C5 — Utiliser l’échelle d’un plan, dans les deux sens
C6 — Mesurer une hauteur par son ombre ou par visée (mire)
C1 — Repérer la configuration de Thalès et écrire les trois rapports
Rappel de cours — Configuration de Thalès
Il y a configuration de Thalès lorsque :
On a un sommet commun (appelé O ou A).
Deux droites sécantes issues de ce sommet.
Une droite parallèle à la base, coupant les deux autres droites.
Dans le triangle ABC, si D ∈ [AB] et E ∈ [AC] avec DE ∥ BC, alors la configuration de Thalès est présente.
Écrire les trois rapports : au numérateur le petit triangle, au dénominateur le grand, dans le même sens partout : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\).
Configuration de Thalès : D ∈ [AB], E ∈ [AC], DE ∥ BC — le sommet commun est A.
Exercice 1
Dans chaque situation, dire si la configuration de Thalès est présente. Si oui, identifier le sommet commun, les deux droites sécantes et la droite parallèle.
Dans le triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC] avec DE ∥ BC.
Dans le triangle PQR, S est sur [PQ] et T sur [PR] mais ST n'est pas parallèle à QR.
Dans le triangle RST, U est sur [RS] et V sur [RT], avec (UV) ∥ (ST).
Oui — Sommet : A ; droites sécantes : (AB) et (AC) ; droite parallèle : (DE) ∥ (BC).
Non — ST n'est pas parallèle à QR, donc la configuration de Thalès ne s'applique pas.
Oui — Sommet : R ; droites sécantes : (RS) et (RT) ; droites parallèles : (UV) ∥ (ST). U correspond à S, V correspond à T.
Exercice 2
Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC).
Écrire les trois rapports égaux du théorème de Thalès, avec le petit triangle au numérateur.
Lucas écrit \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{BC}{DE}\). Expliquer son erreur.
Sans calcul : si AD est plus court que AB, le rapport \(\dfrac{DE}{BC}\) est-il plus petit ou plus grand que 1 ?
Lucas mélange les sens : à gauche, le petit est en haut ; à droite, le grand est en haut. Il faut écrire \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\).
AD < AB, donc \(\dfrac{AD}{AB}\) est plus petit que 1. Les rapports sont égaux : \(\dfrac{DE}{BC}\) est aussi plus petit que 1, et DE est plus court que BC.
Exercice 3
Un menuisier observe la figure ci-dessous, formée de deux droites issues d'un point O et coupées par deux droites parallèles. Identifier le sommet commun, les deux droites sécantes, puis les deux côtés parallèles. Écrire ensuite les trois rapports égaux donnés par le théorème de Thalès.
Sommet commun : O.
Droites sécantes : (OP) et (OQ) (M ∈ [OP], N ∈ [OQ]).
Côtés parallèles : (MN) ∥ (PQ).
La configuration de Thalès est présente. Les trois rapports égaux sont :
\(\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{ON}{OQ} = \dfrac{MN}{PQ}\).
C2 — Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Vérifier que la configuration de Thalès est bien présente (droites parallèles identifiées).
Écrire l'égalité des rapports correspondant à la longueur cherchée.
Résoudre l'équation (produit en croix).
Exercice 4
Dans le triangle ABC, DE ∥ BC, avec AD = 4 cm, AB = 10 cm et BC = 7,5 cm. Calculer DE.
Par Thalès : \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\)
\(\frac{DE}{7{,}5} = \frac{4}{10} = 0{,}4\)
\(DE = 0{,}4 \times 7{,}5 = \mathbf{3}\) cm
Exercice 5
Dans le triangle OAB, C ∈ [OA], D ∈ [OB] et (CD) ∥ (AB). On mesure les deux morceaux OC = 6 m et CA = 2 m, et AB = 12 m. Calculer OA, puis CD.
OA = OC + CA = 6 + 2 = 8 m, donc \(\frac{OC}{OA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
Par Thalès : \(\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OA} = \frac{3}{4}\)
\(CD = \frac{3}{4} \times 12 = \mathbf{9}\) m
Exercice 6
Dans le triangle RST, U ∈ [RT], V ∈ [RS] et (UV) ∥ (ST). On sait que RU = 5 cm, UT = 3 cm et ST = 6,4 cm. Calculer RT, puis UV. Calculer ensuite RV et VS sachant que RS = 9,6 cm.
RT = RU + UT = 5 + 3 = 8 cm, donc \(\frac{RU}{RT} = \frac{5}{8}\)
\(UV = \frac{5}{8} \times 6{,}4 = \mathbf{4}\) cm
\(RV = \frac{5}{8} \times 9{,}6 = \mathbf{6}\) cm
\(VS = RS - RV = 9{,}6 - 6 = \mathbf{3{,}6}\) cm
Exercice 7
Dans le triangle ABC, DE ∥ BC. On connaît AD = 3 m, DB = 5 m, AE = 2,4 m. Calculer AC et EC.
AB = AD + DB = 8 m
\(\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{8}\)
\(AC = \frac{8 \times 2{,}4}{3} = \mathbf{6{,}4}\) m
\(EC = AC - AE = 6{,}4 - 2{,}4 = \mathbf{4}\) m
Exercice 8
Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) ∥ (BC). On donne AD = 2 cm, AB = 5 cm et DE = 3,4 cm.
Les chevrons codent (DE) ∥ (BC). Figure non à l'échelle.
Écrire l'égalité des deux rapports utiles.
Calculer la grande base BC.
Un élève trouve BC = 1,36 cm. Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi c'est impossible.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{3{,}4}{BC}\).
Produit en croix : \(2 \times BC = 5 \times 3{,}4 = 17\), donc \(BC = \dfrac{17}{2} = \mathbf{8{,}5}\) cm.
BC est la grande parallèle : elle doit être plus longue que DE = 3,4 cm. L'élève a multiplié 3,4 par 0,4 au lieu de diviser.
C3 — Pour aller plus loin : réciproque du théorème de Thalès
Pour aller plus loin — hors programme. Le programme de Seconde Bac Pro nomme « le théorème de Thalès dans le triangle ». Il cite la réciproque de Pythagore, pas celle de Thalès. Cette partie C3 n'est pas évaluée. Elle correspond aux §7, §8 et §13 du cours PDF.
Rappel de cours — Réciproque du théorème de Thalès
Si D ∈ [AB] et E ∈ [AC] et si \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), alors DE ∥ BC.
Méthode : calculer les deux rapports séparément. S'ils sont égaux, les droites sont parallèles. Sinon, elles ne le sont pas.
Attention : les rapports doivent utiliser les mêmes côtés (par exemple : petit sur grand, ou partie sur tout — mais de façon cohérente).
Exercice 9
Dans le triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC]. Vérifier si DE ∥ BC dans chaque cas :
AD = 4, AB = 10, AE = 6, AC = 15.
AD = 3, AB = 9, AE = 4, AC = 11.
\(\frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\frac{AE}{AC} = \frac{6}{15} = 0{,}4\) → ratios égaux → par la réciproque : DE ∥ BC ✔
\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) et \(\frac{AE}{AC} = \frac{4}{11} \approx 0{,}364\) → ratios différents → DE n'est pas parallèle à BC
Exercice 10
Un menuisier trace deux droites depuis un point O. Il mesure OA = 3 m, OB = 4 m, OC = 6 m, OD = 8 m, où A, C sont sur une droite et B, D sur une autre. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
\(\frac{OA}{OC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) et \(\frac{OB}{OD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Les ratios sont égaux → par la réciproque de Thalès : (AB) ∥ (CD) ✔
Exercice 11
Dans le triangle ABC, on place D sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 6 cm et EC = 9 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier en comparant les rapports \(\dfrac{AD}{AB}\) et \(\dfrac{AE}{AC}\).
AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm ; AC = AE + EC = 6 + 9 = 15 cm.
\(\frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\frac{AE}{AC} = \frac{6}{15} = 0{,}4\)
Les rapports sont égaux et les points sont placés dans le même ordre sur les demi-droites → par la réciproque du théorème de Thalès : (DE) ∥ (BC) ✔
Exercice 12 — Contrôle au tableur
Un menuisier contrôle trois tasseaux [DE] posés sur des pignons triangulaires ABC, avec D ∈ [AB] et E ∈ [AC]. Il saisit ses relevés (en cm) dans un tableur, écrit en E2 la formule =SI(A2/B2=C2/D2;"parallèle";"à reprendre"), puis la recopie jusqu'en E4.
A — AD
B — AB
C — AE
D — AC
E
2
16
40
18
45
3
21
35
27
48
4
10
25
14
35
Quelle formule se trouve en E4 après la recopie ?
Calculer les quotients de chaque ligne, puis compléter la colonne E.
Pourquoi écrit-on A2/B2 et non A2÷B2 ?
=SI(A4/B4=C4/D4;"parallèle";"à reprendre") : les numéros de ligne suivent la recopie.
Ligne 2 : 16 ÷ 40 = 0,4 et 18 ÷ 45 = 0,4 → parallèle.
Ligne 3 : 21 ÷ 35 = 0,6 et 27 ÷ 48 = 0,5625 → à reprendre.
Ligne 4 : 10 ÷ 25 = 0,4 et 14 ÷ 35 = 0,4 → parallèle.
Le tableur ne connaît que la barre oblique / pour diviser.
C4 — Agrandir, réduire : coefficient k, k², k³
Rappel de cours — Agrandissement et réduction
Deux figures sont l’une un agrandissement ou une réduction de l’autre lorsque toutes leurs longueurs sont dans le même rapport \(k\), le coefficient d’agrandissement ou de réduction.
Si \(k < 1\) : réduction (figure plus petite).
Si \(k > 1\) : agrandissement (figure plus grande).
\(k = \dfrac{\text{longueur de l’image}}{\text{longueur d’origine}}\)
Le théorème de Thalès garantit que les triangles découpés par une droite parallèle sont des réductions du triangle original avec le même coefficient.
À retenir : les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\), les volumes par \(k^3\).
Exercice 13
Calculer le coefficient \(k\) dans chaque cas, puis dire s’il s’agit d’un agrandissement ou d’une réduction.
Longueur d’origine
Longueur de l’image
a.
Gabarit : 24 cm
Gabarit reproduit : 36 cm
b.
Pièce réelle : 50 cm
Pièce de la maquette : 10 cm
c.
Photo : 15 cm de large
Affiche : 45 cm de large
d. Pour le cas a., un élève écrit \(k = \dfrac{24}{36}\). Pourquoi est-ce faux ?
On divise toujours la longueur de l’image par la longueur d’origine.
a. \(k = \dfrac{36}{24} = \mathbf{1{,}5}\). \(k > 1\) : agrandissement.
b. \(k = \dfrac{10}{50} = \mathbf{0{,}2}\). \(k < 1\) : réduction.
c. \(k = \dfrac{45}{15} = \mathbf{3}\). \(k > 1\) : agrandissement.
d. \(\dfrac{24}{36} \approx 0{,}67\) est plus petit que 1 : il annoncerait une réduction, alors que le gabarit passe de 24 cm à 36 cm. L’élève a divisé l’origine par l’image.
Exercice 14
Un gabarit triangulaire a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. On le reproduit avec un coefficient \(k = 1{,}5\).
S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
Calculer les longueurs des côtés du nouveau gabarit.
Calculer les deux périmètres. Par combien le périmètre est-il multiplié ?
\(k = 1{,}5 > 1\) : c'est un agrandissement.
\(12 \times 1{,}5 = 18\) cm ; \(15 \times 1{,}5 = 22{,}5\) cm ; \(20 \times 1{,}5 = 30\) cm.
Périmètre initial : 12 + 15 + 20 = 47 cm. Nouveau : 18 + 22,5 + 30 = 70,5 cm. Et \(47 \times 1{,}5 = 70{,}5\) : le périmètre est multiplié par \(k\), comme toute longueur.
Exercice 15
Un carreau de faïence carré a un côté de 6 cm. Un second modèle est un agrandissement de coefficient \(k = 2{,}5\).
Calculer l'aire du petit carreau.
Calculer l'aire du grand carreau en utilisant \(k^2\).
Vérifier en calculant d'abord le côté du grand carreau.
Samia affirme : « l'aire est multipliée par 2,5 ». Qu'en penser ?
Côté : \(6 \times 2{,}5 = 15\) cm, et \(15 \times 15 = 225\) cm². Les deux calculs concordent.
Samia se trompe : une aire dépend de deux longueurs, elle est multipliée par \(k^2 = 6{,}25\), pas par 2,5.
Exercice 16
Le petit triangle est une réduction du grand, de coefficient \(k = \frac{3}{5}\). Le grand triangle a une base de 15 cm et une hauteur de 10 cm. Calculer la base et la hauteur du petit triangle, puis son aire de deux façons.
Base : \(15 \times \frac{3}{5} = \mathbf{9}\) cm
Hauteur : \(10 \times \frac{3}{5} = \mathbf{6}\) cm
(Toutes les longueurs sont multipliées par le même rapport \(\frac{3}{5}\).)
Aire du petit triangle : \(\frac{9 \times 6}{2} = 27\) cm². Autre façon : aire du grand \(\frac{15 \times 10}{2} = 75\) cm², et \(75 \times k^2 = 75 \times \frac{9}{25} = \mathbf{27}\) cm².
Exercice 17
Un fabricant agrandit un bac de rangement en multipliant toutes ses dimensions par \(k = 2\). Le petit bac contient 5 L.
Par combien le volume est-il multiplié ?
Quelle est la contenance du grand bac ?
Un client pense que le grand bac contient 10 L. Expliquer son erreur.
Le volume est multiplié par \(k^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).
\(5 \times 8 = \mathbf{40}\) L.
Il a multiplié par \(k = 2\). Or un volume dépend de trois longueurs : longueur, largeur et hauteur doublent toutes, donc le volume est multiplié par 8.
C5 — Utiliser l’échelle d’un plan, dans les deux sens
Rappel de cours — Échelles et plans
L'échelle d'un plan est le rapport : \(\text{échelle} = \dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}\).
Plan au 1/50 : 1 cm sur le plan correspond à 50 cm dans la réalité.
Plan au 1/100 : 1 cm sur le plan correspond à 100 cm (= 1 m) dans la réalité.
Les deux sens d’une échelle 1/n :
Du plan vers le réel : réel = plan × n (on agrandit).
Du réel vers le plan : plan = réel ÷ n (on réduit).
Contrôle de bon sens : la longueur réelle est toujours la plus grande des deux. On convertit tout dans la même unité avant de calculer.
Exercice 18
Sur un plan d'architecte au 1/100, un couloir mesure 8,5 cm de longueur et 1,2 cm de largeur. Calculer les dimensions réelles du couloir.
Longueur réelle : \(8{,}5 \times 100 = 850\) cm \(= \mathbf{8{,}50}\) m
Largeur réelle : \(1{,}2 \times 100 = 120\) cm \(= \mathbf{1{,}20}\) m
Exercice 19
Sur un plan au 1/50 d'une cuisine, le plan de travail a une longueur de 4,8 cm et une profondeur de 1,2 cm. Calculer les dimensions réelles, puis l'aire réelle du plan de travail.
Longueur réelle : \(4{,}8 \times 50 = 240\) cm \(= 2{,}40\) m
Profondeur réelle : \(1{,}2 \times 50 = 60\) cm \(= 0{,}60\) m
Aire réelle : \(2{,}40 \times 0{,}60 = \mathbf{1{,}44}\) m²
Exercice 20
Un menuisier agenceur travaille sur un plan au 1/20 d'un meuble bibliothèque. Sur le plan, la hauteur mesure 9,5 cm et la largeur 6 cm. Calculer les dimensions réelles du meuble. Les étagères sont espacées de 1,5 cm sur le plan : quel est l'espacement réel ?
Hauteur réelle : \(9{,}5 \times 20 = \mathbf{190}\) cm = 1,90 m
Largeur réelle : \(6 \times 20 = \mathbf{120}\) cm = 1,20 m
Espacement étagères : \(1{,}5 \times 20 = \mathbf{30}\) cm
Exercice 21
Un plan d’atelier est dressé à l’échelle 1/50. On connaît les longueurs réelles de trois éléments.
Élément
Établi
Porte
Mur du fond
Longueur réelle
2,10 m
0,80 m
6,25 m
Calculer la longueur de chaque élément sur le plan, en centimètres.
Pour l’établi, Inès écrit : « 2,10 ÷ 50 = 0,042, donc l’établi mesure 0,042 cm sur le plan ». Le calcul est juste. Expliquer son erreur.
Contrôler le résultat de l’établi en revenant du plan au réel.
Du réel vers le plan, on convertit en centimètres puis on divise par 50.
Établi : 2,10 m = 210 cm, et \(210 \div 50 = \mathbf{4{,}2}\) cm.
Porte : 0,80 m = 80 cm, et \(80 \div 50 = \mathbf{1{,}6}\) cm.
Mur du fond : 6,25 m = 625 cm, et \(625 \div 50 = \mathbf{12{,}5}\) cm.
2,10 est en mètres, donc 0,042 est aussi en mètres : 0,042 m = 4,2 cm. Inès a écrit la mauvaise unité. 0,042 cm, c’est moins d’un millimètre : impossible pour un établi de 2 m.
Du plan vers le réel, on multiplie : \(4{,}2 \times 50 = 210\) cm = 2,10 m. On retrouve la longueur réelle.
C6 — Mesurer une hauteur par son ombre ou par visée
Rappel de cours — Hauteur par l’ombre ou par visée
Par l’ombre : les rayons du Soleil sont parallèles. Deux objets verticaux voisins et leurs ombres donnent deux triangles de même forme : \(\dfrac{\text{hauteur 1}}{\text{ombre 1}} = \dfrac{\text{hauteur 2}}{\text{ombre 2}}\).
Par visée : l’œil est au ras du sol en A ; la mire [DE] et l’objet [BC] sont verticaux, donc parallèles. Configuration de Thalès de sommet A : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\).
Piège : si l’on mesure la distance DB de la mire au pied de l’objet, il faut d’abord calculer AB = AD + DB.
Exercice 22
Un agenceur mesure l'ombre d'un poteau au soleil : 1,8 m. À côté, une règle de 1 m de haut projette une ombre de 0,6 m. En utilisant Thalès (triangles semblables), calculer la hauteur du poteau.
Triangles semblables : le poteau et la règle projettent des ombres proportionnelles
Triangles semblables (rayons du soleil parallèles) :
\(\frac{\text{hauteur poteau}}{\text{hauteur règle}} = \frac{\text{ombre poteau}}{\text{ombre règle}}\)
\(\frac{h}{1} = \frac{1{,}8}{0{,}6} = 3\)
Le poteau mesure \(\mathbf{3}\) m.
Exercice 23
Pour estimer la hauteur d'un lampadaire, un technicien plante un bâton vertical de 1,20 m un peu plus loin, au soleil. L'ombre du lampadaire mesure 8 m et l'ombre du bâton mesure 1,6 m. En utilisant la configuration de Thalès (rayons du soleil parallèles), déterminer la hauteur du lampadaire.
Triangles semblables formés par les ombres du lampadaire et du bâton
Par Thalès (triangles semblables, rayons parallèles) :
\(\frac{H}{\text{hauteur bâton}} = \frac{\text{ombre lampadaire}}{\text{ombre bâton}}\)
\(\frac{H}{1{,}20} = \frac{8}{1{,}6} = 5\)
\(H = 5 \times 1{,}20 = \mathbf{6}\) m
Le lampadaire mesure 6 m de haut.
Exercice 24
Une technicienne a l’œil au ras du sol en A. Sa mire verticale [DE] mesure 1,5 m, avec AD = 2 m. L’œil, le sommet E de la mire et le haut C d’un pylône vertical [BC] sont alignés. Elle mesure la distance de son œil au pied du pylône : AB = 14 m.
La mire [DE] et le pylône [BC] sont verticaux. Figure non à l’échelle.
Pourquoi les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
Écrire l’égalité des deux rapports utiles.
Calculer la hauteur BC du pylône.
La mire et le pylône sont tous les deux verticaux : ils sont parallèles. Comme A, E, C sont alignés et A, D, B aussi, on a une configuration de Thalès de sommet A.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{14} = \dfrac{1{,}5}{BC}\).
Produit en croix : \(2 \times BC = 14 \times 1{,}5 = 21\), donc \(BC = \dfrac{21}{2} = \mathbf{10{,}5}\) m. Le pylône est bien plus haut que la mire.
Exercice 25
Un géomètre place son œil au ras du sol en A. Il plante une mire verticale [DE] de 1,5 m en D, avec AD = 2,5 m. Il aligne son œil, le sommet E de la mire et le haut C d'un arbre vertical [BC]. Il mesure ensuite la distance de la mire au pied de l'arbre : DB = 10 m.
La mire [DE] et l'arbre [BC] sont verticaux, donc parallèles. Figure tracée à l'échelle.
Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Thalès ? Quel est le sommet commun ?
Calculer AB.
Calculer la hauteur BC de l'arbre.
La mire et l'arbre sont verticaux, donc (DE) ∥ (BC). E est sur [AC] et D sur [AB] : c'est une configuration de Thalès de sommet A, l'œil.
AB = AD + DB = 2,5 + 10 = 12,5 m.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{2{,}5}{12{,}5} = \dfrac{1{,}5}{BC}\), donc \(BC = \dfrac{12{,}5 \times 1{,}5}{2{,}5} = \mathbf{7{,}5}\) m. L'arbre est bien plus haut que la mire. Erreur fréquente : utiliser DB = 10 m au lieu de AB, ce qui donne 6 m.