour estimer le « pouvoir couvrant » d'une peinture.
Rédiger un mémo pour expliquer la différence entre « volume géométrique » et « capacité utile » à un nouvel apprenti.
Volume géométrique vs capacité utile — Mémo
Le volume géométrique d'un récipient est la formule mathématique : pour un cylindre, V = π × r² × h. Pour un seau de Ø 28 cm × 32 cm, on calcule 19,7 L.
La capacité utile est ce qu'on peut réellement utiliser sans risque : seau pas rempli au ras-bord (5 cm de marge), ce qui donne 16-17 L pour notre exemple.
L'étiquette du fabricant indique la capacité utile arrondie à l'inférieur (15 L) → marge supplémentaire pour la sécurité.
Quand tu fais un calcul de matériaux liquides (peinture, eau, ciment), fie-toi à la capacité utile, pas au volume géométrique.
Une cuve de stockage cylindrique horizontale (couchée) de longueur 3 m et diamètre 1,2 m peut contenir combien de litres au maximum ?
r = 0,6 m, longueur = h = 3 m (que la cuve soit verticale ou horizontale, le volume géométrique est le même).
V = π × r² × h = π × 0,36 × 3 ≈ 3,39 m³ = 3 390 L.
Capacité réelle utile (avec 5 % de marge) : ~ 3 200 L.
Note : en cuve horizontale, calcul plus complexe pour mesurer un niveau partiel (ce n'est pas linéaire avec la hauteur). Les tableaux de jauge des camions citerne tiennent compte de cette non-linéarité.