Théorème de Thalès dans le triangle | Seconde Bac Pro MAMA | Mathématiques
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Reconnaître la configuration de Thalès (droites parallèles, triangle)
C2 — Énoncer et appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur
C3 — Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour vérifier le parallélisme
C4 — Appliquer les rapports de proportionnalité dans un agrandissement ou une réduction
C5 — Résoudre des problèmes d'échelles et de plans en contexte professionnel
C1 — Reconnaître la configuration de Thalès
Rappel de cours — Configuration de Thalès
Il y a configuration de Thalès lorsque :
On a un sommet commun (appelé O ou A).
Deux droites sécantes issues de ce sommet.
Une droite parallèle à la base, coupant les deux autres droites.
Dans le triangle ABC, si D ∈ [AB] et E ∈ [AC] avec DE ∥ BC, alors la configuration de Thalès est présente.
Configuration de Thalès : D ∈ [AB], E ∈ [AC], DE ∥ BC — le sommet commun est A.
Exercice 1
Dans chaque situation, dire si la configuration de Thalès est présente. Si oui, identifier le sommet commun, les deux droites sécantes et la droite parallèle.
Dans le triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC] avec DE ∥ BC.
Dans le triangle PQR, S est sur [PQ] et T sur [PR] mais ST n'est pas parallèle à QR.
Les droites (MN) et (PQ) sont parallèles. Les droites (MP) et (NQ) se coupent en O.
Oui — Sommet : A ; droites sécantes : (AB) et (AC) ; droite parallèle : (DE) ∥ (BC).
Non — ST n'est pas parallèle à QR, donc la configuration de Thalès ne s'applique pas.
Oui — Sommet : O ; droites sécantes : (OM) et (ON) (prolongements) ; droites parallèles : (MN) ∥ (PQ).
Exercice 2
Dans le triangle ABC, on place D sur [AB] tel que AD = 3 cm et DB = 6 cm (donc AB = 9 cm), et E sur [AC]. Pour que la configuration de Thalès soit applicable avec DE ∥ BC, quel rapport \(\frac{AD}{AB}\) obtient-on ?
\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
Par Thalès, si DE ∥ BC, alors \(\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}\).
C2 — Appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur
Dans le triangle ABC, DE ∥ BC. On connaît AD = 3 m, DB = 5 m, AE = 2,4 m. Calculer AC et EC.
AB = AD + DB = 8 m
\(\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{8}\)
\(AC = \frac{8 \times 2{,}4}{3} = \mathbf{6{,}4}\) m
\(EC = AC - AE = 6{,}4 - 2{,}4 = \mathbf{4}\) m
C3 — Réciproque du théorème de Thalès (vérifier le parallélisme)
Rappel de cours — Réciproque du théorème de Thalès
Si D ∈ [AB] et E ∈ [AC] et si \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), alors DE ∥ BC.
Méthode : calculer les deux rapports séparément. S'ils sont égaux, les droites sont parallèles. Sinon, elles ne le sont pas.
Attention : les rapports doivent utiliser les mêmes côtés (par exemple : petit sur grand, ou partie sur tout — mais de façon cohérente).
Exercice 7
Dans le triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC]. Vérifier si DE ∥ BC dans chaque cas :
AD = 4, AB = 10, AE = 6, AC = 15.
AD = 3, AB = 9, AE = 4, AC = 11.
\(\frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\frac{AE}{AC} = \frac{6}{15} = 0{,}4\) → ratios égaux → par la réciproque : DE ∥ BC ✔
\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) et \(\frac{AE}{AC} = \frac{4}{11} \approx 0{,}364\) → ratios différents → DE n'est pas parallèle à BC
Exercice 8
Un menuisier trace deux droites depuis un point O. Il mesure OA = 3 m, OB = 4 m, OC = 6 m, OD = 8 m, où A, C sont sur une droite et B, D sur une autre. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
\(\frac{OA}{OC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) et \(\frac{OB}{OD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Les ratios sont égaux → par la réciproque de Thalès : (AB) ∥ (CD) ✔
C4 — Agrandissement et réduction (rapports de proportionnalité)
Rappel de cours — Agrandissement et réduction
Deux figures sont en réduction/agrandissement lorsque toutes leurs longueurs sont dans le même rapport \(k\) (appelé coefficient de similitude).
Si \(k < 1\) : réduction (figure plus petite).
Si \(k > 1\) : agrandissement (figure plus grande).
Le théorème de Thalès garantit que les triangles découpés par une droite parallèle sont des réductions du triangle original avec le même coefficient.
Exercice 9
Un dessin technique est une réduction à l'échelle 1/5. Une cloison mesure 12 cm sur le dessin. Quelle est sa longueur réelle ?
Échelle 1/5 : longueur réelle = longueur dessin × 5
\(12 \times 5 = \mathbf{60}\) cm \(= 0{,}60\) m
Exercice 10
Une pièce réelle mesure 4,8 m de long. Sur un plan à l'échelle 1/50, quelle longueur représente cette pièce ?
\(4{,}8 \text{ m} = 480 \text{ cm}\)
Longueur sur le plan : \(480 \div 50 = \mathbf{9{,}6}\) cm
Exercice 11
Deux triangles sont semblables avec un rapport de \(\frac{3}{5}\). Le grand triangle a une base de 15 cm et une hauteur de 10 cm. Calculer la base et la hauteur du petit triangle.
Base : \(15 \times \frac{3}{5} = \mathbf{9}\) cm
Hauteur : \(10 \times \frac{3}{5} = \mathbf{6}\) cm
(Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport \(\frac{3}{5}\).)
C5 — Problèmes d'échelles et de plans professionnels
Rappel de cours — Échelles et plans
L'échelle d'un plan est le rapport : \(\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}\).
Plan au 1/50 : 1 cm sur le plan correspond à 50 cm dans la réalité.
Plan au 1/100 : 1 cm sur le plan correspond à 100 cm (= 1 m) dans la réalité.
Formules pratiques :
Longueur réelle = longueur sur le plan × dénominateur de l'échelle.
Longueur sur le plan = longueur réelle ÷ dénominateur de l'échelle.
La justification mathématique repose sur Thalès : rayons du soleil parallèles, triangles semblables, rapport constant.
Exercice 12
Sur un plan d'architecte au 1/100, un couloir mesure 8,5 cm de longueur et 1,2 cm de largeur. Calculer les dimensions réelles du couloir.
Longueur réelle : \(8{,}5 \times 100 = 850\) cm \(= \mathbf{8{,}50}\) m
Largeur réelle : \(1{,}2 \times 100 = 120\) cm \(= \mathbf{1{,}20}\) m
Exercice 13
Un agenceur mesure l'ombre d'un poteau au soleil : 1,8 m. À côté, une règle de 1 m de haut projette une ombre de 0,6 m. En utilisant Thalès (triangles semblables), calculer la hauteur du poteau.
Triangles semblables : le poteau et la règle projettent des ombres proportionnelles
Triangles semblables (rayons du soleil parallèles) :
\(\frac{\text{hauteur poteau}}{\text{hauteur règle}} = \frac{\text{ombre poteau}}{\text{ombre règle}}\)
\(\frac{h}{1} = \frac{1{,}8}{0{,}6} = 3\)
Le poteau mesure \(\mathbf{3}\) m.
Exercice 14
Sur un plan au 1/50 d'une cuisine, le plan de travail a une longueur de 4,8 cm et une profondeur de 1,2 cm. Calculer les dimensions réelles, puis l'aire réelle du plan de travail.
Longueur réelle : \(4{,}8 \times 50 = 240\) cm \(= 2{,}40\) m
Profondeur réelle : \(1{,}2 \times 50 = 60\) cm \(= 0{,}60\) m
Aire réelle : \(2{,}40 \times 0{,}60 = \mathbf{1{,}44}\) m²
Exercice 15
Un menuisier agenceur travaille sur un plan au 1/20 d'un meuble bibliothèque. Sur le plan, la hauteur mesure 9,5 cm et la largeur 6 cm. Calculer les dimensions réelles du meuble. Les étagères sont espacées de 1,5 cm sur le plan : quel est l'espacement réel ?
Hauteur réelle : \(9{,}5 \times 20 = \mathbf{190}\) cm = 1,90 m
Largeur réelle : \(6 \times 20 = \mathbf{120}\) cm = 1,20 m
Espacement étagères : \(1{,}5 \times 20 = \mathbf{30}\) cm
Exercice 16
Sur un plan de masse au 1/200, un artisan repère un bâtiment rectangulaire de 4,5 cm × 3 cm. Il veut tracer une canalisation en diagonale sous le bâtiment. Calculer la longueur réelle de la canalisation.
Dimensions réelles :
Longueur : \(4{,}5 \times 200 = 900\) cm = 9 m
Largeur : \(3 \times 200 = 600\) cm = 6 m
Diagonale (Pythagore) : \(d = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} \approx \mathbf{10{,}82}\) m
Exercice 17
Pour estimer la hauteur d'un lampadaire, un technicien place un bâton vertical de 1,20 m à 3 m du lampadaire. L'ombre du lampadaire mesure 8 m et l'ombre du bâton mesure 1,6 m. En utilisant la configuration de Thalès (rayons du soleil parallèles), déterminer la hauteur du lampadaire.
Triangles semblables formés par les ombres du lampadaire et du bâton
Par Thalès (triangles semblables, rayons parallèles) :
\(\frac{H}{\text{hauteur bâton}} = \frac{\text{ombre lampadaire}}{\text{ombre bâton}}\)
\(\frac{H}{1{,}20} = \frac{8}{1{,}6} = 5\)
\(H = 5 \times 1{,}20 = \mathbf{6}\) m
Le lampadaire mesure 6 m de haut.