Activité 10 – Agrandissement d'un ballon d'eau chaude ÉNERGIE · SITUATION PRO
Chapitre 14 – Solides usuels, volumes et agrandissement | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 20:10
Objectifs :
Calculer le volume d'un cylindre avec la formule \(V = \pi r^2 h\)
Utiliser la règle de l'agrandissement : longueurs \(\times k\) → volume \(\times k^3\)
Comprendre que doubler toutes les dimensions d'un ballon multiplie sa capacité par 8, et non par 2
🤔 Avant de commencer
Un client veut un ballon d'eau chaude « deux fois plus grand » : on double la hauteur, on double le diamètre… toutes les dimensions. D'après toi, contiendra-t-il deux fois plus d'eau chaude ? Note ton intuition avant de calculer.
Beaucoup de personnes répondent « oui, deux fois plus ». En réalité, non : agrandir un objet dans les trois directions (hauteur, largeur, profondeur) fait grossir le volume beaucoup plus vite que les longueurs. Le calcul de cette activité va montrer de combien exactement — le résultat surprend souvent.
Situation – Yanis, installateur de chauffe-eau (Nantes)
Yanis installe des chauffe-eau chez des particuliers. Un client possède un petit ballon d'eau chaude cylindrique et se plaint d'en manquer le matin. Yanis lui propose un modèle « deux fois plus grand » : toutes les dimensions (rayon et hauteur) sont doublées. Le client demande : « Est-ce que j'aurai deux fois plus d'eau chaude ? » Yanis veut lui répondre par un calcul, pas au hasard.
Deux ballons cylindriques : le grand a toutes ses dimensions doublées (k = 2).
📖 Vocabulaire
Cylindre
Solide en forme de « boîte ronde », comme une boîte de conserve ou un ballon d'eau chaude : deux disques identiques (les bases) reliés par une surface courbe.
Volume
Quantité d'espace occupée par le ballon, c'est-à-dire la quantité d'eau qu'il peut contenir. Il se mesure en m³ ou en litres (L).
Agrandissement
Transformation qui multiplie toutes les longueurs d'un objet par un même nombre, en gardant exactement la même forme.
Coefficient k
Le nombre par lequel on multiplie toutes les longueurs. Ici on double tout, donc \(k = 2\).
🔥 Document — Données
Le petit ballon est un cylindre de rayon r = 0,20 m et de hauteur h = 0,50 m.
Volume d'un cylindre : \(V = \pi \times r^2 \times h\), avec \(\pi \approx 3{,}14\).
Le grand ballon a toutes ses dimensions doublées : coefficient d'agrandissement k = 2.
Conversion : 1 m³ = 1 000 L.
Problématique :
En doublant toutes les dimensions d'un ballon d'eau chaude, multiplie-t-on vraiment sa capacité en eau par 2 ?
Question 1 APP
Quelle est la forme géométrique du petit ballon ? Relever la valeur du rayon \(r\) et de la hauteur \(h\), en mètres.
Le petit ballon est un cylindre.
Rayon : \(r = \mathbf{0{,}20\,\text{m}}\) | hauteur : \(h = \mathbf{0{,}50\,\text{m}}\).
Question 2 REA
Calculer le volume du petit ballon, en m³. (Formule : \(V = \pi r^2 h\), avec \(\pi \approx 3{,}14\).) Détailler le calcul.
On calcule d'abord le carré du rayon : \(r^2 = 0{,}20^2 = 0{,}20 \times 0{,}20 = 0{,}04\,\text{m}^2\).
Puis : \(V = \pi \times r^2 \times h \approx 3{,}14 \times 0{,}04 \times 0{,}50\).
\(3{,}14 \times 0{,}04 = 0{,}1256\) puis \(0{,}1256 \times 0{,}50 = 0{,}0628\).
Donc \(V_{\text{petit}} \approx \mathbf{0{,}0628\,\text{m}^3}\).
Question 3 REA
Convertir cette capacité en litres. Rappel : \(1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}\). Arrondir au litre.
\(0{,}0628\,\text{m}^3 = 0{,}0628 \times 1\,000 = 62{,}8\,\text{L} \approx \mathbf{63\,\text{L}}\).
Le petit ballon contient donc environ 63 litres d'eau chaude.
Question 4 APP
Le grand ballon a toutes ses dimensions doublées. Donner le coefficient d'agrandissement \(k\), puis calculer le rayon et la hauteur du grand ballon.
On double toutes les longueurs, donc \(k = \mathbf{2}\).
Nouveau rayon : \(0{,}20 \times 2 = \mathbf{0{,}40\,\text{m}}\).
Nouvelle hauteur : \(0{,}50 \times 2 = \mathbf{1{,}00\,\text{m}}\).
Question 5 REA
On rappelle la règle de l'agrandissement : quand on multiplie toutes les longueurs par \(k\), le volume est multiplié par \(k^3\). En déduire le volume du grand ballon à partir de celui du petit, sans utiliser la formule du cylindre. Donner le résultat en m³ puis en litres.
Coefficient sur le volume : \(k^3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{8}\).
\(V_{\text{grand}} = V_{\text{petit}} \times k^3 = 0{,}0628 \times 8 = 0{,}5024 \approx \mathbf{0{,}502\,\text{m}^3}\).
En litres : \(0{,}502\,\text{m}^3 = 0{,}502 \times 1\,000 = \mathbf{502\,\text{L}}\).
Le grand ballon contient donc environ 502 litres.
Question 6 VAL
Vérifier ce résultat en recalculant directement le volume du grand ballon avec la formule \(V = \pi r^2 h\) (\(r = 0{,}40\,\text{m}\), \(h = 1{,}00\,\text{m}\)). Les deux méthodes donnent-elles le même résultat ?
\(r^2 = 0{,}40^2 = 0{,}16\,\text{m}^2\).
\(V = 3{,}14 \times 0{,}16 \times 1{,}00 = 0{,}5024 \approx \mathbf{0{,}502\,\text{m}^3}\) (soit 502 L).
On retrouve exactement la même valeur que par la règle \(\times k^3\). Les deux méthodes concordent : la règle de l'agrandissement est vérifiée. ✔
Question 7 ANA
Comparer la capacité du grand ballon à celle du petit : par combien la capacité a-t-elle été multipliée ? Le client aura-t-il « deux fois plus » d'eau chaude ?
On compare les deux capacités : \(502 \div 63 \approx 8\) (c'est bien \(k^3 = 8\)).
La capacité a donc été multipliée par 8, pas par 2.
Le client aura 8 fois plus d'eau chaude, et non « deux fois plus » comme il le pensait. Son intuition « deux fois plus grand = deux fois plus d'eau » est fausse.
Question 8 COM
Rédiger en deux ou trois phrases la réponse que Yanis peut donner à son client : en doublant les dimensions, la capacité est-elle doublée, et de combien augmente-t-elle réellement ?
En doublant toutes les dimensions du ballon (\(k = 2\)), on ne double pas la capacité : le volume est multiplié par \(k^3 = 8\). Le petit ballon contient environ 63 L, le grand en contient environ 502 L, soit 8 fois plus. Le client aura donc largement plus d'eau chaude que « deux fois plus » : il faut en tenir compte pour ne pas surdimensionner (ni surpayer) son installation, ni gaspiller l'énergie à chauffer un volume d'eau inutilement grand.
✅ Auto-évaluation
🎯 Bonus — Et si on triplait tout ?
Yanis imagine un ballon dont toutes les dimensions du petit seraient triplées (\(k = 3\)). Sans utiliser la formule du cylindre, donner sa capacité, en litres.
Coefficient sur le volume : \(k^3 = 3^3 = 27\).
\(V = 0{,}0628 \times 27 = 1{,}6956\,\text{m}^3 \approx \mathbf{1\,696\,\text{L}}\) (environ 1 700 L).
Un ballon « trois fois plus grand » contient 27 fois plus d'eau chaude ! C'est pourquoi les très gros ballons sont réservés aux immeubles ou aux usages collectifs.
À retenir
Réponse à la problématique : Non — en doublant toutes les dimensions (\(k = 2\)), la capacité n'est pas multipliée par 2, mais par \(k^3 = 8\) (le ballon passe d'environ 63 L à environ 502 L).
Volume d'un cylindre : \(V = \pi r^2 h\) (bien utiliser le rayon, pas le diamètre).
Agrandissement : \(\times k\) pour les longueurs → \(\times k^2\) pour les aires → \(\times k^3\) pour les volumes.
Ici \(k = 2\) → \(k^3 = 8\) : doubler toutes les dimensions multiplie la capacité par 8, pas par 2.
Ordres de grandeur : petit ballon ≈ 63 L, grand ballon (×2) ≈ 502 L.