Devoir Surveillé – Chapitre 13

Théorème de Thalès | 2^de Bac Pro

Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 17:05

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître les configurations de Thalès (directe et papillon)
Appliquer l'égalité des rapports pour calculer une longueur
Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer un parallélisme
Résoudre des problèmes géométriques en situation professionnelle

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Formules données :
Théorème de Thalès : si \((DE) \parallel (BC)\), alors \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)
Réciproque : si \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), alors \((DE) \parallel (BC)\)

Partie A – Reconnaître et compléter 4 points

1 pt par question.

1. APP Dans la figure ci-dessous, \((DE) \parallel (BC)\). Compléter les trois rapports égaux :
\(\dfrac{AD}{\text{___}} = \dfrac{AE}{\text{___}} = \dfrac{DE}{\text{___}}\) (1 pt)

2. APP D est sur [AB], E est sur [AC], et \((DE) \parallel (BC)\). On donne \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{3}\). Entoure la bonne réponse :
\(\dfrac{AE}{AC} =\) A) \(\dfrac{1}{2}\) B) \(\dfrac{1}{3}\) C) \(\dfrac{3}{1}\) (1 pt)

3. REA On a \(AD = 4\) cm, \(AB = 12\) cm. Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\) :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{\text{___}}\) (1 pt)

4. REA Ce même rapport vaut \(\dfrac{1}{3}\) et \(DE = 6\) cm. \((DE) \parallel (BC)\). Calculer \(BC\) :
\(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}\) donc \(BC = 6 \times \text{___} = \text{___}\) cm (1 pt)

1. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)

2. Réponse B : \(\dfrac{1}{3}\) (les rapports sont égaux par le théorème de Thalès)

3. \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)

4. \(BC = 6 \times 3 = \mathbf{18}\) cm

Partie B – Calculs guidés de longueurs 8 points

Montrer les calculs à chaque étape.

1. REA (4 pts) Dans le triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\), \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\).
Données : \(AD = 6\) cm, \(DB = 4\) cm, \(AE = 9\) cm, \(BC = 10\) cm.

Étape 1 : Calculer AB = AD + DB = _____ + _____ = _____ cm

Étape 2 : Calculer le rapport : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{\text{___}} = \)_____

Étape 3 : Calculer AC en utilisant \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) :
\(\dfrac{6}{\text{___}} = \dfrac{9}{AC}\) donc \(AC = 9 \times \dfrac{\text{___}}{6} = \)_____ cm

Étape 4 : En déduire EC = AC − AE = _____ − 9 = _____ cm

Étape 5 : Calculer DE en utilisant \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) :
\(DE = BC \times \dfrac{AD}{AB} = 10 \times \dfrac{6}{\text{___}} = \)_____ cm

2. REA (4 pts) Un technicien en agencement trace une configuration de Thalès sur un plan.
On mesure : \(AD = 3{,}6\) m, \(AB = 9\) m, \(AC = 7{,}5\) m. \((DE) \parallel (BC)\).

Étape 1 : Calculer le rapport : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3{,}6}{9} = \)_____

Étape 2 : Calculer AE : \(AE = AC \times \dfrac{AD}{AB} = 7{,}5 \times \)_____ = _____ m

Étape 3 : Calculer EC = AC − AE = 7,5 − _____ = _____ m

Étape 1 : \(AB = 6 + 4 = 10\) cm

Étape 2 : \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\)

Étape 3 : \(AC = 9 \times \dfrac{10}{6} = 15\) cm

Étape 4 : \(EC = 15 - 9 = 6\) cm

Étape 5 : \(DE = 10 \times \dfrac{6}{10} = 6\) cm

Étape 1 : \(\dfrac{3{,}6}{9} = 0{,}4\)

Étape 2 : \(AE = 7{,}5 \times 0{,}4 = 3\) m

Étape 3 : \(EC = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\) m

Partie C – Réciproque : les droites sont-elles parallèles ? 5 points

1. APP (2 pts) Compléter l'énoncé de la réciproque :
« Si D est sur [AB], E est sur [AC] et \(\dfrac{AD}{\text{___}} = \dfrac{AE}{\text{___}}\), alors (DE) _____ (BC). »

2. ANA (3 pts) Dans le triangle ABC, \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\).
On mesure : \(AD = 4\) cm, \(AB = 10\) cm, \(AE = 6\) cm, \(AC = 15\) cm.

Étape 1 : Calculer \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = \)_____

Étape 2 : Calculer \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{15} = \)_____

Étape 3 : Comparer les deux rapports et conclure :
Les rapports sont _____ (égaux / différents), donc (DE) _____ (BC).

1. « Si \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), alors (DE) est parallèle à (BC). »

2.
Étape 1 : \(\dfrac{4}{10} = 0{,}4\)
Étape 2 : \(\dfrac{6}{15} = 0{,}4\)
Étape 3 : Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\). ✔

Partie D – Problème professionnel guidé 3 points

Un menuisier agenceur utilise une configuration de Thalès sur un plan à l'échelle 1/50.
Sur le plan : \(AD = 4{,}2\) cm, \(AB = 7\) cm, \(DE = 5{,}4\) cm, \((DE) \parallel (BC)\).

1. REA (1 pt) Calculer le rapport \(k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4{,}2}{7} = \)_____

2. REA (1 pt) En déduire BC sur le plan :
\(\dfrac{DE}{BC} = k\), donc \(BC = \dfrac{DE}{k} = \dfrac{5{,}4}{\text{___}} = \)_____ cm

3. VAL (1 pt) Calculer la longueur réelle de BC (échelle 1/50) :
Longueur réelle = BC × 50 = _____ × 50 = _____ cm = _____ m

1. \(k = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6\)

2. \(BC = \dfrac{5{,}4}{0{,}6} = 9\) cm sur le plan

3. Longueur réelle : \(9 \times 50 = 450\) cm \(= 4{,}5\) m

Standard

Partie A – Reconnaître et énoncer 4 points

1 pt par question.

1. APP Énoncer le théorème de Thalès (configuration triangle) dans sa forme directe. (1 pt)

2. APP Dans la figure ci-dessous, on sait que \((DE) \parallel (BC)\). Nommer les trois rapports égaux donnés par le théorème de Thalès. (1 pt)

3. ANA Quelle condition doit-on vérifier pour pouvoir appliquer le théorème ? (1 pt)

4. COM Peut-on appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur si on ne connaît que \(AD\) et \(DB\) mais aucune autre longueur ? Justifier. (1 pt)

1. Si \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) et \((DE) \parallel (BC)\), alors \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\).

2. Les trois rapports égaux sont : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\).

3. D doit être sur [AB], E sur [AC], et (DE) doit être parallèle à (BC).

4. Non. Il faut au moins connaître une autre longueur (AB, AE ou AC, ou DE et BC) pour former un rapport et calculer par produit en croix.

Partie B – Calculs de longueurs 8 points

Montrer clairement l'application du théorème à chaque fois.

1. REA (3 pts) Dans le triangle ABC, on a \((DE) \parallel (BC)\) avec \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\). Données : \(AD = 6\) cm, \(DB = 4\) cm, \(AE = 9\) cm. Calculer \(EC\), puis \(DE\) sachant que \(BC = 10\) cm.

2. REA (3 pts) Situation professionnelle : un technicien dresse un plan de coupe d'une canalisation. Sur le plan, la configuration est un triangle avec \((DE) \parallel (BC)\). On mesure : \(AD = 3{,}6\) m, \(AB = 9\) m, \(AC = 7{,}5\) m. Calculer \(AE\) et \(EC\).

3. REA (2 pts) Un arbre de hauteur inconnue projette une ombre de 4,8 m. Au même moment, un poteau de 2 m de hauteur projette une ombre de 1,6 m. En utilisant le théorème de Thalès, calculer la hauteur de l'arbre.

Rayons du soleil parallèles — poteau et arbre

1. \(AB = AD + DB = 6 + 4 = 10\) cm.
Par Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), donc \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{AC}\), soit \(AC = \dfrac{9 \times 10}{6} = 15\) cm, \(EC = AC - AE = 15 - 9 = 6\) cm.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), donc \(DE = \dfrac{6}{10} \times 10 = 6\) cm.

2. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), soit \(\dfrac{3{,}6}{9} = \dfrac{AE}{7{,}5}\).
\(AE = \dfrac{3{,}6 \times 7{,}5}{9} = \dfrac{27}{9} = 3\) m.
\(EC = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\) m.

3. Les deux triangles sont semblables (rayons parallèles). \(\dfrac{h_{\text{arbre}}}{h_{\text{poteau}}} = \dfrac{4{,}8}{1{,}6} = 3\), donc \(h_{\text{arbre}} = 2 \times 3 = 6\) m.

Partie C – Réciproque du théorème de Thalès 5 points

1. APP (2 pts) Énoncer la réciproque du théorème de Thalès.

2. VAL (3 pts) Dans le triangle ABC, \(D \in [AB]\) et \(E \in [AC]\). On a mesuré : \(AD = 4\) cm, \(AB = 10\) cm, \(AE = 6\) cm, \(AC = 15\) cm.
Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier par le calcul.

1. Si \(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\) et \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\), alors \((DE) \parallel (BC)\).

2. On calcule les deux rapports :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\)
\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4\)
Les deux rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) sont parallèles. ✓

Partie D – Problème professionnel ouvert 3 points

Un menuisier agenceur doit vérifier l'implantation d'une canalisation sur un plan à l'échelle 1/50. Sur le plan, il trace une configuration de Thalès pour déduire une longueur réelle inaccessible directement.

Sur le plan, les mesures relevées sont : \(AD = 4{,}2\) cm, \(AB = 7\) cm, \(DE = 5{,}4\) cm (DE ∥ BC).

1. REA (1 pt) Calculer le rapport \(k = \dfrac{AD}{AB}\).

2. REA (1 pt) En déduire la longueur \(BC\) sur le plan.

3. VAL (1 pt) Calculer la longueur réelle correspondante à \(BC\) (échelle 1/50).

1. \(k = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6\)

2. Par Thalès : \(\dfrac{DE}{BC} = k = 0{,}6\), donc \(BC = \dfrac{DE}{k} = \dfrac{5{,}4}{0{,}6} = 9\) cm sur le plan.

3. Échelle 1/50 : longueur réelle \(= 9 \times 50 = 450\) cm \(= 4{,}5\) m.

Approfondissement

Partie A – Théorème de Thalès : analyse et calculs 5 points

1. APP (1 pt) Énoncer complètement le théorème de Thalès (forme directe et réciproque).

2. REA (2 pts) Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E est sur [AC] avec \((DE) \parallel (BC)\).
On donne : \(AD = x\), \(AB = x + 6\), \(AE = x + 2\), \(AC = 2x + 4\) (cm, \(x > 0\)).

a) Écrire l'égalité de Thalès, simplifier si possible et trouver \(x\).
b) Calculer les quatre longueurs numériques et vérifier.

3. VAL (2 pts) Un menuisier trace sur une planche un triangle ABC. Il mesure : \(AD = 5\) cm, \(AB = 12\) cm, \(AE = 7{,}5\) cm, \(AC = 18\) cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier rigoureusement.

1. Directe : Si D∈[AB], E∈[AC] et (DE)∥(BC), alors AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Réciproque : Si D∈[AB], E∈[AC] et AD/AB = AE/AC, alors (DE)∥(BC).

2a. \(\dfrac{x}{x+6} = \dfrac{x+2}{2x+4} = \dfrac{x+2}{2(x+2)} = \dfrac{1}{2}\)
Donc \(\dfrac{x}{x+6} = \dfrac{1}{2}\), soit \(2x = x+6\), donc \(x = 6\).

2b. AD = 6 cm, AB = 12 cm, AE = 8 cm, AC = 16 cm.
Vérification : \(\dfrac{6}{12} = 0{,}5\) et \(\dfrac{8}{16} = 0{,}5\). ✔

3. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{7{,}5}{18} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\).
Les rapports sont égaux, donc par la réciproque, (DE) ∥ (BC). ✔

Partie B – Situations professionnelles 8 points

1. REA (4 pts) Un technicien en agencement travaille sur un plan à l'échelle 1/40.
Sur le plan, il trace une configuration de Thalès : \(AD = 5{,}6\) cm, \(AB = 14\) cm, \(DE = 3{,}8\) cm, \((DE) \parallel (BC)\).
a) Calculer le rapport \(k\) de Thalès.
b) Trouver la longueur BC sur le plan.
c) En déduire la longueur réelle de BC (en m).
d) Si \(AE = 4{,}2\) cm sur le plan, calculer AC et EC sur le plan, puis leurs longueurs réelles.

2. REA (4 pts) Lors d'une mesure sur chantier, un menuisier agenceur mesure l'ombre d'un poteau de 3 m : elle fait 2,4 m. Au même moment, une cloison projette une ombre de 6 m.
a) Calculer la hauteur de la cloison par le théorème de Thalès.
b) Le menuisier veut poser des baguettes de finition sur toute la hauteur de la cloison. Les baguettes font 2,5 m de long. Combien en faut-il ?
c) Chaque baguette coûte 8,50 €. Quel est le coût total ?
d) Une autre cloison projette une ombre de 9 m. Calculer sa hauteur et le nombre de baguettes nécessaires.

1.
a) \(k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5{,}6}{14} = 0{,}4\)
b) \(\dfrac{DE}{BC} = 0{,}4\) donc \(BC = \dfrac{3{,}8}{0{,}4} = 9{,}5\) cm
c) Longueur réelle : \(9{,}5 \times 40 = 380\) cm \(= 3{,}80\) m
d) \(AC = \dfrac{AE}{k} = \dfrac{4{,}2}{0{,}4} = 10{,}5\) cm sur le plan.
\(EC = 10{,}5 - 4{,}2 = 6{,}3\) cm. En réel : \(AC = 10{,}5 \times 40 = 420\) cm \(= 4{,}20\) m ; \(EC = 6{,}3 \times 40 = 252\) cm \(= 2{,}52\) m.

2.
a) \(\dfrac{h_{\text{cloison}}}{3} = \dfrac{6}{2{,}4} = 2{,}5\) donc \(h_{\text{cloison}} = 3 \times 2{,}5 = 7{,}5\) m
b) \(\dfrac{7{,}5}{2{,}5} = 3\) baguettes
c) \(3 \times 8{,}50 = 25{,}50\) €
d) Hauteur : \(h = 3 \times \dfrac{9}{2{,}4} = 3 \times 3{,}75 = 11{,}25\) m.
Baguettes : \(\dfrac{11{,}25}{2{,}5} = 4{,}5\) → 5 baguettes (arrondi supérieur).

Partie C – Analyse et synthèse 7 points

1. ANA (3 pts) Un dessinateur en maintenance automobile trace un triangle ABC sur une planche de traçage.
Il veut placer un point D sur [AB] et E sur [AC] de manière à ce que \((DE) \parallel (BC)\) et \(DE = 6\) cm, \(BC = 10\) cm.
a) Quel doit être le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\) ?
b) Si AB = 15 cm, calculer AD et DB.
c) Si AE = 9 cm, calculer AC.

2. VAL (4 pts) Un technicien réalise deux mesures sur un même chantier en utilisant le théorème de Thalès avec les rayons du soleil (parallèles).
Mesure 1 : Un poteau de 1,8 m projette une ombre de 2,4 m.
Mesure 2 : Une poutre horizontale (hauteur inconnue h) projette une ombre de 5,6 m.
Mesure 3 : Une cheminée projette une ombre de 14 m.
a) Calculer la hauteur de la poutre h.
b) Calculer la hauteur de la cheminée.
c) Le lendemain, le même poteau de 1,8 m projette une ombre de 3,6 m. La poutre projette alors une ombre de 8,4 m. Calculer à nouveau la hauteur de la poutre et vérifier qu'on trouve le même résultat qu'en a).
d) Que peut-on en conclure sur l'utilisation du théorème de Thalès avec les ombres ?

1.
a) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
b) \(AD = 15 \times 0{,}6 = 9\) cm ; \(DB = 15 - 9 = 6\) cm
c) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(AC = \dfrac{AE \times AB}{AD} = \dfrac{9 \times 15}{9} = 15\) cm

2.
a) Rapport : \(\dfrac{1{,}8}{2{,}4} = 0{,}75\). Hauteur de la poutre : \(h = 5{,}6 \times 0{,}75 = 4{,}2\) m
b) Hauteur de la cheminée : \(h = 14 \times 0{,}75 = 10{,}5\) m
c) Nouveau rapport : \(\dfrac{1{,}8}{3{,}6} = 0{,}5\). Hauteur de la poutre : \(8{,}4 \times 0{,}5 = 4{,}2\) m ✔
d) Le rapport hauteur/ombre change selon l'heure de la journée (angle du soleil), mais la hauteur d'un objet ne change pas. La méthode est valable quel que soit le moment.