Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ?
Triangle rectangle : hypoténuse = 5 m (l'échelle), côté horizontal = 1,5 m.
\(h^2 = 5^2 - 1{,}5^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75\)
\(h = \sqrt{22{,}75} \approx \mathbf{4{,}77}\) m
Exercice 5
Un poinçon de charpente forme un triangle rectangle. La base horizontale mesure 4,8 m et la hauteur verticale 1,8 m. Calculer la longueur du chevron (hypoténuse).
Un carreleur pose du carrelage dans un couloir. Il vérifie que les dalles sont bien alignées en mesurant la diagonale d'un rectangle de 2,4 m × 1,0 m. Calculer la longueur de la diagonale.
Si, dans un triangle de côtés \(a \leq b \leq c\), on vérifie que \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle et l'angle opposé au côté \(c\) est droit.
Méthode : identifier le plus grand côté, vérifier si son carré égale la somme des carrés des deux autres.
Exercice 7
Pour chaque triangle dont on connaît les trois côtés, vérifier s'il est rectangle :
Côtés : 9 cm, 12 cm et 15 cm.
Côtés : 5 cm, 7 cm et 9 cm.
Côtés : 8 m, 15 m et 17 m.
Méthode : vérifier si (grand côté)² = somme des carrés des deux autres.
Un menuisier pose un encadrement de porte. Les montants mesurent 210 cm, la traverse 90 cm. Il mesure la diagonale et obtient 228 cm. L'encadrement est-il bien d'équerre (angle droit) ?
Si l'angle est droit : diagonale attendue = \(\sqrt{210^2 + 90^2} = \sqrt{44\,100 + 8\,100} = \sqrt{52\,200} \approx 228{,}5\) cm
La diagonale mesurée (228 cm) est différente de la diagonale attendue (228,5 cm) : l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc l'encadrement n'est pas d'équerre. L'écart est faible (5 mm), mais sur un encadrement de porte il se voit à la pose : il faut reprendre l'assemblage. Aucune tolérance n'étant annoncée dans l'énoncé, on conclut sur la comparaison des deux valeurs.
Exercice 9
Un ouvrier trace un angle droit sur un chantier en utilisant la méthode 3-4-5 : il mesure 3 m sur un côté, 4 m sur l'autre, puis vérifie que la diagonale fait 5 m. Justifier pourquoi cette méthode garantit un angle droit.
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
Par la réciproque du théorème de Pythagore : si \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle et l'angle opposé au côté \(c\) est droit.
→ Les côtés 3, 4, 5 forment bien un triangle rectangle → l'angle entre les côtés 3 m et 4 m est droit à 90°.
C4 — Triplets pythagoriciens courants
Triplets pythagoriciens à connaître
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers \((a, b, c)\) vérifiant \(a^2 + b^2 = c^2\).
(3, 4, 5) — le plus courant (et ses multiples : 6-8-10, 9-12-15…) (5, 12, 13) — fréquent en charpente et menuiserie (8, 15, 17) — utile pour vérifier un angle droit sur chantier
Astuce : sur chantier, la méthode 3-4-5 permet de tracer un angle droit sans rapporteur.
Exercice 10
Compléter le tableau des triplets pythagoriciens :
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l'angle droit qui mesurent 9 m et 12 m. Sans calculatrice, déterminer la longueur de l'hypoténuse en utilisant un triplet pythagoricien connu. Justifier.
On reconnaît le triplet 3-4-5 multiplié par 3 : \((3\times3 ; 4\times3 ; 5\times3) = (9 ; 12 ; 15)\)
L'hypoténuse vaut \(\mathbf{15}\) m.
Vérification : \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) ✔
Exercice 11 bis
Sans calculatrice, en utilisant un triplet pythagoricien connu, déterminer l'hypoténuse de chaque triangle rectangle dont on donne les deux côtés de l'angle droit. Justifier le triplet utilisé.
Un technicien installe un panneau solaire sur un toit pentu. La toiture fait 6 m de longueur horizontale et 2,5 m de hauteur verticale. Calculer la longueur réelle du versant de toit sur lequel il posera le panneau.
Un agenceur fixe une étagère dans un angle. Pour que l'étagère soit horizontale, il pose un équerre triangulaire dont l'hypoténuse est 45 cm et un côté vertical est 27 cm. Calculer la longueur du côté horizontal de l'équerre.
Un menuisier vérifie l'équerrage d'une armoire en mesurant ses deux diagonales. Les dimensions de la façade sont 120 cm de largeur et 220 cm de hauteur. Calculer la longueur des diagonales. Si les deux diagonales sont égales, l'armoire est-elle bien d'équerre ?
Façade de l'armoire avec les deux diagonales
\(d^2 = 120^2 + 220^2 = 14\,400 + 48\,400 = 62\,800\)
\(d = \sqrt{62\,800} \approx \mathbf{250{,}6}\) cm
Les deux diagonales d'un rectangle sont toujours égales : si les deux diagonales mesurées sont toutes deux ≈ 250,6 cm, l'armoire est bien rectangulaire (d'équerre). Si l'une est différente de l'autre, les angles ne sont pas droits : c'est un défaut d'équerrage (la façade est en losange).
Exercice 15
Un installateur thermique doit faire passer un tuyau en diagonale dans un vide technique rectangulaire de 80 cm de largeur et 60 cm de hauteur. Quelle est la longueur maximale du tuyau rectiligne qui peut passer dans ce vide technique ?
Vide technique rectangulaire avec le tuyau en diagonale
La diagonale du rectangle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 80 cm et 60 cm.
\(L^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\)
\(L = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100}\) cm
Le tuyau peut mesurer au maximum 100 cm (= 1 m). On reconnaît le triplet 6-8-10 (× 10).
Exercice 16
Un couvreur doit atteindre le faîtage d'un toit. Il place une échelle de 6,5 m contre le mur. Le pied de l'échelle est à 2,5 m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Le faîtage est à 6,2 m : l'échelle est-elle suffisante ?
\(h^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36\)
\(h = \sqrt{36} = \mathbf{6}\) m
Le haut de l'échelle atteint 6 m, or le faîtage est à 6,2 m → l'échelle est insuffisante (il manque 20 cm).
Exercice 17
Un artisan menuisier fabrique un meuble d'angle triangulaire. La pièce a un angle droit parfait. Les deux murs mesurent 45 cm et 60 cm. Quelle longueur de façade (le côté qui ferme le meuble en diagonale) doit-il découper ?
Meuble d'angle : vue de dessus
\(f^2 = 45^2 + 60^2 = 2\,025 + 3\,600 = 5\,625\)
\(f = \sqrt{5\,625} = \mathbf{75}\) cm
La façade mesure 75 cm. On reconnaît le triplet 3-4-5 multiplié par 15 : \((45 ; 60 ; 75)\).
C6 — Raisonnement logique (contre-exemple, disjonction des cas)
Deux outils de raisonnement
Contre-exemple — pour montrer qu'une affirmation du type « tout … est … » est fausse, il suffit d'exhiber un seul exemple qui ne vérifie pas la propriété. À l'inverse, un exemple qui « marche » ne prouve jamais un « tout ».
Disjonction des cas — quand une situation peut se présenter de plusieurs façons (par ex. on ne sait pas quel côté est l'hypoténuse), on examine chaque cas séparément, puis on rassemble les résultats.
Exercice 18
Un élève affirme : « Tout triangle dont les trois côtés sont des nombres entiers consécutifs est rectangle. » Montrer que cette affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
On cherche un triangle à côtés entiers consécutifs qui ne soit PAS rectangle.
Prenons les côtés 2 ; 3 ; 4 (entiers consécutifs). Le plus grand côté est 4 :
\(4^2 = 16\) et \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Comme \(16 \neq 13\), ce triangle n'est pas rectangle.
Le triangle (2, 3, 4) est donc un contre-exemple : il suffit à infirmer l'affirmation. (Le cas 3-4-5, lui, fonctionne, mais un exemple qui marche ne prouve jamais un « tout ».)
Exercice 19
Un élève affirme : « Si on multiplie chaque côté d'un triangle rectangle par 2, le triangle obtenu n'est plus rectangle. » Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier (par un contre-exemple si elle est fausse).
Partons du triangle rectangle (3, 4, 5). En multipliant chaque côté par 2 on obtient (6, 8, 10).
Vérifions : \(10^2 = 100\) et \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Égalité vraie → (6, 8, 10) est encore rectangle.
Ce contre-exemple montre que l'affirmation est fausse : multiplier tous les côtés par un même nombre conserve les proportions, donc conserve l'angle droit.
Exercice 20
Dans un triangle rectangle, deux côtés mesurent 6 cm et 8 cm. On ne précise pas lequel est l'hypoténuse. Par une disjonction des cas, déterminer toutes les longueurs possibles du troisième côté.
On distingue deux cas selon la position de l'hypoténuse. Cas 1 — le côté inconnu \(x\) est l'hypoténuse (les deux côtés de l'angle droit sont 6 et 8) :
\(x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) → \(x = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) cm. Cas 2 — le côté de 8 cm est l'hypoténuse (6 et \(x\) sont les côtés de l'angle droit) :
\(x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28\) → \(x = \sqrt{28} \approx \mathbf{5{,}29}\) cm.
(Le côté de 6 cm ne peut pas être l'hypoténuse, car l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.) Conclusion : il y a deux longueurs possibles : \(x = 10\) cm ou \(x \approx 5{,}29\) cm. La disjonction des cas évite d'oublier une solution.
C7 — Algorithme des triplets pythagoriciens
Tester un triplet par un algorithme
Un triplet \((a, b, c)\) avec \(c\) le plus grand côté est pythagoricien si et seulement si \(a^2 + b^2 = c^2\). On peut traduire ce test en programme Python pour l'automatiser.
Exercice 21
On dispose de la fonction Python suivante, qui doit renvoyer True si \((a, b, c)\) est un triplet pythagoricien (\(c\) étant le plus grand côté), False sinon.
On veut compléter la fonction ci-dessous qui teste si \((a, b, c)\) est un triplet pythagoricien. Recopier et compléter la ligne contenant les pointillés.
Compléter les deux lignes contenant des pointillés.
Que renvoie l'appel est_pythagoricien(8, 15, 17) ? Justifier.
La condition teste l'égalité de Pythagore : if c**2 == a**2 + b**2 : et la dernière ligne renvoie return False.
\(17^2 = 289\) et \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). Égaux → l'appel renvoie True : (8, 15, 17) est bien un triplet pythagoricien.
Exercice 23
Le programme ci-dessous parcourt tous les triplets d'entiers \((a, b, c)\) avec \(a \le b \le c \le N\) et affiche ceux qui sont pythagoriciens.
def lister_triplets(N):
for a in range(1, N+1):
for b in range(a, N+1):
for c in range(b, N+1):
if a**2 + b**2 == c**2:
print(a, b, c)
lister_triplets(13)
Pourquoi la boucle sur b démarre-t-elle à a, et celle sur c à b ?
Donner la liste exacte des triplets affichés pour \(N = 13\).
On impose \(a \le b \le c\) : démarrer b à a et c à b garantit cet ordre et évite de compter plusieurs fois le même triplet (par ex. (3,4,5) et (4,3,5)).
Pour \(N = 13\), les triplets vérifiant \(a^2 + b^2 = c^2\) avec \(a \le b \le c \le 13\) sont :
• \((3, 4, 5)\) car \(9 + 16 = 25 = 5^2\) ;
• \((5, 12, 13)\) car \(25 + 144 = 169 = 13^2\) ;
• \((6, 8, 10)\) car \(36 + 64 = 100 = 10^2\).
Comme la boucle externe parcourt \(a\) de façon croissante, le programme affiche dans l'ordre : 3 4 5, 5 12 13, 6 8 10.