Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ?
Triangle rectangle : hypoténuse = 5 m (l'échelle), côté horizontal = 1,5 m.
\(h^2 = 5^2 - 1{,}5^2 = 25 - 2{,}25 = 22{,}75\)
\(h = \sqrt{22{,}75} \approx \mathbf{4{,}77}\) m
Exercice 5
Un poinçon de charpente forme un triangle rectangle. La base horizontale mesure 4,8 m et la hauteur verticale 1,8 m. Calculer la longueur du chevron (hypoténuse).
Un carreleur pose du carrelage dans un couloir. Il vérifie que les dalles sont bien alignées en mesurant la diagonale d'un rectangle de 2,4 m × 1,0 m. Calculer la longueur de la diagonale.
Si, dans un triangle de côtés \(a \leq b \leq c\), on vérifie que \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle et l'angle opposé au côté \(c\) est droit.
Méthode : identifier le plus grand côté, vérifier si son carré égale la somme des carrés des deux autres.
Exercice 7
Pour chaque triangle dont on connaît les trois côtés, vérifier s'il est rectangle :
Côtés : 9 cm, 12 cm et 15 cm.
Côtés : 5 cm, 7 cm et 9 cm.
Côtés : 8 m, 15 m et 17 m.
Méthode : vérifier si (grand côté)² = somme des carrés des deux autres.
Un menuisier pose un encadrement de porte. Les montants mesurent 210 cm, la traverse 90 cm. Il mesure la diagonale et obtient 228 cm. L'encadrement est-il bien d'équerre (angle droit) ?
Si l'angle est droit : diagonale attendue = \(\sqrt{210^2 + 90^2} = \sqrt{44\,100 + 8\,100} = \sqrt{52\,200} \approx 228{,}5\) cm
La diagonale mesurée (228 cm) est très proche → l'encadrement est approximativement d'équerre. En pratique, la tolérance de 5 mm est acceptable.
Exercice 9
Un ouvrier trace un angle droit sur un chantier en utilisant la méthode 3-4-5 : il mesure 3 m sur un côté, 4 m sur l'autre, puis vérifie que la diagonale fait 5 m. Justifier pourquoi cette méthode garantit un angle droit.
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
Par la réciproque du théorème de Pythagore : si \(a^2 + b^2 = c^2\), alors le triangle est rectangle et l'angle opposé au côté \(c\) est droit.
→ Les côtés 3, 4, 5 forment bien un triangle rectangle → l'angle entre les côtés 3 m et 4 m est droit à 90°.
C4 — Triplets pythagoriciens courants
Triplets pythagoriciens à connaître
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers \((a, b, c)\) vérifiant \(a^2 + b^2 = c^2\).
(3, 4, 5) — le plus courant (et ses multiples : 6-8-10, 9-12-15…) (5, 12, 13) — fréquent en charpente et menuiserie (8, 15, 17) — utile pour vérifier un angle droit sur chantier
Astuce : sur chantier, la méthode 3-4-5 permet de tracer un angle droit sans rapporteur.
Exercice 10
Compléter le tableau des triplets pythagoriciens :
Un triangle a deux côtés de 9 m et 12 m. Sans calculatrice, déterminer la longueur de l'hypoténuse en utilisant un triplet pythagoricien connu. Justifier.
On reconnaît le triplet 3-4-5 multiplié par 3 : \((3\times3 ; 4\times3 ; 5\times3) = (9 ; 12 ; 15)\)
L'hypoténuse vaut \(\mathbf{15}\) m.
Vérification : \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) ✔
C5 — Problèmes concrets
Exercice 12
Un technicien installe un panneau solaire sur un toit pentu. La toiture fait 6 m de longueur horizontale et 2,5 m de hauteur verticale. Calculer la longueur réelle du versant de toit sur lequel il posera le panneau.
Un agenceur fixe une étagère dans un angle. Pour que l'étagère soit horizontale, il pose un équerre triangulaire dont l'hypoténuse est 45 cm et un côté vertical est 27 cm. Calculer la longueur du côté horizontal de l'équerre.
Un menuisier vérifie l'équerrage d'une armoire en mesurant ses deux diagonales. Les dimensions de la façade sont 120 cm de largeur et 220 cm de hauteur. Calculer la longueur des diagonales. Si les deux diagonales sont égales, l'armoire est-elle bien d'équerre ?
Façade de l'armoire avec les deux diagonales
\(d^2 = 120^2 + 220^2 = 14\,400 + 48\,400 = 62\,800\)
\(d = \sqrt{62\,800} \approx \mathbf{250{,}6}\) cm
Les deux diagonales d'un rectangle sont toujours égales : si les deux diagonales mesurées sont toutes deux ≈ 250,6 cm, l'armoire est bien rectangulaire (d'équerre). Si l'une est différente, il y a un défaut de parallélisme.
Exercice 15
Un installateur thermique doit faire passer un tuyau en diagonale dans un vide technique rectangulaire de 80 cm de largeur et 60 cm de hauteur. Quelle est la longueur maximale du tuyau rectiligne qui peut passer dans ce vide technique ?
Vide technique rectangulaire avec le tuyau en diagonale
La diagonale du rectangle forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 80 cm et 60 cm.
\(L^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\)
\(L = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100}\) cm
Le tuyau peut mesurer au maximum 100 cm (= 1 m). On reconnaît le triplet 6-8-10 (× 10).
Exercice 16
Un couvreur doit atteindre le faîtage d'un toit. Il place une échelle de 6,5 m contre le mur. Le pied de l'échelle est à 2,5 m du mur. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? Le faîtage est à 6,2 m : l'échelle est-elle suffisante ?
\(h^2 = 6{,}5^2 - 2{,}5^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36\)
\(h = \sqrt{36} = \mathbf{6}\) m
Le haut de l'échelle atteint 6 m, or le faîtage est à 6,2 m → l'échelle est insuffisante (il manque 20 cm).
Exercice 17
Un artisan menuisier fabrique un meuble d'angle triangulaire. La pièce a un angle droit parfait. Les deux murs mesurent 45 cm et 60 cm. Quelle longueur de façade (le côté qui ferme le meuble en diagonale) doit-il découper ?
Meuble d'angle : vue de dessus
\(f^2 = 45^2 + 60^2 = 2\,025 + 3\,600 = 5\,625\)
\(f = \sqrt{5\,625} = \mathbf{75}\) cm
La façade mesure 75 cm. On reconnaît le triplet 3-4-5 multiplié par 15 : \((45 ; 60 ; 75)\).