Chapitre 12 – Théorème de Pythagore | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
À chaque fois que tu utilises ton smartphone pour calculer la distance entre toi et un client, ton GPS effectue (de manière simplifiée) un calcul basé sur le théorème de Pythagore. Voyons comment.
Pour deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) dans un repère :
d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
C'est l'application directe du théorème de Pythagore au triangle rectangle de côtés Δx (différence des abscisses) et Δy (différence des ordonnées).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §2 (calcul d'une hypoténuse) et §5 (distance dans un repère).
Calculer la distance à vol d'oiseau entre l'atelier A(2 ; 3) et le client B(7 ; 15), où les coordonnées sont en kilomètres dans un plan local.
Δx = x_B − x_A = 7 − 2 = 5 km
Δy = y_B − y_A = 15 − 3 = 12 km
d = √(Δx² + Δy²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 km.
Note : 5-12-13 est un triplet pythagoricien classique. La distance « tombe juste ».
Le GPS routier indique 16 km par la route. Pourquoi cette distance est-elle différente de la distance calculée par Pythagore (13 km) ?
La formule de Pythagore donne la distance « à vol d'oiseau » : la ligne droite directe entre 2 points (théoriquement parcourable par un drone, un oiseau, un avion).
Le GPS routier donne la distance en suivant les routes existantes, qui :
Ratio typique route/vol d'oiseau : 1,2 à 1,5. Ici : 16 / 13 ≈ 1,23, dans la fourchette normale.
Calculer la distance à vol d'oiseau entre les points C(0 ; 0) et D(8 ; 6).
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 unités.
Encore un triplet pythagoricien (6-8-10).
Tom a 3 chantiers à visiter dans la journée. Coordonnées : Atelier (0 ; 0), Chantier 1 (4 ; 3), Chantier 2 (10 ; 5), Retour atelier. Calculer la distance totale à vol d'oiseau.
Calcul des 3 segments :
Total : 5 + 6,32 + 11,18 = 22,5 km à vol d'oiseau.
Distance routière probable : 22,5 × 1,3 ≈ 29 km. À 60 km/h moyenne : ~30 minutes de route au total.
Tom veut savoir l'ordre des chantiers le plus court. Comparer les 3 ordres possibles : A→1→2→A, A→2→1→A. Quel est le moins long ?
Ordre A→1→2→A : 5 + 6,32 + 11,18 = 22,5 km (déjà calculé).
Ordre A→2→1→A : 11,18 + 6,32 + 5 = 22,5 km (idem, symétrique).
Pour ce cas simple à 2 chantiers, les 2 ordres font le même nombre de km totaux (les segments sont parcourus dans le sens inverse).
Pour 3+ chantiers, le problème devient le « voyageur de commerce » (TSP), qui n'a pas de solution simple. Ton GPS utilise des algorithmes complexes pour optimiser.
Les coordonnées GPS réelles sont en latitude / longitude. Sur de courtes distances (< 100 km), on peut les convertir approximativement : 1° latitude ≈ 111 km, 1° longitude ≈ 78 km (en France). Calculer la distance entre Paris (48,85 N ; 2,35 E) et Versailles (48,80 N ; 2,12 E).
Δlat = 48,85 − 48,80 = 0,05 → Δy = 0,05 × 111 = 5,55 km.
Δlon = 2,35 − 2,12 = 0,23 → Δx = 0,23 × 78 = 17,94 km.
d = √(5,55² + 17,94²) = √(30,8 + 321,8) = √352,6 ≈ 18,8 km.
Distance réelle à vol d'oiseau Paris-Versailles ≈ 17 km. Notre estimation est bonne (~10 % d'écart, due à la simplification de la sphère).
Pour des distances plus longues (> 100 km), il faut utiliser la formule sphérique (Haversine), plus complexe.
Pour un grand chantier où 4 ouvriers travaillent à des coordonnées différentes, comment Pythagore peut-il être utile pour optimiser leur coordination ?
Pythagore permet de trouver le point central optimal (le « barycentre » géométrique) à partir duquel la somme des distances vers les 4 ouvriers est minimisée.
Pour 4 points A, B, C, D, le centre G a pour coordonnées :
G_x = (x_A + x_B + x_C + x_D) / 4
G_y = (y_A + y_B + y_C + y_D) / 4
Application : placer le poste de commandement, le stockage des outils, le coffre à clés au point G → minimum de pas pour tous les ouvriers.
C'est ce que font les apps de logistique pour optimiser les positions des entrepôts (Amazon, FedEx).
Rédiger en 5 lignes une explication pour un public non-mathématicien : « Comment fonctionne le calcul de distance dans ton GPS ? »
Comment ton GPS calcule la distance ?
Ton GPS connaît tes coordonnées (latitude, longitude) et celles du destinataire. Il calcule alors la différence horizontale (Δx) et la différence verticale (Δy), et applique le théorème de Pythagore :
distance = √(Δx² + Δy²)
C'est la distance « à vol d'oiseau » (ligne droite). Pour la distance par la route, le GPS suit les voies existantes, généralement 20-50 % plus longues. Pour les longs trajets (sur une planète sphérique), il utilise une formule plus complexe (Haversine) qui tient compte de la courbure.
Bref, à chaque fois que tu utilises Google Maps ou Waze, c'est Pythagore (et un peu de trigonométrie sphérique) qui travaille pour toi !
Un drone agricole survole un champ rectangulaire (300 m × 200 m) en suivant ses 2 diagonales. Quelle est la distance totale parcourue ?
Diagonale d'un rectangle 300 × 200 :
d = √(300² + 200²) = √(90 000 + 40 000) = √130 000 ≈ 360,6 m.
Comme le drone suit les 2 diagonales : 2 × 360,6 = 721 m.
À 5 m/s (vitesse drone agricole) : 721 / 5 = 144 secondes ≈ 2 min 24.
Plus efficace que de suivre le contour (4 côtés = 1 000 m). Optimisation du temps de vol = économie de batterie.