Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Yann, jeune menuisier, veut acheter un chêne sur pied dans une forêt privée pour le bois d'œuvre. Pour estimer son volume (et donc son prix), il doit connaître sa hauteur. Sans grimper et sans télémètre, il utilise une méthode très ancienne basée sur le théorème de Thalès et les ombres.
Sous le soleil, à un instant donné :
Comme les rayons du soleil sont parallèles, les triangles « Yann + son ombre » et « chêne + son ombre » sont semblables : leurs côtés sont proportionnels.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (configuration de Thalès) et §2 (rapports de proportionnalité).
Pourquoi peut-on appliquer le théorème de Thalès dans cette situation ?
Les rayons du soleil arrivent sur Terre parallèles entre eux (le Soleil est très loin). À un instant donné, le rayon qui touche le sommet de Yann fait le même angle avec le sol que le rayon qui touche le sommet du chêne.
Donc les deux triangles « hauteur + ombre » :
Ils sont donc semblables → leurs côtés correspondants sont proportionnels.
Écrire l'égalité des rapports correspondant à la situation (Thalès appliqué).
Pour chaque triangle, le rapport « hauteur / longueur d'ombre » est le même.
hauteur Yann / ombre Yann = hauteur chêne / ombre chêne
Soit :
1,75 / 2,10 = h_chêne / 24
Résoudre l'équation pour trouver la hauteur du chêne.
1,75 / 2,10 = h_chêne / 24
h_chêne = 24 × (1,75 / 2,10) = 24 × 0,8333... = 20 m.
Le chêne mesure environ 20 mètres de haut. Sans avoir grimpé.
Vérifier le résultat par une méthode alternative : « combien de fois Yann tient-il dans la hauteur du chêne ? Et combien de fois son ombre tient-elle dans celle du chêne ? »
Rapport des ombres : 24 / 2,10 ≈ 11,43.
Donc le chêne fait 11,43 fois la hauteur de Yann : 11,43 × 1,75 ≈ 20 m. ✓
C'est exactement la même chose, écrite autrement. Le facteur d'agrandissement de Thalès s'applique à toutes les longueurs des triangles semblables.
Yann modélise le tronc du chêne comme un cylindre de hauteur 20 m et de diamètre 80 cm à mi-hauteur. Calculer le volume de bois utilisable.
Diamètre 80 cm → rayon r = 40 cm = 0,40 m.
V = π × r² × h = π × 0,40² × 20 = π × 0,16 × 20 = π × 3,20 ≈ 10,05 m³.
(En réalité, le tronc rétrécit avec la hauteur — modèle plus précis : tronc de cône → V ≈ 70 % du cylindre. Ici simplifié.)
Le bois sur pied (avant abattage) est vendu 80 €/m³. Quel est le prix d'achat estimé du chêne ? Est-ce une bonne affaire si Yann revend le bois transformé à 600 €/m³ après séchage ?
Prix d'achat : 10,05 × 80 ≈ 800 €.
Valeur revente bois transformé : 10,05 × 600 ≈ 6 030 €.
Marge brute : 6 030 − 800 = 5 230 €.
À soustraire :
Marge nette estimée : ~2 000 € sur 2 ans. Affaire intéressante, surtout si Yann a déjà l'outillage et l'espace de séchage.
La méthode des ombres a une limite : elle ne fonctionne pas par temps couvert ou en intérieur. Citer 2 autres méthodes possibles pour mesurer la hauteur d'un arbre.
Le télémètre est le plus précis ; la méthode des ombres est gratuite et fiable par temps clair.
Rédiger en 5 lignes une fiche pratique pour mesurer la hauteur d'un arbre par la méthode des ombres.
Méthode — Mesurer la hauteur d'un arbre par son ombre
1. Choisir une journée ensoleillée, sol plat près de l'arbre.
2. Mesurer ta taille (T) en mètres et celle de ton ombre (O_T) au même moment.
3. Mesurer l'ombre de l'arbre (O_A) du pied jusqu'au sommet de l'ombre projetée.
4. Appliquer Thalès : H_arbre = T × (O_A / O_T).
5. Vérifier la cohérence : un chêne adulte fait 15-30 m, un sapin jusqu'à 50 m. Hors fourchette → recommencer.
Yann veut estimer la hauteur d'un poteau électrique avec son ombre. Mais l'ombre du poteau tombe en partie sur un mur. La portion d'ombre au sol mesure 8 m, et la portion qui « monte » sur le mur mesure 1,5 m. Avec son rapport (1,75 / 2,10 = 5/6), comment retrouver la hauteur réelle du poteau ?
L'ombre équivalente sur sol plat (si pas de mur) serait :
O_équivalente = 8 + (1,5 × 6/5) = 8 + 1,8 = 9,8 m
(Le 1,5 m vertical sur le mur correspond à 1,5 × tan(angle solaire) = 1,5 × (6/5) m d'ombre en plus au sol, en compensant.)
Hauteur du poteau : 1,75 × (9,8 / 2,10) ≈ 8,17 m.
Cohérent avec un poteau électrique standard (8-10 m).
La méthode reste valable même avec des obstacles, à condition de bien identifier la géométrie.