Devoir Surveillé – Chapitre 12

Théorème de Pythagore et réciproque | 2^de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer une longueur dans un triangle rectangle
Appliquer le théorème de Pythagore et sa réciproque
Vérifier si un triangle est rectangle
Résoudre des problèmes d'équerrage en contexte professionnel

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Calcul de l'hypoténuse 8 points

Formule à utiliser : Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est BC.
\(\mathbf{BC^2 = AB^2 + AC^2}\) puis \(\mathbf{BC = \sqrt{BC^2}}\)

Un technicien en maintenance automobile installe une rampe d'accès. La rampe forme un triangle rectangle avec le sol. La hauteur est de 8 m et la distance au sol est de 6 m.

1. APP Entoure le bon schéma : le côté oblique est l'hypoténuse / un côté de l'angle droit. (1 pt)

2. REA Compléter la résolution ci-dessous. (4 pts)

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(BC^2 = 6^2 + 8^2\)
\(BC^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots\)
\(BC^2 = \ldots\ldots\)
\(BC = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) m

3. VAL Vérifier : calculer \(6^2 + 8^2\) et le comparer à \(10^2\). (2 pts)

\(6^2 + 8^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
\(10^2 = \ldots\ldots\)
Ces deux valeurs sont-elles égales ? ……

4. COM Conclusion : La longueur de la rampe est ……… m. (1 pt)

1. Le côté oblique est l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).

2. \(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(BC = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) m.

3. \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Et \(10^2 = 100\). Oui, ces deux valeurs sont égales ✓.

4. La longueur de la rampe est 10 m.

Exercice 2 – Vérifier l'équerrage d'un panneau 6 points

Méthode : Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), la diagonale \(d\) vérifie : \(d^2 = a^2 + b^2\).

Un menuisier agenceur vérifie un panneau de 90 cm × 120 cm.

1. REA Compléter le calcul de la diagonale théorique. (3 pts)

\(d^2 = 90^2 + 120^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
\(d = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) cm

2. VAL La diagonale mesurée est 152 cm. Comparer avec la valeur calculée. Le panneau est-il d'équerre ? Entourer la bonne réponse : OUI / NON. (2 pts)

3. COM Calculer l'écart entre la diagonale mesurée et la diagonale théorique. (1 pt)

Écart = \(152 - \ldots\ldots = \ldots\ldots\) cm

1. \(d^2 = 8\,100 + 14\,400 = 22\,500\), donc \(d = \sqrt{22\,500} = \mathbf{150}\) cm.

2. 152 cm ≠ 150 cm → le panneau n'est pas d'équerre. Réponse : NON.

3. Écart = \(152 - 150 = \mathbf{2}\) cm.

Exercice 3 – Ce triangle est-il rectangle ? 6 points

Réciproque de Pythagore : On vérifie si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres.
Si oui → triangle rectangle. Si non → triangle non rectangle.

Un menuisier mesure les trois côtés d'une pièce triangulaire : 5 cm, 12 cm et 13 cm.

1. APP Le plus grand côté est : ……… cm. (1 pt)

2. REA Compléter. (3 pts)

Grand côté au carré : \(\ldots\ldots^2 = \ldots\ldots\)
Somme des carrés des deux autres : \(\ldots\ldots^2 + \ldots\ldots^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
Ces deux valeurs sont-elles égales ? ……

3. ANA Ce triangle est-il rectangle ? Entourer : OUI / NON. (1 pt)

4. COM Donner un autre triplet pythagoricien (trois nombres différents de ceux-ci). (1 pt)

1. Le plus grand côté est 13 cm.

2. \(13^2 = 169\). Et \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Oui, elles sont égales ✓.

3. OUI, ce triangle est rectangle.

4. Exemples : 3-4-5, 8-15-17, 6-8-10.

Standard

Exercice 1 – Échafaudage 8 points

Un échafaudage est adossé à un mur. Il forme un triangle rectangle avec le sol et le mur. La hauteur contre le mur est de 8 m et la distance au sol entre le pied de l'échafaudage et le mur est de 6 m.

1. APP Faire un schéma en identifiant le triangle rectangle et ses côtés. Quel est l'hypoténuse ? (2 pts)

2. REA Calculer la longueur de la partie oblique de l'échafaudage en appliquant le théorème de Pythagore. (3 pts)

3. VAL Un ouvrier affirme que les mesures 6 m, 8 m et 10 m forment un triangle rectangle. Vérifier par la réciproque du théorème de Pythagore. (3 pts)

1. Le triangle rectangle a pour côtés : hauteur = 8 m (côté vertical), base = 6 m (côté horizontal). L'hypoténuse est la partie oblique de l'échafaudage (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).

2. Théorème de Pythagore : \(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Donc \(c = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) m.

3. Le plus grand côté est 10 m. On calcule : \(10^2 = 100\). Et \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Comme \(10^2 = 6^2 + 8^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est bien rectangle. ✓

Exercice 2 – Diagonale d'un panneau 6 points

Un menuisier doit vérifier qu'un panneau rectangulaire de 120 cm × 90 cm est bien d'équerre (angles droits). Il mesure la diagonale.

1. REA Si le panneau est parfaitement rectangulaire, calculer la longueur théorique de la diagonale. (3 pts)

2. VAL Le menuisier mesure une diagonale de 152 cm. Le panneau est-il d'équerre ? Justifier. (2 pts)

3. COM Expliquer en une phrase pourquoi la mesure de la diagonale permet de vérifier l'équerrage. (1 pt)

1. \(d^2 = 120^2 + 90^2 = 14\,400 + 8\,100 = 22\,500\). Donc \(d = \sqrt{22\,500} = \mathbf{150}\) cm.

2. La diagonale mesurée (152 cm) ≠ diagonale théorique (150 cm). Le panneau n'est pas d'équerre : l'écart de 2 cm indique un défaut de rectangularité.

3. Si le rectangle est parfait, la diagonale vérifie le théorème de Pythagore. Un écart entre la mesure et le calcul révèle l'absence d'angle droit.

Exercice 3 – Triangle quelconque 6 points

Un charpentier mesure les trois côtés d'un triangle de toiture : 5 m, 12 m et 13 m.

1. ANA Ce triangle est-il rectangle ? Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore. (3 pts)

2. REA Si le triangle est rectangle, calculer son aire. (2 pts)

3. COM Donner un autre triplet pythagoricien classique (différent de 3-4-5 et 5-12-13). (1 pt)

1. Le plus grand côté est 13. On vérifie : \(13^2 = 169\). Et \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\).
Comme \(13^2 = 5^2 + 12^2\), le triangle est rectangle en l'angle opposé au côté de 13 m. ✓

2. Les deux côtés de l'angle droit sont 5 m et 12 m. \(A = \dfrac{5 \times 12}{2} = \mathbf{30}\) m².

3. Exemples : 8-15-17 ou 7-24-25 ou 6-8-10 (multiple de 3-4-5).

Approfondissement

Exercice 1 – Implantation d'une cloison 8 points

Un agenceur intérieur doit installer une cloison perpendiculaire à un mur de 8 m de long. Le mur adjacent mesure 6 m. Il veut utiliser la méthode 3-4-5 pour garantir l'angle droit.

1. APP Expliquer en quoi consiste la méthode des 3-4-5 et pourquoi elle garantit un angle droit. Justifier mathématiquement. (3 pts)

2. REA L'agenceur choisit une unité de 2 m. Calculer les trois longueurs à mesurer sur la corde et vérifier par le calcul qu'elles forment bien un triangle rectangle. (3 pts)

3. VAL Après pose, un contrôleur mesure la diagonale d'un espace rectangulaire de 6 m × 8 m et obtient 10,04 m. L'angle droit est-il respecté ? Calculer l'écart en cm et évaluer si ce défaut est acceptable pour un chantier d'agencement (tolérance usuelle : ±5 mm). (2 pts)

1. La méthode 3-4-5 consiste à former un triangle avec des côtés proportionnels à 3, 4 et 5 unités. Elle garantit un angle droit car \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) (triplet pythagoricien) : par la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle en l'angle entre les côtés de longueur 3 et 4.

2. Unité = 2 m. Longueurs : \(3 \times 2 = 6\) m ; \(4 \times 2 = 8\) m ; \(5 \times 2 = 10\) m.
Vérification : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) ✓

3. Diagonale théorique : \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) m.
Écart : \(10{,}04 - 10{,}00 = 0{,}04\) m = 4 cm.
4 cm > 5 mm → le défaut n'est pas acceptable pour un chantier d'agencement de précision. Il faut recorriger l'angle.

Exercice 2 – Vérification multi-panneaux 6 points

Un menuisier agenceur reçoit trois panneaux. Il mesure leurs diagonales pour vérifier l'équerrage.

Panneau	Largeur	Hauteur	Diagonale mesurée
A	60 cm	80 cm	101 cm
B	36 cm	48 cm	60 cm
C	50 cm	70 cm	86,2 cm

1. REA Pour chaque panneau, calculer la diagonale théorique (valeur arrondie au mm si nécessaire). (3 pts)

2. VAL Comparer les valeurs théoriques et mesurées. Quels panneaux sont d'équerre ? Quels panneaux ne le sont pas ? (2 pts)

3. ANA Pour le ou les panneaux non d'équerre, calculer l'écart en mm et expliquer quelle correction doit être effectuée. (1 pt)

Panneau A : \(d^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\), \(d = 100\) cm.
Panneau B : \(d^2 = 36^2 + 48^2 = 1\,296 + 2\,304 = 3\,600\), \(d = 60\) cm.
Panneau C : \(d^2 = 50^2 + 70^2 = 2\,500 + 4\,900 = 7\,400\), \(d = \sqrt{7\,400} \approx 86{,}0\) cm.

2. Panneau A : 101 ≠ 100 → pas d'équerre. Panneau B : 60 = 60 → d'équerre ✓. Panneau C : 86,2 ≠ 86,0 → pas d'équerre.

3. Panneau A : écart = 101 − 100 = 10 mm → rapprocher les angles opposés de 10 mm. Panneau C : écart = 86,2 − 86,0 = 2 mm → correction légère de 2 mm sur la diagonale longue.

Exercice 3 – Toiture et calcul de hauteur 6 points

Un charpentier étudie une toiture. La base de la toiture mesure 10 m (largeur de la maison). La toiture est symétrique et l'arête faîtière est à mi-largeur. La longueur d'un versant (pente) est de 6,5 m.

1. ANA Décrire le triangle rectangle formé par la hauteur de la toiture, la demi-base et le versant. Identifier l'hypoténuse et les deux côtés de l'angle droit. (2 pts)

2. REA Calculer la hauteur \(h\) de la toiture (valeur exacte et arrondie au centimètre). (3 pts)

3. COM Un client souhaite savoir si le triangle de toiture (côtés 5 m, 12 m, 13 m) est rectangle. Rédiger la vérification complète et conclure en une phrase rédigée. (1 pt)

1. Le triangle rectangle a pour hypoténuse le versant (6,5 m). Les deux côtés de l'angle droit sont la demi-base (\(10/2 = 5\) m) et la hauteur \(h\).

2. Par Pythagore : \(6{,}5^2 = 5^2 + h^2\)
\(h^2 = 6{,}5^2 - 5^2 = 42{,}25 - 25 = 17{,}25\)
Valeur exacte : \(h = \sqrt{17{,}25}\) m. Valeur arrondie : \(h \approx \mathbf{4{,}15}\) m.

3. \(13^2 = 169\) et \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Comme \(13^2 = 5^2 + 12^2\), d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle de côtés 5 m, 12 m et 13 m est rectangle en l'angle opposé au côté de 13 m.