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Chapitre 12 – Exercices par capacités

Théorème de Pythagore et sa réciproque  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 02:25

Capacités et connaissances du programme :

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Ils sont rangés dans l'ordre du cours. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : la distance entre deux points d'un repère ; l'exercice 10 en donne un exemple. La contraposée n'est pas travaillée ici : le contrôle d'équerrage se rédige par l'absurde (C11).

C1 — Reconnaître la configuration et nommer les côtés

Rappel — Hypoténuse et côtés de l'angle droit

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit.

Trois façons de la repérer :

  1. elle est le côté qui ne touche pas le petit carré de l'angle droit ;
  2. elle est toujours le plus grand des trois côtés ;
  3. dans « rectangle en A », l'hypoténuse est le côté dont le nom ne contient pas la lettre A : ici [BC].

La position sur la feuille ne décide de rien : on cherche le petit carré, pas le côté « du bas ».

Exercice 1

Les trois triangles ci-dessous sont rectangles. Ils sont dessinés de travers.

Pour chaque triangle :

  1. nommer l'hypoténuse ;
  2. nommer les deux côtés de l'angle droit.

On cherche d'abord le petit carré, puis le côté qui ne le touche pas.

  • Triangle JKL, angle droit en K : hypoténuse [JL] ; côtés de l'angle droit [KJ] et [KL].
  • Triangle PQR, angle droit en Q : hypoténuse [PR], le côté horizontal du bas ; côtés de l'angle droit [QP] et [QR].
  • Triangle XYZ, angle droit en Z : hypoténuse [XY], le côté vertical ; côtés de l'angle droit [ZX] et [ZY].

L'hypoténuse peut être oblique, horizontale ou verticale : seule compte sa position en face de l'angle droit.

Exercice 2

Il n'y a pas de figure. Pour chaque triangle, nommer l'hypoténuse, puis écrire l'égalité de Pythagore.

  1. Triangle DEF rectangle en D.
  2. Triangle RST rectangle en T.
  3. Triangle MNP rectangle en N.

L'hypoténuse est le côté dont le nom ne contient pas la lettre de l'angle droit.

  1. Angle droit en D : hypoténuse [EF]. \(EF^2 = DE^2 + DF^2\)
  2. Angle droit en T : hypoténuse [RS]. \(RS^2 = RT^2 + ST^2\)
  3. Angle droit en N : hypoténuse [MP]. \(MP^2 = NM^2 + NP^2\)

Exercice 3

Un menuisier découpe un gabarit triangulaire. Ses trois côtés mesurent 9 cm, 12 cm et 15 cm. On sait que ce triangle est rectangle.

  1. Quel côté est l'hypoténuse ? Justifier sans calcul.
  2. Entre quels côtés se trouve l'angle droit ?
  3. Un charpentier affirme : « l'hypoténuse, c'est toujours le côté du bas ». Lui répondre en une phrase.
  1. L'hypoténuse est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle : c'est le côté de 15 cm.
  2. L'angle droit est en face de l'hypoténuse : il est entre le côté de 9 cm et le côté de 12 cm.
  3. Il a tort : la position sur la feuille ne décide de rien. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, que le triangle soit posé droit ou de travers.

C2 — Calculer l'hypoténuse

Rappel — Théorème de Pythagore

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

  1. Repérer l'angle droit, nommer l'hypoténuse, écrire l'égalité.
  2. Remplacer les deux côtés connus et calculer la somme des carrés.
  3. Prendre la racine carrée, à la calculatrice.

Contrôle de bon sens : l'hypoténuse est plus grande que chacun des deux côtés, mais plus petite que leur somme.

Exercice 4

Calculer l'hypoténuse de chaque triangle rectangle. Arrondir au centième si nécessaire.

  1. ABC rectangle en B, avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. Calculer AC.
  2. ABC rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.
  3. PQR rectangle en P, avec PQ = 4 cm et PR = 7 cm. Calculer QR.
  1. Angle droit en B, hypoténuse [AC]. \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) \(= 6^2 + 8^2 = 36 + 64\) \(= 100\), donc \(AC = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) cm.
  2. Angle droit en A, hypoténuse [BC]. \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) \(= 5^2 + 12^2 = 25 + 144\) \(= 169\), donc \(BC = \sqrt{169} = \mathbf{13}\) cm.
  3. Angle droit en P, hypoténuse [QR]. \(QR^2 = PQ^2 + PR^2\) \(= 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65\), donc \(QR = \sqrt{65} \approx \mathbf{8{,}06}\) cm.

Contrôle : 8,06 est plus grand que 7 et plus petit que \(4 + 7 = 11\).

Exercice 5

Une demi-ferme de charpente forme un triangle rectangle. La portée horizontale mesure 4,8 m et la hauteur du poinçon 1,8 m. Calculer la longueur du chevron, arrondie au centimètre.

Le chevron est en face de l'angle droit : c'est l'hypoténuse.

\(c^2 = 4{,}8^2 + 1{,}8^2\) \(= 23{,}04 + 3{,}24\) \(= 26{,}28\)

\(c = \sqrt{26{,}28} \approx \mathbf{5{,}13}\) m

Contrôle : 5,13 est plus grand que 4,8 et plus petit que \(4{,}8 + 1{,}8 = 6{,}6\).

Exercice 6

Un carreleur trace le calepinage d'un couloir. Pour contrôler son tracé, il calcule la diagonale d'un rectangle de 2,4 m sur 1,0 m. Quelle longueur doit-il trouver ?

La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles ; elle est leur hypoténuse.

\(d^2 = 2{,}4^2 + 1{,}0^2\) \(= 5{,}76 + 1 = 6{,}76\)

\(d = \sqrt{6{,}76} = \mathbf{2{,}6}\) m

Exercice 7

Un technicien doit poser des panneaux solaires sur un versant de toit. Ce versant couvre 6 m à l'horizontale et monte de 2,5 m. Calculer la longueur réelle du versant.

L'horizontale et la verticale forment l'angle droit ; le versant est l'hypoténuse.

\(L^2 = 6^2 + 2{,}5^2\) \(= 36 + 6{,}25 = 42{,}25\)

\(L = \sqrt{42{,}25}\) \(= \mathbf{6{,}5}\) m

Exercice 8

Un installateur thermique range des tubes rigides à plat dans un tiroir d'établi rectangulaire de 80 cm sur 60 cm. Quelle est la plus grande longueur de tube qu'il peut y loger à plat ?

La plus grande longueur à plat est la diagonale du rectangle. Elle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 80 cm et 60 cm.

\(L^2 = 80^2 + 60^2\) \(= 6\,400 + 3\,600\) \(= 10\,000\)

\(L = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100}\) cm, soit 1 m.

Exercice 9

Un agenceur fabrique un meuble d'angle triangulaire. Les deux côtés posés contre les murs forment un angle droit et mesurent 45 cm et 60 cm. La façade ferme le meuble en diagonale.

  1. Un apprenti annonce une façade de 105 cm, car \(45 + 60 = 105\). Sans calculer, expliquer pourquoi c'est impossible.
  2. Calculer la bonne longueur de façade.
  3. Vérifier le résultat par le contrôle de bon sens.
  1. L'apprenti additionne les longueurs. Le théorème porte sur les carrés. De plus, l'hypoténuse est toujours plus petite que la somme des deux autres côtés : elle ne peut pas valoir 105 cm.
  2. \(f^2 = 45^2 + 60^2\) \(= 2\,025 + 3\,600 = 5\,625\), donc \(f = \sqrt{5\,625} = \mathbf{75}\) cm.
  3. 75 est plus grand que 60 et plus petit que 105. On reconnaît le triplet 3-4-5 multiplié par 15.

Exercice 10 — Pour aller plus loin

Hors programme de Seconde, non évalué.

Sur la carte d'une course d'orientation, on a tracé un repère. Une unité vaut 100 m. Le départ est en D(1 ; 2), la première balise en B(7 ; 10) et la deuxième en C(10 ; 6).

  1. Calculer l'écart horizontal et l'écart vertical entre D et B, puis la distance DB en mètres, à vol d'oiseau.
  2. Calculer de même la distance BC en mètres.
  3. Au b., un élève calcule un écart vertical de \(6 - 10 = -4\). Cela change-t-il le résultat ?

Les deux écarts sont les côtés de l'angle droit ; la distance cherchée est l'hypoténuse.

  1. Écart horizontal \(7 - 1 = 6\), écart vertical \(10 - 2 = 8\). \(DB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(DB = 10\) unités, soit 1 000 m.
  2. Écart horizontal \(10 - 7 = 3\), écart vertical \(10 - 6 = 4\). \(BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(BC = 5\) unités, soit 500 m.
  3. Non : \((-4)^2 = 16\), comme \(4^2\). Le carré efface le signe. La distance, elle, est toujours positive.

C8 — Calculer un côté de l'angle droit

Rappel — Retrouver un côté de l'angle droit

Dans un triangle rectangle en A : \(AB^2 = BC^2 - AC^2\).

On part toujours du carré de l'hypoténuse, et on lui retire le carré du côté connu.

Erreur fréquente : soustraire dans le mauvais sens. Un carré de longueur n'est jamais négatif ; l'hypoténuse est le plus grand côté, donc son carré est le plus grand aussi.

Exercice 11

Calculer la longueur demandée. Arrondir au centième si nécessaire.

  1. ABC rectangle en A, avec BC = 13 m et AB = 5 m. Calculer AC.
  2. PQR rectangle en P, avec QR = 10 cm et PQ = 6 cm. Calculer PR.
  3. DEF rectangle en E, avec DF = 7 cm et DE = 4 cm. Calculer EF.
  1. Hypoténuse [BC]. \(AC^2 = BC^2 - AB^2\) \(= 13^2 - 5^2 = 169 - 25\) \(= 144\), donc \(AC = \sqrt{144} = \mathbf{12}\) m.
  2. Hypoténuse [QR]. \(PR^2 = QR^2 - PQ^2\) \(= 10^2 - 6^2 = 100 - 36\) \(= 64\), donc \(PR = \sqrt{64} = \mathbf{8}\) cm.
  3. Hypoténuse [DF], opposée à l'angle droit E. \(EF^2 = DF^2 - DE^2\) \(= 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33\), donc \(EF = \sqrt{33} \approx \mathbf{5{,}74}\) cm.

Contrôle : chaque côté trouvé est plus petit que l'hypoténuse.

Exercice 12

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Arrondir au centimètre.

L'échelle est en face de l'angle droit : c'est l'hypoténuse. La hauteur est un côté de l'angle droit.

\(h^2 = 5^2 - 1{,}5^2\) \(= 25 - 2{,}25 = 22{,}75\)

\(h = \sqrt{22{,}75} \approx \mathbf{4{,}77}\) m

Exercice 13

Un agenceur fixe une étagère au mur avec une équerre de fixation triangulaire. Le côté fixé au mur mesure 27 cm et la jambe de force, en biais, mesure 45 cm. Calculer la longueur du côté placé sous l'étagère.

L'angle droit est entre le mur et l'étagère ; la jambe de force, en face, est l'hypoténuse.

\(x^2 = 45^2 - 27^2\) \(= 2\,025 - 729 = 1\,296\)

\(x = \sqrt{1\,296} = \mathbf{36}\) cm

Exercice 14

Un couvreur doit atteindre une gouttière située à 6,2 m de haut. Il appuie une échelle de 6,5 m contre le mur, le pied à 2,5 m du mur. L'échelle est-elle assez longue, posée ainsi ?

L'échelle est l'hypoténuse ; la hauteur atteinte est un côté de l'angle droit.

\(h^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2\) \(= 42{,}25 - 6{,}25 = 36\), donc \(h = \sqrt{36} = \mathbf{6}\) m.

Le haut de l'échelle atteint 6 m, or la gouttière est à 6,2 m : posée ainsi, l'échelle ne suffit pas (il manque 20 cm).

Exercice 15

Un triangle rectangle a pour hypoténuse 25 cm et un côté de l'angle droit de 24 cm. On cherche le troisième côté \(x\).

  1. Tom écrit \(x^2 = 24^2 - 25^2\). Sans calculer, dire pourquoi c'est faux.
  2. Inès écrit \(x^2 = 24^2 + 25^2 = 1\,201\) et trouve \(x \approx 34{,}66\) cm. Sans refaire le calcul, dire pourquoi ce résultat est impossible.
  3. Calculer la bonne valeur de \(x\).
  1. Tom n'est pas parti de l'hypoténuse. \(24^2\) est plus petit que \(25^2\) : la différence serait négative, et aucun carré de longueur n'est négatif.
  2. Inès a additionné les carrés comme pour calculer une hypoténuse. Elle trouve 34,66 cm, plus grand que l'hypoténuse de 25 cm : c'est impossible, l'hypoténuse est le plus grand côté.
  3. \(x^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49\), donc \(x = \sqrt{49} = \mathbf{7}\) cm.

C9 — Réduire une distance en pente à l'horizontale

Rappel — Un plan est une vue de dessus

Sur un plan, les distances sont mesurées à l'horizontale. Sur un terrain en pente, le décamètre suit le sol : il mesure plus long. On ne reporte jamais sur un plan la distance mesurée le long du sol sans l'avoir corrigée.

La distance mesurée le long du sol est l'hypoténuse ; le dénivelé et la distance horizontale sont les côtés de l'angle droit.

Du terrain au plan : \(d^2 = (\text{mesure au sol})^2 - (\text{dénivelé})^2\). Du plan au terrain (clôture, grillage, qui suivent le sol) : \((\text{longueur au sol})^2 = d^2 + (\text{dénivelé})^2\).

Exercice 16

Un géomètre mesure 26 m le long d'un talus. Entre les deux extrémités de sa mesure, le terrain descend de 10 m.

  1. Sur le schéma, laquelle des trois longueurs est l'hypoténuse ?
  2. Quelle distance doit-il reporter sur le plan ?
  1. La distance mesurée le long du sol, 26 m : elle est en face de l'angle droit formé par l'horizontale et la verticale.
  2. \(d^2 = 26^2 - 10^2\) \(= 676 - 100 = 576\), donc \(d = \sqrt{576} = \mathbf{24}\) m. Il reporte 24 m sur le plan, et non 26 m.

Exercice 17

Sur une carte de randonnée, les distances sont horizontales. Deux tronçons d'un sentier sont donnés ci-dessous.

TronçonDistance sur la carteDénivelé (montée)
1400 m90 m
21,2 km150 m
  1. Calculer la longueur réellement parcourue sur le tronçon 1.
  2. Même question pour le tronçon 2, au mètre près.
  3. De combien de mètres la carte sous-estime-t-elle chaque tronçon ?

Ici on va du plan au terrain : la distance de la carte et le dénivelé sont les côtés de l'angle droit, le sentier est l'hypoténuse.

  1. \(L^2 = 400^2 + 90^2\) \(= 160\,000 + 8\,100\) \(= 168\,100\), donc \(L = \sqrt{168\,100} = \mathbf{410}\) m.
  2. 1,2 km = 1 200 m. \(L^2 = 1\,200^2 + 150^2\) \(= 1\,440\,000 + 22\,500\) \(= 1\,462\,500\), donc \(L = \sqrt{1\,462\,500} \approx \mathbf{1\,209}\) m.
  3. Tronçon 1 : \(410 - 400 = 10\) m. Tronçon 2 : environ \(1\,209 - 1\,200 = 9\) m.

Exercice 18

Une commune clôture un pré pour y installer des moutons en écopâturage. Sur le plan, deux piquets d'angle sont distants de 60 m. Entre eux, le terrain monte de 11 m. Le grillage sera posé sur le sol, d'un piquet à l'autre.

  1. Quelle longueur de grillage faut-il prévoir entre ces deux piquets ?
  2. Expliquer en une phrase pourquoi ce n'est pas 60 m.
  1. La distance du plan (60 m) et le dénivelé (11 m) sont les côtés de l'angle droit ; le grillage suit le sol, c'est l'hypoténuse. \(L^2 = 60^2 + 11^2\) \(= 3\,600 + 121 = 3\,721\), donc \(L = \sqrt{3\,721} = \mathbf{61}\) m.
  2. Le plan donne la distance horizontale ; le grillage, lui, suit la pente, qui est plus longue.

Exercice 19

Un géomètre mesure 30 m le long d'une pente qui descend de 4 m. Yanis, son stagiaire, reporte 30 m sur le plan.

  1. Expliquer l'erreur de Yanis.
  2. Calculer la distance à reporter, au centimètre près.
  3. De combien Yanis se trompe-t-il ?
  4. Lisa calcule \(\sqrt{30^2 + 4^2} \approx 30{,}27\) m. Sans refaire le calcul, dire pourquoi son résultat ne peut pas être la distance du plan.
  1. Un plan est une vue de dessus : on y reporte la distance horizontale, pas celle mesurée le long de la pente, qui est plus longue.
  2. \(d^2 = 30^2 - 4^2 = 900 - 16 = 884\), donc \(d = \sqrt{884} \approx \mathbf{29{,}73}\) m.
  3. \(30 - 29{,}73 = 0{,}27\) m : il se trompe de 27 cm. Sur une limite de propriété, c'est beaucoup.
  4. La distance du plan est un côté de l'angle droit : elle est plus petite que la mesure le long du sol (30 m). Lisa trouve plus de 30 m, car elle a additionné les carrés au lieu de les soustraire.

C3 — La réciproque : prouver qu'un angle est droit

Rappel — Réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

  1. Repérer le plus grand côté et calculer son carré, à part.
  2. Calculer la somme des carrés des deux autres, à part.
  3. Comparer les deux nombres, puis conclure par une phrase.

On n'écrit pas l'égalité avant de l'avoir vérifiée. Si les deux nombres sont différents, le triangle n'est pas rectangle : on n'écrit pas « presque rectangle ».

Direct ou réciproque ? Le théorème : je sais que l'angle est droit, je cherche une longueur. La réciproque : je connais les trois longueurs, je cherche à prouver l'angle droit.

Exercice 20

Pour chaque triangle, dire s'il est rectangle. Rédiger les deux calculs séparément, puis conclure.

  1. Côtés : 9 cm, 12 cm et 15 cm.
  2. Côtés : 5 cm, 7 cm et 9 cm.
  3. Côtés : 8 m, 15 m et 17 m.
  1. Plus grand côté : 15 cm. D'une part \(15^2 = 225\). D'autre part \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé au côté de 15 cm.
  2. Plus grand côté : 9 cm. D'une part \(9^2 = 81\). D'autre part \(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\). Comme \(81 \neq 74\), le triangle n'est pas rectangle.
  3. Plus grand côté : 17 m. D'une part \(17^2 = 289\). D'autre part \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\). Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé au côté de 17 m.

Exercice 21

Pour chaque situation, dire si l'on utilise le théorème de Pythagore ou sa réciproque, puis répondre.

  1. Un menuisier fabrique une porte rectangulaire de 0,90 m sur 2,00 m. Quelle est la longueur de sa diagonale, au centimètre près ?
  2. Il mesure les trois côtés d'un gabarit triangulaire : 20 cm, 21 cm et 29 cm. Le coin est-il d'équerre ? Où est l'angle droit ?
  3. Écrire la réciproque de : « Si un quadrilatère est un carré, alors ses quatre côtés ont la même longueur. » Est-elle vraie ?
  1. Théorème : les angles de la porte sont droits, on cherche une longueur. \(d^2 = 0{,}90^2 + 2{,}00^2\) \(= 0{,}81 + 4 = 4{,}81\), donc \(d = \sqrt{4{,}81} \approx \mathbf{2{,}19}\) m.
  2. Réciproque : on connaît les trois longueurs, on veut prouver l'angle droit. D'une part \(29^2 = 841\). D'autre part \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le gabarit est rectangle. L'angle droit est opposé au côté de 29 cm : il est entre les côtés de 20 cm et de 21 cm.
  3. Réciproque : « Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un carré. » Elle est fausse : un losange qui n'a pas d'angle droit a quatre côtés égaux sans être un carré. Une réciproque n'est pas toujours vraie.

Exercice 22

Sur le plan de deux voiles de dériveur, on lit les longueurs des trois bords. Le bord le long du mât et le bord le long de la bôme sont les deux plus courts.

VoileBord 1Bord 2Bord 3
A2,80 m4,50 m5,30 m
B2,50 m4,20 m4,90 m

Pour chaque voile, dire si l'angle entre le mât et la bôme est droit. Justifier.

Voile A. D'une part \(5{,}30^2 = 28{,}09\). D'autre part \(2{,}80^2 + 4{,}50^2 = 7{,}84 + 20{,}25\) \(= 28{,}09\). Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au bord de 5,30 m, donc entre le mât et la bôme. L'angle est droit.

Voile B. D'une part \(4{,}90^2 = 24{,}01\). D'autre part \(2{,}50^2 + 4{,}20^2 = 6{,}25 + 17{,}64\) \(= 23{,}89\). Comme \(24{,}01 \neq 23{,}89\), le triangle n'est pas rectangle : l'angle n'est pas droit.

Exercice 23

Deux rédactions sont à corriger.

  1. Pour un triangle de côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm, Samir écrit : « \(25^2 = 7^2 + 24^2\), donc le triangle est rectangle. » Qu'est-ce qui ne va pas ? Rédiger correctement la preuve.
  2. Pour un triangle de côtés 10 cm, 11 cm et 15 cm, Inès trouve \(15^2 = 225\) et \(10^2 + 11^2 = 221\). Elle conclut : « le triangle est presque rectangle. » Corriger sa conclusion.
  1. Samir écrit l'égalité avant de l'avoir vérifiée : il suppose ce qu'il veut prouver. Rédaction correcte : d'une part \(25^2 = 625\). D'autre part \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\). Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé au côté de 25 cm.
  2. Comme \(225 \neq 221\), le triangle n'est pas rectangle. La conclusion est aussi ferme que dans le cas d'une égalité : « presque rectangle » ne veut rien dire ici.

C11 — Raisonner par l'absurde : le contrôle d'équerrage

Rappel — Raisonnement par l'absurde

Pour montrer qu'une affirmation est fausse, on la suppose vraie. On en tire une conséquence. Si cette conséquence contredit un fait connu, l'affirmation ne pouvait pas être vraie : elle est donc fausse.

Rédiger en trois temps :

  1. Supposons que … (on écrit ce qu'on veut réfuter).
  2. Alors, d'après le théorème de Pythagore, … (on calcule la conséquence).
  3. Or … (le fait mesuré) : c'est impossible. Donc … (la conclusion inverse de la supposition).

Exemple du cours : un panneau de 90 cm sur 120 cm devrait avoir une diagonale de \(\sqrt{90^2 + 120^2} = 150\) cm. Si l'on mesure 152 cm, il n'est pas d'équerre.

Exercice 24

Un cadre fait maison doit mesurer 45 cm sur 60 cm.

  1. Quelle serait sa diagonale s'il était bien d'équerre ?
  2. On mesure sa diagonale : 74 cm. Compléter le raisonnement par l'absurde.

Supposons que ………………………………………………

Alors, d'après le théorème de Pythagore, ………………………………

Or ……………………………………………… : c'est impossible.

Donc ………………………………………………

  1. \(\sqrt{45^2 + 60^2} = \sqrt{2\,025 + 3\,600}\) \(= \sqrt{5\,625}\) \(= \mathbf{75}\) cm.
  2. Supposons que le cadre soit d'équerre. Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait 75 cm. Or elle mesure 74 cm : c'est impossible. Donc le cadre n'est pas d'équerre.

Exercice 25

Un menuisier pose un encadrement de porte. Les montants mesurent 210 cm et la traverse 90 cm. Il mesure la diagonale et obtient 228 cm.

  1. Calculer la diagonale attendue si l'encadrement est d'équerre, au millimètre près.
  2. Rédiger en trois temps la conclusion du menuisier, par l'absurde.
  1. \(\sqrt{210^2 + 90^2} = \sqrt{44\,100 + 8\,100}\) \(= \sqrt{52\,200} \approx \mathbf{228{,}5}\) cm.
  2. Supposons que l'encadrement soit d'équerre. Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait environ 228,5 cm. Or elle mesure 228 cm : c'est impossible. Donc l'encadrement n'est pas d'équerre. L'écart est faible (5 mm), mais il se voit à la pose : il faut reprendre l'assemblage.

Exercice 26

Un menuisier contrôle la façade d'une armoire, qui doit mesurer 120 cm de large et 220 cm de haut.

  1. Calculer la diagonale attendue si la façade est d'équerre, au millimètre près.
  2. Sur une première armoire, il mesure 252 cm. Rédiger sa conclusion par l'absurde.
  3. Sur une seconde armoire de mêmes dimensions, il mesure 250,6 cm. Peut-il conclure, par le même raisonnement, que cette armoire n'est pas d'équerre ? Expliquer.
  1. \(\sqrt{120^2 + 220^2} = \sqrt{14\,400 + 48\,400}\) \(= \sqrt{62\,800} \approx \mathbf{250{,}6}\) cm.
  2. Supposons que la façade soit d'équerre. Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait environ 250,6 cm. Or elle mesure 252 cm : c'est impossible. Donc la façade n'est pas d'équerre.
  3. Non. La diagonale mesurée est celle qu'on attend : il n'y a aucune contradiction. Le raisonnement par l'absurde ne permet donc pas de conclure que l'armoire n'est pas d'équerre.

Exercice 27

Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm. S'il était rectangle, son hypoténuse serait le côté de 8 cm.

  1. Montrer par l'absurde que ce triangle n'est pas rectangle. Rédiger en trois temps : « Supposons… Alors… Or… Donc… ».
  2. Un élève commence par : « Supposons que le triangle ne soit pas rectangle. » Pourquoi cette supposition ne mène-t-elle nulle part ?
  1. Supposons que le triangle soit rectangle. Alors, d'après le théorème de Pythagore, \(8^2 = 5^2 + 6^2\), c'est-à-dire \(64 = 61\) (car \(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\)). Or \(64 \neq 61\) : c'est impossible. Donc le triangle n'est pas rectangle.
  2. On suppose ce qu'on veut réfuter, c'est-à-dire « le triangle est rectangle ». L'élève suppose déjà la conclusion. De plus, le théorème de Pythagore ne dit rien d'un triangle qui n'est pas rectangle : il n'en tire aucune conséquence.

C4 — Les triplets pythagoriciens et la règle du 3-4-5

Rappel — Triplets pythagoriciens

Trois nombres entiers \((a\,;\,b\,;\,c)\) forment un triplet pythagoricien lorsque \(a^2 + b^2 = c^2\).

À connaître : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, et tous leurs multiples (6-8-10, 9-12-15, 30-40-50…). Multiplier les trois côtés par un même nombre ne change pas les angles.

Règle du 3-4-5 : 3 m sur un mur, 4 m sur l'autre, diagonale ajustée à 5 m : l'angle est droit, par la réciproque. Sur un grand ouvrage, on prend un multiple (6-8-10, 9-12-15) pour gagner en précision.

Trois entiers ne suffisent pas : il faut vérifier l'égalité.

Exercice 28

Chaque colonne du tableau est un triplet pythagoricien. Compléter les cases marquées d'un point d'interrogation.

Côté de l'angle droit358?6
Côté de l'angle droit4121524?
Hypoténuse5??2510
Côté de l'angle droit35876
Côté de l'angle droit41215248
Hypoténuse513172510

\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) ; \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) ; \(25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49 = 7^2\) ; \(10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 = 8^2\).

Exercice 29

Dire si chaque liste est un triplet pythagoricien. Justifier par le calcul. Si oui, dire de quel triplet du cours il est un multiple.

  1. \((15\,;\,20\,;\,25)\)
  2. \((20\,;\,48\,;\,52)\)
  3. \((4\,;\,6\,;\,7)\)
  4. Un élève multiplie 8-15-17 par 2 et écrit \((16\,;\,30\,;\,32)\). Trouver son erreur.
  1. \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\) et \(25^2 = 625\). Égaux : oui. C'est 3-4-5 multiplié par 5.
  2. \(20^2 + 48^2 = 400 + 2\,304\) \(= 2\,704\) et \(52^2 = 2\,704\). Égaux : oui. C'est 5-12-13 multiplié par 4.
  3. \(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\) et \(7^2 = 49\). Comme \(52 \neq 49\) : non. Trois entiers ne suffisent pas.
  4. \(17 \times 2 = 34\), et non 32. Le bon triplet est \((16\,;\,30\,;\,34)\) : \(16^2 + 30^2 = 256 + 900\) \(= 1\,156 = 34^2\). Avec 32, \(32^2 = 1\,024 \neq 1\,156\).

Exercice 30

Sans calculatrice, en reconnaissant un triplet du cours, donner l'hypoténuse de chaque triangle rectangle dont on connaît les deux côtés de l'angle droit. Préciser le triplet utilisé.

  1. 9 m et 12 m.
  2. 30 cm et 40 cm.
  3. 10 cm et 24 cm.
  4. 16 cm et 30 cm.
  1. \((9\,;\,12) = 3 \times (3\,;\,4)\) : triplet 3-4-5 multiplié par 3, hypoténuse \(3 \times 5 = \mathbf{15}\) m. Vérification : \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\).
  2. \((30\,;\,40) = 10 \times (3\,;\,4)\) : triplet 3-4-5 multiplié par 10, hypoténuse \(\mathbf{50}\) cm. Vérification : \(900 + 1\,600 = 2\,500 = 50^2\).
  3. \((10\,;\,24) = 2 \times (5\,;\,12)\) : triplet 5-12-13 multiplié par 2, hypoténuse \(\mathbf{26}\) cm. Vérification : \(100 + 576 = 676 = 26^2\).
  4. \((16\,;\,30) = 2 \times (8\,;\,15)\) : triplet 8-15-17 multiplié par 2, hypoténuse \(\mathbf{34}\) cm. Vérification : \(256 + 900 = 1\,156 = 34^2\).

Exercice 31

Un maçon implante un angle droit sans équerre, avec la règle du 3-4-5 : 3 m sur un côté, 4 m sur l'autre, puis il ajuste jusqu'à ce que la diagonale mesure 5 m.

  1. Justifier que cette méthode donne un angle droit en B.
  2. Il dispose d'un cordeau de 36 m, qu'il referme en boucle. Quelles trois longueurs doit-il y marquer pour employer un multiple du triplet 3-4-5 ?
  3. Pourquoi vaut-il mieux employer ce multiple que 3-4-5 sur un grand ouvrage ?
  1. D'une part \(5^2 = 25\). D'autre part \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de 5 m : il est en B.
  2. \(3 + 4 + 5 = 12\) et \(36 \div 12 = 3\) : il marque 9 m, 12 m et 15 m. Contrôle : \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\).
  3. Les longueurs sont plus grandes : une même erreur de mesure pèse moins sur l'angle, qui est donc plus précis.

C6 — Infirmer une affirmation : le contre-exemple

Rappel — Contre-exemple

Une affirmation qui commence par « tout… », « toujours », « n'importe quel… » prétend valoir dans tous les cas. Pour la réfuter, il suffit d'un seul cas qui ne marche pas : un contre-exemple.

  1. Annoncer le cas choisi, avec ses nombres.
  2. Faire le calcul qui montre qu'il ne marche pas.
  3. Conclure : « donc l'affirmation est fausse ».

Un exemple qui marche ne démontre rien ; un contre-exemple, lui, réfute définitivement.

Exercice 32

Un élève affirme : « Tout triangle dont les trois côtés sont des nombres entiers consécutifs est rectangle. » Il s'appuie sur 3-4-5. Montrer que l'affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple.

Prenons le triangle de côtés 4 ; 5 ; 6 (entiers consécutifs). Le plus grand côté est 6.

\(6^2 = 36\) et \(4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41\). Comme \(36 \neq 41\), ce triangle n'est pas rectangle.

Donc l'affirmation est fausse. Le triangle 2-3-4 convient aussi : \(4^2 = 16\) et \(2^2 + 3^2 = 13\). Le cas 3-4-5 marche, mais un exemple ne prouve jamais un « tout ».

Exercice 33

Pour chaque affirmation, donner un contre-exemple, puis conclure.

  1. « Si les trois côtés d'un triangle sont des nombres entiers, alors il est rectangle. »
  2. « Tout triangle dont deux côtés mesurent 9 cm et 12 cm est rectangle. »
  3. « Si un nombre est pair, alors il se termine par 0. »
  1. Prenons 2 cm, 3 cm et 4 cm. \(4^2 = 16\) et \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\). Comme \(16 \neq 13\), ce triangle n'est pas rectangle. Donc l'affirmation est fausse.
  2. Prenons un troisième côté de 10 cm. Le plus grand côté mesure 12 cm : \(12^2 = 144\) et \(9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181\). Comme \(144 \neq 181\), ce triangle n'est pas rectangle. Donc l'affirmation est fausse.
  3. Prenons 14 : il est pair, mais il se termine par 4. Donc l'affirmation est fausse.

Tout autre contre-exemple juste convient.

Exercice 34

Un élève affirme : « Si on multiplie chaque côté d'un triangle rectangle par 2, le triangle obtenu n'est plus rectangle. » Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.

Partons du triangle rectangle 3-4-5. En multipliant chaque côté par 2, on obtient 6-8-10.

\(10^2 = 100\) et \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Les deux sont égaux : d'après la réciproque, le triangle 6-8-10 est encore rectangle.

Ce contre-exemple montre que l'affirmation est fausse. Agrandir un triangle rectangle le laisse rectangle.

Exercice 35

  1. Nadia affirme : « Tout triangle dont les côtés sont trois entiers qui se suivent est rectangle. » Pour le prouver, elle donne le triangle 3-4-5, qui est bien rectangle. Pourquoi cet exemple ne suffit-il pas ?
  2. Lina veut réfuter l'affirmation « Tout triangle dont un côté mesure 5 cm et un autre 12 cm est rectangle. » Elle propose le triangle 5-12-13. Pourquoi n'est-ce pas un contre-exemple ? En donner un correct.
  1. L'affirmation dit « tout » : elle prétend valoir dans tous les cas. Un exemple qui marche ne montre qu'un cas ; il ne démontre rien pour les autres.
  2. Le triangle 5-12-13 est rectangle (\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)) : il vérifie l'affirmation, il ne la contredit pas. Un contre-exemple doit être un cas qui ne marche pas. Prenons un troisième côté de 8 cm : \(12^2 = 144\) et \(5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89\). Comme \(144 \neq 89\), ce triangle n'est pas rectangle : l'affirmation est fausse.

C10 — Raisonner par disjonction des cas

Rappel — Disjonction des cas

Raisonner par disjonction des cas, c'est découper la situation en toutes les possibilités, les traiter une par une, et écarter celles qui sont impossibles.

Quand l'énoncé donne deux côtés d'un triangle rectangle sans dire lequel est l'hypoténuse, il y a trois cas :

  • le plus grand côté donné est l'hypoténuse : on soustrait les carrés ;
  • les deux côtés donnés encadrent l'angle droit : on additionne les carrés ;
  • le plus petit côté donné est l'hypoténuse : impossible, l'hypoténuse est le plus grand côté.

S'arrêter au premier cas est une erreur : il faut toutes les réponses, et dire pourquoi le troisième cas est écarté.

Exercice 36

Un triangle rectangle a deux côtés qui mesurent 9 cm et 15 cm. On ne sait pas lequel est l'hypoténuse. Compléter l'examen des cas. Arrondir au centième si nécessaire.

  • Cas 1 — le côté de 15 cm est l'hypoténuse. Alors \(x^2 = \ldots\)
  • Cas 2 — les côtés de 9 cm et 15 cm encadrent l'angle droit. Alors \(x^2 = \ldots\)
  • Cas 3 — le côté de 9 cm est l'hypoténuse. Ce cas est-il possible ?

Conclure en donnant toutes les longueurs possibles du troisième côté.

Cas 1 : \(x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\), donc \(x = \sqrt{144} = 12\) cm. Possible.

Cas 2 : \(x^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306\), donc \(x = \sqrt{306} \approx 17{,}49\) cm. Possible.

Cas 3 : impossible, car l'hypoténuse est le plus grand côté, et \(9 < 15\).

Il y a donc deux réponses possibles : 12 cm ou environ 17,49 cm.

Exercice 37

Dans un triangle rectangle, deux côtés mesurent 6 cm et 8 cm. L'énoncé ne dit pas lequel est l'hypoténuse.

  1. Par une disjonction des cas, déterminer toutes les longueurs possibles du troisième côté, arrondies au centième.
  2. Ali ne répond que 10 cm. Qu'a-t-il oublié ?
  3. Que faudrait-il ajouter à l'énoncé pour qu'il n'y ait plus qu'une seule réponse ? Donner deux façons de le faire.
  1. Cas 1 — le côté de 8 cm est l'hypoténuse : \(x^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28\), donc \(x = \sqrt{28} \approx \mathbf{5{,}29}\) cm. Possible.
    Cas 2 — les deux côtés donnés encadrent l'angle droit : \(x^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(x = \mathbf{10}\) cm. Possible.
    Cas 3 — le côté de 6 cm est l'hypoténuse : impossible, car \(6 < 8\) et l'hypoténuse est le plus grand côté.
    Deux réponses possibles : environ 5,29 cm ou 10 cm.
  2. Il n'a traité que le cas 2. Il a oublié le cas où le côté de 8 cm est l'hypoténuse (environ 5,29 cm), et il n'a pas dit pourquoi le cas 3 est impossible.
  3. Il suffit de dire quel côté est l'hypoténuse. Par exemple : « le côté de 8 cm est l'hypoténuse » (seule réponse : environ 5,29 cm), ou « les deux côtés donnés forment l'angle droit » (seule réponse : 10 cm). Nommer le sommet de l'angle droit convient aussi.

Exercice 38

Une famille achète une voile d'ombrage triangulaire, avec un angle droit. Sur la notice abîmée, on lit seulement que deux de ses bords mesurent 3 m et 4 m. On veut connaître la longueur du troisième bord pour acheter le câble de tension.

  1. Donner toutes les longueurs possibles du troisième bord, au centimètre près.
  2. Le vendeur affirme : « Le troisième bord mesure 5 m, c'est le triplet 3-4-5. » A-t-il forcément raison ?
  3. Quelle mesure suffirait à trancher ?
  1. Cas 1 — le bord de 4 m est l'hypoténuse : \(x^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7\), donc \(x = \sqrt{7} \approx \mathbf{2{,}65}\) m.
    Cas 2 — les bords de 3 m et 4 m encadrent l'angle droit : \(x^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), donc \(x = \mathbf{5}\) m.
    Cas 3 — le bord de 3 m est l'hypoténuse : impossible, car \(3 < 4\).
    Deux réponses possibles : environ 2,65 m ou 5 m.
  2. Non : il ne traite que le cas 2. Si le bord de 4 m est l'hypoténuse, le troisième mesure environ 2,65 m.
  3. Savoir où est l'angle droit : s'il est entre les bords de 3 m et de 4 m, c'est 5 m. On peut aussi mesurer le troisième bord directement.

C5 — Pythagore dans l'espace : la diagonale d'un pavé

Rappel — La grande diagonale d'un pavé droit

Pour un pavé de dimensions \(L\), \(\ell\) et \(h\), on applique le théorème deux fois :

  1. dans le fond, rectangle \(L \times \ell\) : \(d^2 = L^2 + \ell^2\) ;
  2. la diagonale du fond \(d\), la hauteur \(h\) et la grande diagonale \(D\) forment un triangle rectangle : \(D^2 = d^2 + h^2\) ;
  3. en remplaçant : \(D^2 = L^2 + \ell^2 + h^2\).

La grande diagonale est la plus grande longueur d'un objet rigide qui peut entrer dans le pavé.

Exercice 39

Un coffre de chantier a la forme d'un pavé droit : 120 cm de long, 50 cm de large et 60 cm de haut.

  1. Calculer la diagonale du fond \(d\).
  2. En déduire la grande diagonale \(D\), au millimètre près.
  3. Une règle de maçon de 1,40 m peut-elle entrer dans le coffre ? À plat dans le fond, ou seulement en biais ?
  4. Et une règle de 1,50 m ?
  1. Le fond est un rectangle : \(d^2 = 120^2 + 50^2\) \(= 14\,400 + 2\,500\) \(= 16\,900\), donc \(d = \sqrt{16\,900} = \mathbf{130}\) cm.
  2. \(d\), la hauteur et \(D\) forment un triangle rectangle : \(D^2 = 130^2 + 60^2\) \(= 16\,900 + 3\,600\) \(= 20\,500\), donc \(D = \sqrt{20\,500} \approx \mathbf{143{,}2}\) cm.
  3. 1,40 m = 140 cm. Comme \(140 > 130\), elle ne tient pas à plat dans le fond. Comme \(140 < 143{,}2\), elle entre en biais, du coin du fond au coin opposé du dessus.
  4. 1,50 m = 150 cm, et \(150 > 143{,}2\) : elle n'entre pas.

Exercice 40

Pour une fête, des élèves veulent tendre une guirlande en ligne droite, d'un coin du sol au coin opposé du plafond d'une salle. La salle est un pavé droit de 9 m de long, 7 m de large et 3 m de haut.

  1. Calculer la longueur de guirlande nécessaire, au centimètre près.
  2. Ils ont une guirlande de 12 m. Est-elle assez longue ?
  1. Diagonale du sol : \(d^2 = 9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130\).
    Grande diagonale : \(D^2 = d^2 + 3^2 = 130 + 9 = 139\), donc \(D = \sqrt{139} \approx \mathbf{11{,}79}\) m.
    Directement : \(D^2 = 9^2 + 7^2 + 3^2 = 139\).
  2. \(12 > 11{,}79\) : oui, elle est assez longue, avec environ 21 cm de marge.

Exercice 41

Un plombier doit transporter une barre de cuivre rigide de 3,20 m. Le volume de chargement de son fourgon est un pavé droit de 2,50 m de long, 1,60 m de large et 1,40 m de haut.

Son apprenti calcule la diagonale du plancher, trouve environ 2,97 m, et affirme : « La barre n'entre pas. »

  1. Vérifier le calcul de l'apprenti.
  2. A-t-il raison ? Justifier par le calcul.
  1. \(d^2 = 2{,}50^2 + 1{,}60^2\) \(= 6{,}25 + 2{,}56 = 8{,}81\), donc \(d = \sqrt{8{,}81} \approx 2{,}97\) m. Le calcul est juste.
  2. Non. Il s'arrête à la diagonale du plancher. La plus grande longueur est la grande diagonale : \(D^2 = 8{,}81 + 1{,}40^2\) \(= 8{,}81 + 1{,}96\) \(= 10{,}77\), donc \(D = \sqrt{10{,}77} \approx \mathbf{3{,}28}\) m. Comme \(3{,}20 < 3{,}28\), la barre entre, posée en biais du coin du plancher au coin opposé du plafond.

C7 — Chercher des triplets au tableur

Rappel — Le test, écrit une seule fois

Trois colonnes pour \(a\), \(b\) et \(c\), puis une quatrième qui répond :

=SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non")

^2 se lit « au carré ». On écrit la formule une fois, puis on la recopie vers le bas : les références suivent la ligne toutes seules.

Erreur fréquente : écrire A2*2 au lieu de A2^2. A2*2 est le double, pas le carré.

Exercice 42

Un contrôleur a préparé la feuille de calcul ci-dessous pour vérifier cinq relevés. Les colonnes D et E affichent \(a^2 + b^2\) et \(c^2\).

A — \(a\)B — \(b\)C — \(c\)D — \(a^2+b^2\)E — \(c^2\)
23452525
351213169169
42341316
581517289289
66798581
  1. Quelles lignes correspondent à un triplet pythagoricien ? Justifier en comparant D et E.
  2. Le triangle de la ligne 6 est-il rectangle ? Justifier.
  3. Quelle formule le contrôleur a-t-il écrite en D2 pour obtenir 25 ?
  1. Les lignes 2, 3 et 5 : D et E y affichent le même nombre (\(25 = 25\), \(169 = 169\), \(289 = 289\)), donc \(a^2 + b^2 = c^2\). Aux lignes 4 et 6, les deux colonnes diffèrent (\(13 \neq 16\) et \(85 \neq 81\)) : ce ne sont pas des triplets pythagoriciens.
  2. Non : le carré du plus grand côté vaut 81, la somme des carrés des deux autres vaut 85, et \(85 \neq 81\). Le triangle n'est pas rectangle.
  3. =A2^2+B2^2 : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).

Exercice 43

Sur la feuille de l'exercice 42, on veut que la colonne F affiche directement « oui » ou « non ». La formule à écrire en F2 est :

=SI( ………… =C2^2 ; "oui" ; "non")

  1. Recopier et compléter la partie laissée en pointillés.
  2. Écrire ce que la colonne F affiche sur les cinq lignes.
  3. On recopie F2 vers le bas jusqu'en F6. Quelle formule le tableur écrit-il en F4, et pourquoi n'a-t-on pas eu à la taper ?
  4. Un élève a tapé en F2 :
    =SI(A2*2+B2*2=C2*2;"oui";"non")
    Qu'affiche alors la ligne 2 ? Quelle est son erreur ?
  1. =SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non")
  2. Ligne 2 : oui — ligne 3 : oui — ligne 4 : non — ligne 5 : oui — ligne 6 : non.
  3. En F4, le tableur écrit =SI(A4^2+B4^2=C4^2;"oui";"non") et affiche non. Les références suivent la ligne : en recopiant vers le bas, A2 devient A3, puis A4. Le test est décrit une fois, la machine l'applique ligne après ligne.
  4. \(3 \times 2 + 4 \times 2 = 6 + 8\) \(= 14\) et \(5 \times 2 = 10\). Comme \(14 \neq 10\), la ligne 2 affiche « non », alors que 3-4-5 est un triplet. A2*2 calcule le double de A2, pas son carré : il fallait A2^2. Contrôler une ligne dont on connaît la réponse permet de voir l'erreur.

Exercice 44

Un dessinateur part du triplet 3-4-5 et remplit une feuille en multipliant les trois nombres par 1, puis 2, puis 3, et ainsi de suite. La colonne D porte la formule =SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non"), recopiée vers le bas.

A — \(a\)B — \(b\)C — \(c\)D — triplet ?
2345oui
36810oui
491215oui
5121620oui
  1. Vérifier par le calcul la ligne 4.
  2. Sans rien calculer, donner les trois nombres de la ligne 11, et dire ce qu'affichera la colonne D.
  3. Le programme demande de chercher les triplets pythagoriciens jusqu'à 1 000. Combien de lignes de cette feuille pourrait-on remplir sans que \(c\) dépasse 1 000 ?
  4. Qu'est-ce que le tableur fait ici que l'on ne ferait pas à la main ?
  1. \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\) et \(15^2 = 225\) : les deux sont égaux, la ligne 4 est bien un triplet pythagoricien.
  2. La ligne 11 est la dixième ligne remplie : c'est 3-4-5 multiplié par 10, soit \(\mathbf{30}\), \(\mathbf{40}\), \(\mathbf{50}\). La colonne D affichera oui : agrandir un triangle rectangle le laisse rectangle.
  3. \(c\) vaut \(5 \times k\) sur la \(k\)-ième ligne remplie. \(5 \times 200 = 1\,000\) : on peut remplir 200 lignes.
  4. Il applique 200 fois le même test, sans se tromper et sans fatigue, à partir d'une seule formule écrite une fois. À la main, ce serait 200 fois trois carrés et une comparaison.

Exercice 45

On cherche tous les triplets dont l'hypoténuse vaut 25. Dans la colonne A, on écrit les valeurs de \(a\) de 1 à 24. En B2, on écrit =RACINE(25^2-A2^2), puis on recopie vers le bas. RACINE calcule la racine carrée.

  1. Qu'affiche la colonne B sur la ligne où \(a = 7\) ?
  2. Qu'affiche-t-elle sur la ligne où \(a = 10\), arrondi au centième ? Cette ligne donne-t-elle un triplet ?
  3. Comment repère-t-on un triplet dans la colonne B ?
  4. Les seules valeurs entières apparaissent pour \(a = 7\), 15, 20 et 24. Écrire les triplets trouvés. Lequel n'est pas un multiple d'un triplet du cours ?
  1. \(\sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49}\) \(= \sqrt{576} = 24\) : la cellule affiche 24.
  2. \(\sqrt{625 - 100} = \sqrt{525} \approx 22{,}91\). Ce n'est pas un entier : pas de triplet sur cette ligne.
  3. Un triplet correspond à une ligne où la colonne B affiche un nombre entier : alors \(a\), \(b\) et 25 sont trois entiers avec \(a^2 + b^2 = 25^2\).
  4. \((7\,;\,24\,;\,25)\), \((15\,;\,20\,;\,25)\), \((20\,;\,15\,;\,25)\) et \((24\,;\,7\,;\,25)\), soit en fait deux triplets écrits dans les deux ordres. 15-20-25 est 3-4-5 multiplié par 5. 7-24-25 n'est dans aucune liste du cours : le tableur l'a trouvé en cherchant.