Théorème de Pythagore et réciproque — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Dans un triangle rectangle en A, les côtés sont AB, AC et BC.
a) Quel est le nom du côté opposé à l'angle droit ? ............
b) Ce côté est-il le plus grand ou le plus petit du triangle ?
c) Écrire la formule du théorème de Pythagore : \(BC^2 = \ldots + \ldots\)
a) C'est l'hypoténuse, ici le côté BC.
b) C'est le plus grand côté du triangle.
c) \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Un triangle est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm.
a) Identifier l'hypoténuse.
b) Calculer : \(AB^2 = 6^2 = \ldots\)
c) Calculer : \(AC^2 = 8^2 = \ldots\)
d) \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
e) \(BC = \sqrt{\ldots} = \ldots\) cm
a) L'hypoténuse est BC (opposée à l'angle droit en A).
b) \(AB^2 = 36\)
c) \(AC^2 = 64\)
d) \(BC^2 = 36 + 64 = 100\)
e) \(BC = \sqrt{100} = \mathbf{10\,\text{cm}}\)
Un triangle est rectangle en A avec BC = 13 cm (hypoténuse) et AC = 5 cm.
a) \(BC^2 = 13^2 = \ldots\)
b) \(AC^2 = 5^2 = \ldots\)
c) \(AB^2 = BC^2 - AC^2 = \ldots - \ldots = \ldots\)
d) \(AB = \sqrt{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(BC^2 = 169\)
b) \(AC^2 = 25\)
c) \(AB^2 = 169 - 25 = 144\)
d) \(AB = \sqrt{144} = \mathbf{12\,\text{cm}}\)
Un triangle a des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?
a) Le plus grand côté est : \(\ldots\) cm. Son carré : \(\ldots^2 = \ldots\)
b) Somme des carrés des deux autres : \(\ldots^2 + \ldots^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
c) Comparer et conclure.
a) Le plus grand côté est 13 cm. \(13^2 = 169\)
b) \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
c) \(169 = 169\) : les deux résultats sont égaux. Le triangle est rectangle (angle droit opposé au côté de 13 cm).
Un menuisier vérifie l'équerrage d'un cadre. Il mesure 30 cm sur un côté et 40 cm sur l'autre.
a) Quelle devrait être la longueur de la diagonale si l'angle est droit ?
b) Il mesure 52 cm. L'angle est-il droit ? Justifier.
a) \(d = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1\,600} = \sqrt{2\,500} = \mathbf{50\,\text{cm}}\)
(C'est le triplet 3-4-5 multiplié par 10.)
b) La diagonale mesurée (52 cm) est différente de la diagonale théorique (50 cm). L'angle n'est pas droit, le cadre n'est pas d'équerre.
Barème : 20 points
Dans un triangle rectangle en C, les côtés sont AC, BC et AB.
a) Quel est le nom du côté opposé à l'angle droit ? ............
b) Ce côté est-il le plus grand ou le plus petit du triangle ?
c) Écrire la formule du théorème de Pythagore : \(AB^2 = \ldots + \ldots\)
a) C'est l'hypoténuse, ici le côté AB.
b) C'est le plus grand côté du triangle.
c) \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Un triangle est rectangle en C avec AC = 9 cm et BC = 12 cm.
a) Identifier l'hypoténuse.
b) Calculer : \(AC^2 = 9^2 = \ldots\)
c) Calculer : \(BC^2 = 12^2 = \ldots\)
d) \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
e) \(AB = \sqrt{\ldots} = \ldots\) cm
a) L'hypoténuse est AB (opposée à l'angle droit en C).
b) \(AC^2 = 81\)
c) \(BC^2 = 144\)
d) \(AB^2 = 81 + 144 = 225\)
e) \(AB = \sqrt{225} = \mathbf{15\,\text{cm}}\)
Un triangle est rectangle en C avec AB = 15 cm (hypoténuse) et BC = 9 cm.
a) \(AB^2 = 15^2 = \ldots\)
b) \(BC^2 = 9^2 = \ldots\)
c) \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = \ldots - \ldots = \ldots\)
d) \(AC = \sqrt{\ldots} = \ldots\) cm
a) \(AB^2 = 225\)
b) \(BC^2 = 81\)
c) \(AC^2 = 225 - 81 = 144\)
d) \(AC = \sqrt{144} = \mathbf{12\,\text{cm}}\)
Un triangle a des côtés de 8 cm, 15 cm et 17 cm. Est-il rectangle ?
a) Le plus grand côté est : \(\ldots\) cm. Son carré : \(\ldots^2 = \ldots\)
b) Somme des carrés des deux autres : \(\ldots^2 + \ldots^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
c) Comparer et conclure.
a) Le plus grand côté est 17 cm. \(17^2 = 289\)
b) \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\)
c) \(289 = 289\) : les deux résultats sont égaux. Le triangle est rectangle (angle droit opposé au côté de 17 cm).
Un artisan vérifie l'équerrage d'une porte. Il mesure 60 cm sur un montant et 80 cm sur le seuil.
a) Quelle devrait être la longueur de la diagonale si l'angle est droit ?
b) Il mesure 98 cm. L'angle est-il droit ? Justifier.
a) \(d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3\,600 + 6\,400} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\text{cm}}\)
(C'est le triplet 3-4-5 multiplié par 20.)
b) La diagonale mesurée (98 cm) est différente de la diagonale théorique (100 cm). L'angle n'est pas droit, la porte n'est pas d'équerre.
Barème : 20 points
Un triangle est rectangle en B avec AB = 7 cm et BC = 9 cm.
a) Identifier l'hypoténuse. Justifier.
b) Calculer AC. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
a) L'angle droit est en B, donc l'hypoténuse est AC (côté opposé à B).
b) \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130\)
Valeur exacte : \(AC = \sqrt{130}\) cm
Valeur approchée : \(AC \approx \mathbf{11{,}40\,\text{cm}}\)
Un triangle rectangle en C a une hypoténuse AB = 17 cm et un côté AC = 8 cm.
a) Calculer le côté BC.
b) Vérifier le résultat en recalculant \(AC^2 + BC^2\).
a) \(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\)
\(BC = \sqrt{225} = \mathbf{15\,\text{cm}}\)
b) Vérification : \(AC^2 + BC^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 = AB^2\) ✔
Un triangle a des côtés de 7 cm, 10 cm et 12 cm. Est-il rectangle ?
Plus grand côté : 12 cm. \(12^2 = 144\)
Somme des carrés des deux autres : \(7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149\)
\(144 \neq 149\), donc le triangle n'est pas rectangle.
Un artisan menuisier fabrique une étagère en forme de triangle rectangle. L'étagère a deux côtés perpendiculaires de 45 cm et 60 cm.
a) Calculer la longueur de l'hypoténuse (le troisième côté).
b) Calculer le périmètre total de l'étagère.
c) Il fixe un tasseau le long de l'hypoténuse. Combien de mètres de tasseau doit-il découper ?
a) \(h = \sqrt{45^2 + 60^2} = \sqrt{2\,025 + 3\,600} = \sqrt{5\,625} = \mathbf{75\,\text{cm}}\)
(Triplet pythagoricien 3-4-5 multiplié par 15.)
b) \(P = 45 + 60 + 75 = \mathbf{180\,\text{cm}}\)
c) Le tasseau mesure 75 cm = 0,75 m.
Parmi les triplets suivants, lesquels sont des triplets pythagoriciens ? Justifier par le calcul.
a) (9, 12, 15)
b) (6, 8, 11)
a) \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\) et \(15^2 = 225\). \(225 = 225\) ✔ → Oui, c'est un triplet pythagoricien (multiple de 3-4-5 par 3).
b) \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) et \(11^2 = 121\). \(100 \neq 121\) → Non, ce n'est pas un triplet pythagoricien.
Barème : 20 points
Un triangle est rectangle en C avec AC = 5 cm et BC = 11 cm.
a) Identifier l'hypoténuse. Justifier.
b) Calculer AB. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.
a) L'angle droit est en C, donc l'hypoténuse est AB (côté opposé à C).
b) \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146\)
Valeur exacte : \(AB = \sqrt{146}\) cm
Valeur approchée : \(AB \approx \mathbf{12{,}08\,\text{cm}}\)
Un triangle rectangle en A a une hypoténuse BC = 20 cm et un côté AB = 12 cm.
a) Calculer le côté AC.
b) Vérifier le résultat en recalculant \(AB^2 + AC^2\).
a) \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256\)
\(AC = \sqrt{256} = \mathbf{16\,\text{cm}}\)
b) Vérification : \(AB^2 + AC^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2 = BC^2\) ✔
Un triangle a des côtés de 8 cm, 11 cm et 14 cm. Est-il rectangle ?
Plus grand côté : 14 cm. \(14^2 = 196\)
Somme des carrés des deux autres : \(8^2 + 11^2 = 64 + 121 = 185\)
\(196 \neq 185\), donc le triangle n'est pas rectangle.
Un fabricant de mobilier construit un panneau triangulaire pour un présentoir. Le panneau est un triangle rectangle avec deux côtés perpendiculaires de 36 cm et 48 cm.
a) Calculer la longueur de l'hypoténuse (le troisième côté).
b) Calculer le périmètre total du panneau.
c) Il pose un profilé en aluminium le long de l'hypoténuse. Combien de mètres de profilé doit-il découper ?
a) \(h = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1\,296 + 2\,304} = \sqrt{3\,600} = \mathbf{60\,\text{cm}}\)
(Triplet pythagoricien 3-4-5 multiplié par 12.)
b) \(P = 36 + 48 + 60 = \mathbf{144\,\text{cm}}\)
c) Le profilé mesure 60 cm = 0,60 m.
Parmi les triplets suivants, lesquels sont des triplets pythagoriciens ? Justifier par le calcul.
a) (8, 15, 17)
b) (7, 10, 13)
a) \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\) et \(17^2 = 289\). \(289 = 289\) ✔ → Oui, c'est un triplet pythagoricien.
b) \(7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149\) et \(13^2 = 169\). \(149 \neq 169\) → Non, ce n'est pas un triplet pythagoricien.
Barème : 20 points
Un triangle rectangle en A a pour côtés AB = \(2\sqrt{5}\) cm et AC = \(\sqrt{5}\) cm.
a) Calculer BC² en utilisant le théorème de Pythagore.
b) En déduire BC (valeur exacte simplifiée).
a) \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 + 5 = 20 + 5 = 25\)
b) \(BC = \sqrt{25} = \mathbf{5\,\text{cm}}\)
Un agenceur installe une rampe d'accès. Le dénivelé (hauteur) est de 1,20 m et la distance horizontale au sol est de 5 m.
a) Calculer la longueur de la rampe (arrondir au centième).
b) La norme impose que la rampe ne dépasse pas 5,20 m. La rampe est-elle conforme ?
c) Si la hauteur devait être réduite à 0,80 m (même distance horizontale), quelle serait la nouvelle longueur de rampe ?
a) \(L = \sqrt{5^2 + 1{,}20^2} = \sqrt{25 + 1{,}44} = \sqrt{26{,}44} \approx \mathbf{5{,}14\,\text{m}}\)
b) \(5{,}14 < 5{,}20\) : la rampe est conforme à la norme.
c) \(L = \sqrt{5^2 + 0{,}80^2} = \sqrt{25 + 0{,}64} = \sqrt{25{,}64} \approx \mathbf{5{,}06\,\text{m}}\)
Dans un rectangle ABCD, on donne AB = 12 cm et BC = 5 cm.
a) Calculer la longueur de la diagonale AC.
b) Les diagonales d'un rectangle sont-elles égales ? Donner la longueur de BD.
a) Le triangle ABC est rectangle en B. \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \mathbf{13\,\text{cm}}\)
b) Oui, les diagonales d'un rectangle sont toujours égales. Donc \(BD = AC = \mathbf{13\,\text{cm}}\).
Un conducteur de travaux doit vérifier qu'un mur est bien vertical. Il place un fil à plomb à 2 m du sommet du mur. Au sol, le fil touche à 8 cm de la base du mur. La hauteur du mur à cet endroit est de 2 m.
a) Si le mur était parfaitement vertical, quelle serait la longueur théorique du fil (du point d'accrochage au sol, en ligne droite) ?
b) La longueur réelle du fil est \(\sqrt{2^2 + 0{,}08^2}\). Calculer cette valeur.
c) Comparer avec 2 m. Le mur est-il vertical à 1 mm près ?
a) Si le mur est vertical, le fil descend droit : longueur = 2 m.
b) \(L = \sqrt{4 + 0{,}0064} = \sqrt{4{,}0064} \approx \mathbf{2{,}0016\,\text{m}}\)
c) Écart : \(2{,}0016 - 2 = 0{,}0016\,\text{m} = 1{,}6\,\text{mm}\). L'écart dépasse 1 mm, le mur n'est pas parfaitement vertical au millimètre près.
Montrer que le triangle de côtés \(a = 2n\), \(b = n^2 - 1\) et \(c = n^2 + 1\) (avec \(n \geq 2\) entier) est toujours rectangle. Vérifier pour \(n = 3\).
Le plus grand côté est \(c = n^2 + 1\).
\(a^2 + b^2 = (2n)^2 + (n^2 - 1)^2 = 4n^2 + n^4 - 2n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1\)
\(c^2 = (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1\)
\(a^2 + b^2 = c^2\) : le triangle est toujours rectangle.
Vérification pour \(n = 3\) : \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 10\). \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) ✔
Barème : 20 points
Un triangle rectangle en B a pour côtés AB = \(3\sqrt{2}\) cm et BC = \(\sqrt{2}\) cm.
a) Calculer AC² en utilisant le théorème de Pythagore.
b) En déduire AC (valeur exacte simplifiée).
a) \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 + 2 = 18 + 2 = 20\)
b) \(AC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \mathbf{2\sqrt{5}\,\text{cm}}\)
Un installateur de cuisines pose un plan de travail en angle. La distance le long du mur est de 2,40 m et la profondeur du plan est de 0,65 m.
a) Calculer la longueur de la coupe en diagonale (arrondir au centième).
b) Le fournisseur propose des baguettes de finition de 2,50 m. Une baguette suffit-elle pour la diagonale ?
c) Si la profondeur était réduite à 0,50 m (même longueur le long du mur), quelle serait la nouvelle longueur de coupe ?
a) \(L = \sqrt{2{,}40^2 + 0{,}65^2} = \sqrt{5{,}76 + 0{,}4225} = \sqrt{6{,}1825} \approx \mathbf{2{,}49\,\text{m}}\)
b) \(2{,}49 < 2{,}50\) : oui, une baguette de 2,50 m suffit.
c) \(L = \sqrt{2{,}40^2 + 0{,}50^2} = \sqrt{5{,}76 + 0{,}25} = \sqrt{6{,}01} \approx \mathbf{2{,}45\,\text{m}}\)
Dans un rectangle EFGH, on donne EF = 9 cm et FG = 40 cm.
a) Calculer la longueur de la diagonale EG.
b) Les diagonales d'un rectangle sont-elles égales ? Donner la longueur de FH.
a) Le triangle EFG est rectangle en F. \(EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{81 + 1\,600} = \sqrt{1\,681} = \mathbf{41\,\text{cm}}\)
b) Oui, les diagonales d'un rectangle sont toujours égales. Donc \(FH = EG = \mathbf{41\,\text{cm}}\).
Un chef de chantier vérifie la verticalité d'un poteau de 3 m à l'aide d'un fil à plomb. Le fil est accroché au sommet du poteau. Au sol, l'extrémité du fil se trouve à 5 cm de la base du poteau.
a) Si le poteau était parfaitement vertical, quelle serait la longueur théorique du fil (du sommet au sol, en ligne droite) ?
b) La longueur réelle du fil est \(\sqrt{3^2 + 0{,}05^2}\). Calculer cette valeur.
c) Comparer avec 3 m. Le poteau est-il vertical à 1 mm près ?
a) Si le poteau est vertical, le fil descend droit : longueur = 3 m.
b) \(L = \sqrt{9 + 0{,}0025} = \sqrt{9{,}0025} \approx \mathbf{3{,}00042\,\text{m}}\)
c) Écart : \(3{,}00042 - 3 = 0{,}00042\,\text{m} = 0{,}42\,\text{mm}\). L'écart est inférieur à 1 mm, le poteau est vertical au millimètre près.
Montrer que le triangle de côtés \(a = m^2 - n^2\), \(b = 2mn\) et \(c = m^2 + n^2\) (avec \(m > n \geq 1\) entiers) est toujours rectangle. Vérifier pour \(m = 3\) et \(n = 2\).
Le plus grand côté est \(c = m^2 + n^2\).
\(a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)
\(c^2 = (m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)
\(a^2 + b^2 = c^2\) : le triangle est toujours rectangle.
Vérification pour \(m = 3\), \(n = 2\) : \(a = 9 - 4 = 5\), \(b = 12\), \(c = 9 + 4 = 13\). \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ✔