Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Thalès de Milet (~625-547 av. J.-C.), philosophe et mathématicien grec, est l'un des Sept Sages de la Grèce antique. Lors de son voyage en Égypte, il s'étonne que les bâtisseurs des pyramides n'en connaissent pas la hauteur exacte : personne n'ose grimper sur ces structures sacrées, et la base est trop large pour mesurer directement.
Selon Plutarque, Thalès propose alors une méthode élégante : « Au moment de la journée où mon ombre fait exactement la même longueur que ma taille, l'ombre de la pyramide fait exactement la même longueur que sa hauteur. »
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Hauteur d'origine (vers −2560) | 146,6 m (= 280 coudées royales) |
| Hauteur actuelle (érosion + perte du pyramidion) | 138,8 m |
| Côté de la base | 230 m |
| Volume | ≈ 2,6 millions de m³ |
| Masse estimée | 5,75 millions de tonnes |
📚 Cette activité approfondit les notions du chapitre par leur dimension historique et culturelle (interdisciplinarité maths-histoire).
Pourquoi la méthode de Thalès fonctionne-t-elle ? Expliquer le raisonnement géométrique.
1. Les rayons du Soleil arrivent sur Terre parallèles entre eux (Soleil très loin).
2. Tout objet vertical (Thalès, la pyramide) projette une ombre dont la longueur est proportionnelle à sa hauteur, avec un coefficient qui dépend de l'angle du Soleil.
3. Quand le Soleil est à 45° de l'horizon, l'ombre d'un objet a exactement la même longueur que sa hauteur.
4. Donc à ce moment précis : ombre de Thalès = taille de Thalès. Et : ombre de la pyramide = hauteur de la pyramide.
5. Astuce : Thalès attend ce moment précis (où sa propre ombre = sa taille) pour mesurer l'ombre de la pyramide → directement la hauteur, sans calcul complexe.
Pour mesurer l'ombre totale de la pyramide, il y a une difficulté : la base de la pyramide elle-même cache une partie de l'ombre. Comment Thalès a-t-il dû s'y prendre ?
L'ombre totale de la pyramide va du centre de la base jusqu'au bout de l'ombre projetée. Mais la base elle-même (220 m de côté pour Khéops) couvre une partie de cette ombre.
Thalès devait :
C'est pour ça que Plutarque mentionne qu'il fallait marquer le bout de l'ombre et ajouter la moitié du côté de la base.
Si la pyramide de Khéops a un côté de 230 m, et que Thalès a mesuré une ombre visible de 33 m (de la base au bout de l'ombre), pendant que sa propre ombre faisait 1,80 m pour 1,80 m de hauteur, quelle hauteur a-t-il déduite ?
Ombre totale = ombre visible + demi-côté = 33 + 115 = 148 m.
Or à ce moment, h Thalès = ombre Thalès → h pyramide = ombre pyramide totale = 148 m.
La vraie hauteur de Khéops à l'origine : 146,6 m. Précision de l'ordre de 1 % ! Excellent pour des moyens de l'époque.
Mais que faire si on ne peut pas attendre l'instant précis où l'ombre = la hauteur (par exemple à cause des nuages) ?
On utilise le rapport au lieu d'attendre l'égalité.
À tout moment : (h Thalès / ombre Thalès) = (h pyramide / ombre pyramide).
Donc h pyramide = ombre pyramide × (h Thalès / ombre Thalès).
Cette généralisation est le théorème de Thalès tel que nous l'utilisons aujourd'hui : pas besoin du soleil à 45°.
Application : à un moment où ton ombre fait 1,5 fois ta taille, l'ombre du Mont-Saint-Michel (depuis sa base) mesure 90 m. Quelle est la hauteur du Mont ?
Rapport ombre / hauteur = 1,5.
Hauteur du Mont = ombre / 1,5 = 90 / 1,5 = 60 m.
(En réalité, le sommet du clocher de l'abbaye dépasse 80 m, mais cette mesure dépend du repère pris à la base.)
Quels autres « inaccessibles » a-t-on pu mesurer grâce à des méthodes inspirées de Thalès ?
Plus tard dans l'Antiquité grecque :
Aujourd'hui : parallaxe stellaire (distance des étoiles), radar lunaire (distance Terre-Lune au cm près), GPS (triangulation par satellites).
Quelle est la leçon mathématique à retenir de cette histoire ?
Les mathématiques permettent de mesurer l'inaccessible par la pensée :
Thalès est considéré comme le père de la démonstration mathématique : il ne se contente pas de constater, il raisonne et prouve. C'est le passage du « savoir-faire » empirique (les Égyptiens construisaient des pyramides sans formaliser leur géométrie) au « savoir » théorique (les Grecs énoncent des théorèmes universels).
En métier, c'est cette même approche : raisonner avant d'agir, calculer, prévoir, expliquer.
Rédiger en 5 lignes une présentation que tu pourrais faire à un visiteur de l'atelier sur l'application de Thalès dans ton métier.
Thalès dans le métier de menuisier — petite démonstration
Le théorème de Thalès est ce qui permet à un menuisier d'estimer une hauteur sans monter. Imaginez : avec juste votre taille, l'ombre de votre corps et l'ombre de l'arbre, vous trouvez en quelques secondes la hauteur d'un chêne de 25 m.
Le même principe sert à réaliser des plans à l'échelle (1/50, 1/100…), à vérifier l'angle droit sur chantier (méthode 3-4-5), à cuber un arbre sur pied, à tracer un escalier… Bref, c'est l'un des outils les plus utilisés au quotidien, héritage direct du philosophe grec d'il y a 2 600 ans.
Ératosthène a mesuré la Terre vers −240 av. J.-C. en mesurant l'angle solaire à Alexandrie quand il était zéro à Syène (= 7,2°), à 800 km de distance. Calculer la circonférence terrestre déduite. Comparer avec la valeur réelle (40 075 km).
Le tour complet de la Terre = 360°. Si 7,2° correspondent à 800 km, alors 360° correspondent à :
Circonférence = 800 × (360 / 7,2) = 800 × 50 = 40 000 km.
Valeur réelle : 40 075 km. Erreur : 0,2 % ! Pour une mesure faite il y a 2 250 ans avec un bâton, des chameaux pour mesurer la distance, et un raisonnement géométrique simple. C'est un des plus brillants calculs de l'Histoire.
Méthode : observation que le Soleil au zénith à Syène (au solstice) faisait un angle de 7,2° avec la verticale à Alexandrie le même jour. Cet angle, projeté en arc de cercle, donne la fraction du tour terrestre.
Une magnifique illustration du fait que les maths transforment l'observation en connaissance universelle.