Théorème de Thalès dans le triangle — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Compléter la phrase :
a) Le théorème de Thalès s'applique quand deux droites sont ............
b) Les trois ........... sont alors égaux.
c) Pour trouver une longueur inconnue, on utilise le ........... en croix.
a) parallèles
b) Les trois rapports sont alors égaux.
c) On utilise le produit en croix.
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC], avec DE ∥ BC.
On donne : AD = 4 cm, AB = 10 cm et BC = 15 cm.
a) Écrire l'égalité de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
b) Remplacer : \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{DE}{\ldots}\)
c) Produit en croix : \(DE = \dfrac{4 \times \ldots}{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
b) \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{DE}{15}\)
c) \(DE = \dfrac{4 \times 15}{10} = \dfrac{60}{10} = \mathbf{6\,\text{cm}}\)
Sur un plan à l'échelle 1/50, une cloison mesure 6 cm.
a) Longueur réelle : \(6 \times 50 = \ldots\) cm
b) Convertir en mètres.
a) \(6 \times 50 = \mathbf{300\,\text{cm}}\)
b) \(300\,\text{cm} = \mathbf{3\,\text{m}}\)
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC. On donne AD = 3 cm, AB = 9 cm et AC = 12 cm.
Calculer AE.
a) Écrire l'égalité : \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{AE}{\ldots}\)
b) \(AE = \dfrac{3 \times \ldots}{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{AE}{12}\)
b) \(AE = \dfrac{3 \times 12}{9} = \dfrac{36}{9} = \mathbf{4\,\text{cm}}\)
Dans un triangle ABC, on a AD = 6, AB = 12, AE = 5, AC = 10.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{12} = \ldots\)
b) Calculer le rapport \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{10} = \ldots\)
c) Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
a) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{12} = 0{,}5\)
b) \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
c) Les deux rapports sont égaux (0,5 = 0,5). D'après la réciproque du théorème de Thalès, (DE) ∥ (BC).
Compléter la phrase :
a) Le théorème de Thalès permet de calculer une ............ inconnue dans un triangle.
b) Il faut que deux droites soient ............
c) On résout l'égalité des rapports en utilisant le ........... en croix.
a) une longueur inconnue
b) deux droites soient parallèles
c) le produit en croix
Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N est sur [AC], avec MN ∥ BC.
On donne : AM = 6 cm, AB = 15 cm et BC = 20 cm.
a) Écrire l'égalité de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\)
b) Remplacer : \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{MN}{\ldots}\)
c) Produit en croix : \(MN = \dfrac{6 \times \ldots}{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\)
b) \(\dfrac{6}{15} = \dfrac{MN}{20}\)
c) \(MN = \dfrac{6 \times 20}{15} = \dfrac{120}{15} = \mathbf{8\,\text{cm}}\)
Sur un plan à l'échelle 1/25, une étagère mesure 8 cm.
a) Longueur réelle : \(8 \times 25 = \ldots\) cm
b) Convertir en mètres.
a) \(8 \times 25 = \mathbf{200\,\text{cm}}\)
b) \(200\,\text{cm} = \mathbf{2\,\text{m}}\)
Dans un triangle ABC, MN ∥ BC. On donne AM = 5 cm, AB = 15 cm et AC = 18 cm.
Calculer AN.
a) Écrire l'égalité : \(\dfrac{5}{15} = \dfrac{AN}{\ldots}\)
b) \(AN = \dfrac{5 \times \ldots}{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(\dfrac{5}{15} = \dfrac{AN}{18}\)
b) \(AN = \dfrac{5 \times 18}{15} = \dfrac{90}{15} = \mathbf{6\,\text{cm}}\)
Dans un triangle ABC, on a AM = 4, AB = 12, AN = 3, AC = 9.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \ldots\)
b) Calculer le rapport \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{9} = \ldots\)
c) Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
a) \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
b) \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
c) Les deux rapports sont égaux (\(\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)). D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) ∥ (BC).
Barème : 20 points
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC], avec DE ∥ BC.
On donne : AD = 6 cm, DB = 4 cm et BC = 15 cm.
a) Calculer AB.
b) En déduire DE.
a) \(AB = AD + DB = 6 + 4 = \mathbf{10\,\text{cm}}\)
b) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{DE}{15}\).
\(DE = \dfrac{6 \times 15}{10} = \dfrac{90}{10} = \mathbf{9\,\text{cm}}\)
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC. On donne AD = 5 cm, AE = 7,5 cm et AC = 18 cm.
Calculer AB.
Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), soit \(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{7{,}5}{18}\).
Produit en croix : \(7{,}5 \times AB = 5 \times 18 = 90\).
\(AB = \dfrac{90}{7{,}5} = \mathbf{12\,\text{cm}}\)
Un poteau vertical de 3 m projette une ombre de 2 m. Au même instant, un arbre voisin projette une ombre de 7 m.
a) Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès.
b) Calculer la hauteur de l'arbre.
a) Les rayons du soleil sont parallèles. Le poteau et l'arbre sont verticaux (perpendiculaires au sol). On obtient deux triangles rectangles avec des côtés parallèles : c'est une configuration de Thalès.
b) \(\dfrac{h_{\text{poteau}}}{\text{ombre poteau}} = \dfrac{h_{\text{arbre}}}{\text{ombre arbre}}\), soit \(\dfrac{3}{2} = \dfrac{h}{7}\).
\(h = \dfrac{3 \times 7}{2} = \dfrac{21}{2} = \mathbf{10{,}5\,\text{m}}\)
Un menuisier agenceur dessine un meuble sur un plan à l'échelle 1/20. Sur le plan, le meuble mesure 8 cm de long, 3 cm de large et 5 cm de haut.
a) Calculer les dimensions réelles du meuble (en cm, puis en m).
b) Quelle est la longueur de la diagonale de la face avant sur le plan ?
a) Rapport \(k = 20\).
Longueur : \(8 \times 20 = 160\,\text{cm} = \mathbf{1{,}60\,\text{m}}\)
Largeur : \(3 \times 20 = 60\,\text{cm} = \mathbf{0{,}60\,\text{m}}\)
Hauteur : \(5 \times 20 = 100\,\text{cm} = \mathbf{1{,}00\,\text{m}}\)
b) Face avant sur le plan : 8 cm × 5 cm. Diagonale (Pythagore) : \(d = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx \mathbf{9{,}43\,\text{cm}}\)
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC]. On donne AD = 4, AB = 10, AE = 6, AC = 14.
Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\)
\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{14} \approx 0{,}4286\)
\(0{,}4 \neq 0{,}4286\) : les rapports ne sont pas égaux. Les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
Dans un triangle RST, M est sur [RS] et N est sur [RT], avec MN ∥ ST.
On donne : RM = 8 cm, MS = 2 cm et ST = 20 cm.
a) Calculer RS.
b) En déduire MN.
a) \(RS = RM + MS = 8 + 2 = \mathbf{10\,\text{cm}}\)
b) Thalès : \(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{MN}{ST}\), soit \(\dfrac{8}{10} = \dfrac{MN}{20}\).
\(MN = \dfrac{8 \times 20}{10} = \dfrac{160}{10} = \mathbf{16\,\text{cm}}\)
Dans un triangle RST, MN ∥ ST. On donne RM = 4 cm, RN = 6 cm et RT = 21 cm.
Calculer RS.
Thalès : \(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{RN}{RT}\), soit \(\dfrac{4}{RS} = \dfrac{6}{21}\).
Produit en croix : \(6 \times RS = 4 \times 21 = 84\).
\(RS = \dfrac{84}{6} = \mathbf{14\,\text{cm}}\)
Un piquet vertical de 2 m projette une ombre de 1,5 m. Au même instant, un lampadaire voisin projette une ombre de 6 m.
a) Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès.
b) Calculer la hauteur du lampadaire.
a) Les rayons du soleil sont parallèles. Le piquet et le lampadaire sont verticaux (perpendiculaires au sol). On obtient deux triangles rectangles avec des côtés parallèles : c'est une configuration de Thalès.
b) \(\dfrac{h_{\text{piquet}}}{\text{ombre piquet}} = \dfrac{h_{\text{lampadaire}}}{\text{ombre lampadaire}}\), soit \(\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\).
\(h = \dfrac{2 \times 6}{1{,}5} = \dfrac{12}{1{,}5} = \mathbf{8\,\text{m}}\)
Un ébéniste dessine une bibliothèque sur un plan à l'échelle 1/10. Sur le plan, la bibliothèque mesure 12 cm de long, 4 cm de large et 18 cm de haut.
a) Calculer les dimensions réelles de la bibliothèque (en cm, puis en m).
b) Quelle est la longueur de la diagonale de la face avant sur le plan ?
a) Rapport \(k = 10\).
Longueur : \(12 \times 10 = 120\,\text{cm} = \mathbf{1{,}20\,\text{m}}\)
Largeur : \(4 \times 10 = 40\,\text{cm} = \mathbf{0{,}40\,\text{m}}\)
Hauteur : \(18 \times 10 = 180\,\text{cm} = \mathbf{1{,}80\,\text{m}}\)
b) Face avant sur le plan : 12 cm × 18 cm. Diagonale (Pythagore) : \(d = \sqrt{12^2 + 18^2} = \sqrt{144 + 324} = \sqrt{468} \approx \mathbf{21{,}63\,\text{cm}}\)
Dans un triangle RST, M est sur [RS] et N est sur [RT]. On donne RM = 3, RS = 9, RN = 5, RT = 12.
Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.
\(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
\(\dfrac{RN}{RT} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\)
\(0{,}333 \neq 0{,}417\) : les rapports ne sont pas égaux. Les droites (MN) et (ST) ne sont pas parallèles.
Barème : 20 points
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC. On donne AD = \(x\), DB = 3, AE = 6 et EC = 9.
a) Exprimer AB en fonction de \(x\).
b) Exprimer AC en fonction de AE et EC.
c) En utilisant le théorème de Thalès, trouver la valeur de \(x\).
a) \(AB = AD + DB = x + 3\)
b) \(AC = AE + EC = 6 + 9 = 15\)
c) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), soit \(\dfrac{x}{x+3} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\).
Produit en croix : \(5x = 2(x + 3) = 2x + 6\), donc \(3x = 6\), soit \(x = \mathbf{2}\).
Vérification : \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{6}{15} = 0{,}4\) ✔
Un architecte d'intérieur réalise un plan à l'échelle 1/25. Sur le plan, une cuisine en L se compose de deux segments perpendiculaires : un côté de 12 cm et un côté de 8,4 cm.
a) Calculer les dimensions réelles de la cuisine.
b) La diagonale de la cuisine sur le plan mesure 14,65 cm. Vérifier ce résultat par le calcul (Pythagore).
c) Quelle est la longueur réelle de cette diagonale ?
a) Longueur réelle : \(12 \times 25 = 300\,\text{cm} = \mathbf{3\,\text{m}}\).
Largeur réelle : \(8{,}4 \times 25 = 210\,\text{cm} = \mathbf{2{,}10\,\text{m}}\).
b) Diagonale sur le plan : \(d = \sqrt{12^2 + 8{,}4^2} = \sqrt{144 + 70{,}56} = \sqrt{214{,}56} \approx 14{,}65\,\text{cm}\) ✔
c) Diagonale réelle : \(14{,}65 \times 25 = 366{,}25\,\text{cm} \approx \mathbf{3{,}66\,\text{m}}\)
Dans un triangle ABC, la droite (DE) est parallèle à (BC) avec D sur [AB] et E sur [AC]. Le rapport de réduction est \(k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{3}\).
a) Si BC = 18 cm, calculer DE.
b) Si l'aire du triangle ABC est 162 cm², quelle est l'aire du triangle ADE ?
a) \(DE = k \times BC = \dfrac{2}{3} \times 18 = \mathbf{12\,\text{cm}}\)
b) Les aires sont dans le rapport \(k^2\) : \(\mathcal{A}_{ADE} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \times 162 = \dfrac{4}{9} \times 162 = \mathbf{72\,\text{cm}^2}\)
Un métreur relève les dimensions d'une pièce trapézoïdale. Les deux murs parallèles mesurent 5 m et 3,5 m. La distance entre eux est de 4 m. Il doit dessiner cette pièce à l'échelle 1/100.
a) Quelles seront les dimensions sur le plan ?
b) Sur le plan, il trace une droite parallèle au grand mur à 1,6 cm du petit mur. À quelle distance réelle du petit mur se situe cette droite ?
c) En utilisant Thalès, calculer la longueur de cette droite (entre les deux murs obliques).
a) Grand mur : \(5 \times 100 = 500\,\text{cm}\), sur le plan : \(\dfrac{500}{100} = 5\,\text{cm}\).
Petit mur : \(3{,}5\,\text{cm}\). Distance : \(4\,\text{cm}\).
b) Distance réelle : \(1{,}6 \times 100 = 160\,\text{cm} = \mathbf{1{,}60\,\text{m}}\)
c) La droite parallèle est à 1,6 m du petit mur (3,5 m), donc à 2,4 m du grand mur (5 m). Par Thalès, à la distance \(d = 1{,}6\) m du petit mur sur une hauteur totale de 4 m :
\(\text{longueur} = 3{,}5 + \dfrac{1{,}6}{4} \times (5 - 3{,}5) = 3{,}5 + 0{,}4 \times 1{,}5 = 3{,}5 + 0{,}6 = \mathbf{4{,}1\,\text{m}}\)
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC]. On donne AD = 8, AB = 20, AE = 12, AC = 30, DE = 10 et BC = 25.
a) Vérifier que les trois rapports \(\dfrac{AD}{AB}\), \(\dfrac{AE}{AC}\) et \(\dfrac{DE}{BC}\) sont égaux.
b) En déduire que (DE) ∥ (BC).
c) Quel est le rapport de réduction du triangle ADE par rapport au triangle ABC ?
a) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{20} = 0{,}4\) | \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4\) | \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{10}{25} = 0{,}4\)
Les trois rapports sont tous égaux à 0,4.
b) D'après la réciproque du théorème de Thalès, comme \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), on en déduit que (DE) ∥ (BC).
c) Le rapport de réduction est \(k = \mathbf{0{,}4} = \dfrac{2}{5}\).
Dans un triangle RST, MN ∥ ST. On donne RM = \(x\), MS = 5, RN = 4 et NT = 10.
a) Exprimer RS en fonction de \(x\).
b) Exprimer RT en fonction de RN et NT.
c) En utilisant le théorème de Thalès, trouver la valeur de \(x\).
a) \(RS = RM + MS = x + 5\)
b) \(RT = RN + NT = 4 + 10 = 14\)
c) Thalès : \(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{RN}{RT}\), soit \(\dfrac{x}{x+5} = \dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{7}\).
Produit en croix : \(7x = 2(x + 5) = 2x + 10\), donc \(5x = 10\), soit \(x = \mathbf{2}\).
Vérification : \(\dfrac{2}{7} \approx 0{,}286\) et \(\dfrac{4}{14} \approx 0{,}286\) ✔
Un conducteur de travaux réalise un plan à l'échelle 1/40. Sur le plan, une pièce rectangulaire mesure 10 cm de long et 7,5 cm de large.
a) Calculer les dimensions réelles de la pièce.
b) La diagonale de la pièce sur le plan mesure 12,5 cm. Vérifier ce résultat par le calcul (Pythagore).
c) Quelle est la longueur réelle de cette diagonale ?
a) Longueur réelle : \(10 \times 40 = 400\,\text{cm} = \mathbf{4\,\text{m}}\).
Largeur réelle : \(7{,}5 \times 40 = 300\,\text{cm} = \mathbf{3\,\text{m}}\).
b) Diagonale sur le plan : \(d = \sqrt{10^2 + 7{,}5^2} = \sqrt{100 + 56{,}25} = \sqrt{156{,}25} = 12{,}5\,\text{cm}\) ✔
c) Diagonale réelle : \(12{,}5 \times 40 = 500\,\text{cm} = \mathbf{5\,\text{m}}\)
Dans un triangle RST, la droite (MN) est parallèle à (ST) avec M sur [RS] et N sur [RT]. Le rapport de réduction est \(k = \dfrac{RM}{RS} = \dfrac{3}{4}\).
a) Si ST = 24 cm, calculer MN.
b) Si l'aire du triangle RST est 128 cm², quelle est l'aire du triangle RMN ?
a) \(MN = k \times ST = \dfrac{3}{4} \times 24 = \mathbf{18\,\text{cm}}\)
b) Les aires sont dans le rapport \(k^2\) : \(\mathcal{A}_{RMN} = k^2 \times \mathcal{A}_{RST} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \times 128 = \dfrac{9}{16} \times 128 = \mathbf{72\,\text{cm}^2}\)
Un artisan menuisier relève les dimensions d'une pièce trapézoïdale. Les deux murs parallèles mesurent 6 m et 4 m. La distance entre eux est de 5 m. Il doit dessiner cette pièce à l'échelle 1/100.
a) Quelles seront les dimensions sur le plan ?
b) Sur le plan, il trace une droite parallèle au grand mur à 2 cm du petit mur. À quelle distance réelle du petit mur se situe cette droite ?
c) En utilisant Thalès, calculer la longueur de cette droite (entre les deux murs obliques).
a) Grand mur : \(\dfrac{600}{100} = 6\,\text{cm}\). Petit mur : \(4\,\text{cm}\). Distance : \(5\,\text{cm}\).
b) Distance réelle : \(2 \times 100 = 200\,\text{cm} = \mathbf{2\,\text{m}}\)
c) La droite parallèle est à 2 m du petit mur (4 m), donc à 3 m du grand mur (6 m). Par Thalès, à la distance \(d = 2\) m du petit mur sur une hauteur totale de 5 m :
\(\text{longueur} = 4 + \dfrac{2}{5} \times (6 - 4) = 4 + 0{,}4 \times 2 = 4 + 0{,}8 = \mathbf{4{,}8\,\text{m}}\)
Dans un triangle RST, M est sur [RS] et N est sur [RT]. On donne RM = 6, RS = 15, RN = 8, RT = 20, MN = 12 et ST = 30.
a) Vérifier que les trois rapports \(\dfrac{RM}{RS}\), \(\dfrac{RN}{RT}\) et \(\dfrac{MN}{ST}\) sont égaux.
b) En déduire que (MN) ∥ (ST).
c) Quel est le rapport de réduction du triangle RMN par rapport au triangle RST ?
a) \(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4\) | \(\dfrac{RN}{RT} = \dfrac{8}{20} = 0{,}4\) | \(\dfrac{MN}{ST} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4\)
Les trois rapports sont tous égaux à 0,4.
b) D'après la réciproque du théorème de Thalès, comme \(\dfrac{RM}{RS} = \dfrac{RN}{RT}\), on en déduit que (MN) ∥ (ST).
c) Le rapport de réduction est \(k = \mathbf{0{,}4} = \dfrac{2}{5}\).