Chapitre 13 | Seconde Bac Pro MAMA | Mathématiques
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Vocabulaire – Configuration de Thalès
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC]. Quelle condition faut-il vérifier pour appliquer le théorème de Thalès ?
Vocabulaire – Égalité des rapports
Si DE ∥ BC dans un triangle ABC (D sur [AB], E sur [AC]), le théorème de Thalès donne :
Calcul – Rapport simple
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 3 cm et AB = 6 cm. Le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\) vaut :
Calcul – Longueur inconnue DE
DE ∥ BC, AD = 4, AB = 8, BC = 10. Calculer DE.
Calcul – Longueur inconnue AE
DE ∥ BC, AD = 3, AB = 9, AC = 12. Calculer AE.
Méthode – Produit en croix
Pour résoudre \(\dfrac{4}{AB} = \dfrac{6}{15}\), on utilise le produit en croix. On obtient :
Vocabulaire – Parallélisme
Que signifie « DE ∥ BC » ?
Calcul – Rapport d'échelle
Sur un plan au 1/50, une cloison mesure 6 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Agrandissement/réduction – Coefficient
Si \(k = 0{,}4\), il s'agit :
Calcul – Réduction
Un meuble mesure 200 cm de long. On le dessine avec un rapport \(k = \dfrac{1}{10}\). La longueur sur le dessin est :
Calcul – Longueur inconnue AB
DE ∥ BC, AD = 6, AE = 9, AC = 15. Calculer AB.
Attention – Ordre des points
Dans le théorème de Thalès, les segments au numérateur doivent :
Contexte professionnel – Ombre
Un piquet de 1 m projette une ombre de 0,8 m. Un arbre projette une ombre de 4 m. La hauteur de l'arbre est :
Réciproque – Vérifier le parallélisme
AD = 4, AB = 8, AE = 5, AC = 10. Les rapports AD/AB et AE/AC valent :
Calcul – Dimension sur un plan
Un artisan menuisier dessine un plan au 1/20. Le meuble réel fait 160 cm de large. Sur le plan, la largeur est :
Configuration – Identifier les données
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC] avec DE ∥ BC. On sait que AD = 5, DB = 3 et AE = 7,5. Quel rapport faut-il écrire pour trouver EC ?
Calcul – Longueur EC (suite Q1)
Avec AD = 5, DB = 3 (donc AB = 8), AE = 7,5, calculer AC puis EC.
Calcul – Longueur DE
DE ∥ BC, AD = 6, AB = 10, BC = 15. Calculer DE.
Réciproque – Droites parallèles
AD = 6, AB = 18, AE = 4, AC = 12. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
Réciproque – Droites non parallèles
AD = 3, AB = 9, AE = 5, AC = 12. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
Contexte professionnel – Lecture de plan
Un menuisier agenceur consulte un plan au 1/50. Un mur mesure 7,6 cm sur le plan. Quelle est la longueur réelle du mur ?
Agrandissement/réduction – Coefficient k
Une figure a un coefficient \(k = 2{,}5\). Un segment de 4 cm dans l'original mesure dans l'image :
Contexte professionnel – Ombre et hauteur
Un panneau vertical de 2 m projette une ombre de 1,5 m. Un poteau projette une ombre de 3,6 m. La hauteur du poteau est :
Calcul – Trouver AB
DE ∥ BC, DE = 6, BC = 10, AD = 9. Calculer AB.
Contexte professionnel – Plan de cuisine
Un poseur de cuisines dessine un plan au 1/25. La cuisine réelle fait 3,50 m de long. Sur le plan, elle mesure :
Méthode – Étapes de résolution
Pour calculer une longueur inconnue avec Thalès, la bonne méthode est :
Calcul – Rapport et longueur BC
DE ∥ BC, AD = 4, AB = 12, DE = 5. Calculer BC.
Agrandissement – Coefficient k > 1
On agrandit une maquette d'un facteur \(k = 3\). Si un segment mesure 5 cm sur la maquette, il mesure en réalité :
Erreur fréquente – Ordre des segments
Un élève écrit \(\dfrac{DA}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\). L'erreur est :
Contexte professionnel – Panneau de bois
Un fabricant de meubles réduit un patron de découpe avec un rapport \(k = 0{,}8\). Si le panneau original fait 125 cm de large, la largeur réduite est :
Calcul – Configuration complexe
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 7, DB = 3, AE = 10,5. Calculer EC.
Réciproque – Justification complète
AD = 8, AB = 20, AE = 6, AC = 15. Quelle conclusion peut-on tirer ?
Calcul inversé – Trouver AD
DE ∥ BC, DE = 4,2, BC = 14, AB = 20. Calculer AD.
Contexte professionnel – Hauteur inaccessible
Un installateur d'agencement veut mesurer la hauteur d'un bâtiment. Il plante un jalon de 1,50 m qui projette une ombre de 2 m. L'ombre du bâtiment mesure 12 m. La hauteur du bâtiment est :
Échelle – Calcul à rebours
Sur un plan, une pièce mesure 9 cm et la dimension réelle est 4,50 m. L'échelle du plan est :
Double application – Deux inconnues
DE ∥ BC, AD = 5, AB = 15, BC = 12, AC = 18. Calculer DE et AE.
Contexte professionnel – Découpe en atelier
Un menuisier doit découper un gabarit triangulaire. Le grand triangle a une base BC = 90 cm. Il trace une parallèle à BC à mi-hauteur (rapport \(k = 0{,}5\)). La longueur de cette parallèle est :
Raisonnement – Contre-exemple
AD = 4, AB = 10, AE = 6, AC = 16. Peut-on conclure que (DE) ∥ (BC) ?
Contexte professionnel – Maquette d'agencement
Un technicien d'agencement réalise une maquette à l'échelle 1/15. La pièce réelle mesure 6 m × 4,5 m. Les dimensions de la maquette sont :
Raisonnement – Lien Thalès et proportionnalité
Le théorème de Thalès est un cas particulier de :
Calcul – Valeurs décimales
DE ∥ BC, AD = 3,5, AB = 8,75, BC = 12,5. Calculer DE.
Contexte professionnel – Charpente
Sur une ferme de charpente triangulaire, la base BC = 8 m. Un entrait retroussé DE est parallèle à BC et situé aux 3/4 de la hauteur depuis le sommet A. La longueur de l'entrait DE est :
Problème ouvert – Double triangle
Deux droites parallèles coupent les côtés d'un triangle ABC en D, E et en F, G (D et F sur [AB], E et G sur [AC], avec A–D–F–B). On sait AD = 2, DF = 3, FB = 5, AE = 3. Calculer AC.
Échelle – Passage entre deux plans
Un plan A est au 1/50 et un plan B au 1/20. Sur le plan A, un mur mesure 5 cm. Sur le plan B, ce même mur mesure :
Problème type BTS – Optimisation
Un architecte d'intérieur conçoit un escalier dans un triangle rectangle (base 4 m, hauteur 3 m). Chaque marche est une parallèle à la base. Il veut 10 marches de profondeur égale. La largeur de la 7e marche (en partant du haut) est :