Chapitre 14 – Solides et volumes | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Karim, gérant d'une menuiserie, doit fabriquer un caisson rectangulaire pour un dressing sur mesure dans la chambre du client. Voici les caractéristiques :
📋 Cahier des charges
• Forme : caisson rectangulaire (pavé droit)
• Dimensions extérieures : 2,00 m (hauteur) × 0,60 m (largeur) × 0,60 m (profondeur)
• Matériau : panneau aggloméré 18 mm
• Pour les 6 faces (haut, bas, 2 côtés, fond, façade)
• Tarif aggloméré : 600 €/m³
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (volume d'un pavé droit) et §2 (aire totale des 6 faces).
Calculer le volume extérieur du caisson (V_ext).
V_ext = L × l × h = 2 × 0,6 × 0,6 = 0,72 m³.
Conversion : 0,72 m³ × 1 000 = 720 litres.
Calculer l'aire totale des 6 faces du caisson (= surface de bois nécessaire si pas de joints).
Le caisson a 3 paires de faces opposées :
A_totale = 2,4 + 2,4 + 0,72 = 5,52 m².
Formule : A = 2 × (Ll + lh + Lh) = 2 × (1,2 + 0,36 + 1,2) = 2 × 2,76 = 5,52 m². ✓
Calculer le volume de bois nécessaire (en m³), sachant que l'épaisseur du panneau est de 18 mm. En déduire le coût du bois (600 €/m³).
Volume de bois ≈ aire totale × épaisseur = 5,52 × 0,018 = 0,0994 m³ ≈ 0,10 m³.
Coût bois : 0,10 × 600 = 60 €.
Note : ce calcul est approximatif car il compte les arêtes plusieurs fois (où 2 faces se rejoignent). En pratique, on majore de 5-10 % pour les chutes et coupes : 65-70 € budget bois.
Calculer les dimensions intérieures et le volume utile (intérieur) du caisson, en tenant compte de l'épaisseur du panneau (18 mm = 0,018 m sur chaque côté).
Chaque dimension intérieure = dimension extérieure − 2 × épaisseur (panneau de chaque côté).
Hauteur intérieure : 2,00 − 2 × 0,018 = 2,00 − 0,036 = 1,964 m.
Largeur intérieure : 0,60 − 0,036 = 0,564 m.
Profondeur intérieure : 0,60 − 0,036 = 0,564 m.
V_utile = 1,964 × 0,564 × 0,564 ≈ 0,625 m³.
Comparaison : 0,625 / 0,72 ≈ 87 %. Le volume utile est 13 % plus petit que le volume extérieur — perte due aux parois.
Si Karim utilisait du panneau de 25 mm (plus solide) au lieu de 18 mm, comment évoluerait le volume utile ?
Avec 25 mm : dimensions intérieures réduites de 2 × 0,025 = 0,05 m sur chaque dimension.
1,950 × 0,550 × 0,550 ≈ 0,590 m³ de volume utile.
Comparaison : 0,590 / 0,72 ≈ 82 % (vs 87 % pour 18 mm).
Plus l'épaisseur est forte, plus on perd de volume utile. Compromis classique : solidité vs capacité de rangement.
Pour un dressing classique, 18-19 mm suffit. Pour des plans de travail ou plateaux porteurs, 25-30 mm.
Le client demande de pouvoir ranger 30 boîtes à chaussures (25 × 15 × 10 cm chacune). Tient-il dans le caisson ?
Volume d'une boîte : 0,25 × 0,15 × 0,10 = 0,00375 m³ = 3,75 L.
Volume total des 30 boîtes : 30 × 3,75 = 112,5 L = 0,1125 m³.
Volume utile du caisson : 625 L. 625 / 112,5 ≈ 5,6 → on peut théoriquement y mettre 5 fois plus de boîtes.
Mais en pratique : l'espace n'est pas tout cubique. Avec des étagères + circulation, on peut y mettre ~ 50-80 boîtes selon l'organisation.
Conclusion : largement suffisant pour les 30 boîtes du client.
Karim ajoute 4 étagères horizontales à l'intérieur (chacune en panneau 18 mm). Calculer le volume de bois supplémentaire et le nouveau volume utile (réduit par les 4 étagères).
Une étagère : 0,564 × 0,564 × 0,018 = 0,00572 m³ ≈ 5,7 L.
4 étagères : 4 × 5,7 = 22,8 L de bois en plus = 0,023 m³.
Coût supplémentaire : 0,023 × 600 = 13,80 €.
Volume utile restant : 625 − 22,8 = 602 L (perte ~ 4 %).
Les étagères divisent l'espace en 5 zones de ~120 L chacune : plus pratique pour ranger même si un peu moins de volume total.
Présenter le récapitulatif chiffré de la fabrication du caisson au client.
Récapitulatif — Caisson de dressing
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Dimensions extérieures | 2,00 × 0,60 × 0,60 m |
| Volume extérieur | 0,72 m³ (720 L) |
| Volume utile (intérieur) | 0,625 m³ (625 L) |
| Surface de bois (6 faces + 4 étagères) | 5,52 + 1,27 = 6,79 m² |
| Volume de bois (panneau 18 mm) | ≈ 0,12 m³ |
| Coût matière première | ≈ 75 € (avec marge de 5 %) |
Avec main-d'œuvre et accessoires (charnières, poignées, vis), prix client estimé : 250-300 €. Délai : 5 jours. Garantie : 2 ans.
Karim envisage des caissons en série (10 unités identiques pour un client professionnel). Calculer le volume total de bois, le coût matière, et la marge si le tarif client est de 280 €/caisson (10 caissons).
Volume bois : 10 × 0,12 = 1,2 m³.
Coût matière : 1,2 × 600 = 720 € (avec remise quantité éventuelle, peut descendre à 650 €).
Tarif client : 10 × 280 = 2 800 €.
Marge brute : 2 800 − 720 = 2 080 €. À soustraire : 30 h main-d'œuvre × 25 €/h = 750 €. Marge nette : ~ 1 330 € sur le lot.
Marge nette/caisson : 133 € → ratio ~ 50 %. Bon contrat. Attention au cash-flow : commande matière + production avant paiement.