Chapitre 12 – Théorème de Pythagore | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Sami a un nouveau contrat important et doit agrandir son atelier. Il coule une dalle béton pour l'extension. Pour que les murs soient parfaitement perpendiculaires aux murs existants, il doit tracer un angle droit sur le sol — sans équerre géante (impossible sur 10 m !). Il utilise la méthode universelle des charpentiers et maçons : la règle 3-4-5, basée sur la réciproque du théorème de Pythagore.
Théorème direct : si un triangle est rectangle, alors hyp² = c1² + c2².
Réciproque : si dans un triangle, c² = a² + b² (où c est le plus grand côté), alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé à c.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (réciproque du théorème de Pythagore) et §4 (triplets pythagoriciens).
Vérifier que le triangle de côtés 3, 4, 5 est bien rectangle (calculer 3² + 4² puis comparer à 5²).
3² + 4² = 9 + 16 = 25.
5² = 25.
Égalité ✓ : le triangle 3-4-5 est rectangle (réciproque de Pythagore). L'angle droit se trouve au sommet opposé à l'hypoténuse 5.
Citer 3 autres triplets pythagoriciens (entiers a, b, c tels que a² + b² = c²).
Multiples de 3-4-5 : 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 30-40-50… Tout multiple de 3-4-5 fonctionne.
Autres triplets primitifs :
Sur chantier, on retient surtout 3-4-5 et 5-12-13 qui sont les plus utilisés.
Sami a marqué un point A sur le mur existant et un point B à 4 m. Il veut placer un point C tel que AC = 3 m et que l'angle BAC soit droit. Quelle distance BC doit-il mesurer pour valider l'angle ?
Si l'angle BAC est bien droit, alors BC est l'hypoténuse du triangle rectangle ABC.
BC² = AB² + AC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
BC = √25 = 5 m.
Sami doit donc tendre une corde graduée à 5 m entre B et C. Si la mesure « tombe juste », l'angle est droit. Sinon, il ajuste C légèrement.
Sami utilise un grand chantier (extension de 6 m × 8 m). Il veut tracer l'angle droit sur cette grande échelle. Comment adapter la méthode 3-4-5 ?
Sami peut utiliser le triplet 6-8-10 (= 2 × 3-4-5).
Méthode : marquer A, B distant de 8 m sur le mur. Marquer C à 6 m perpendiculairement. Vérifier que BC = 10 m.
Avantage des grandes longueurs : la précision angulaire est meilleure. Une erreur de 1 cm sur 10 m correspond à un angle plus petit qu'une erreur de 1 cm sur 1 m.
Règle du chantier : plus le triangle est grand, meilleure est la précision de l'angle.
Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ? Expliquer en utilisant la réciproque de Pythagore.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore : si dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC² (le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres), alors le triangle est rectangle en A.
Donc, si en mesurant les 3 côtés on trouve la relation, c'est la preuve mathématique que l'angle est droit.
Inversement, si la mesure de BC ne « tombe pas juste » à 5 m (par exemple 4,90 m), c'est que l'angle n'est pas exactement à 90° → ajuster jusqu'à 5,00 m.
Cette technique est utilisée depuis l'Égypte antique (les arpenteurs avec des cordes à 13 nœuds : 3 + 4 + 5 = 12 segments, + 1 nœud final).
Sami a posé sa corde et mesure : AB = 4 m, AC = 3 m, BC = 5,03 m. L'angle est-il vraiment droit ? Calculer ce que devrait être BC.
BC théorique pour angle droit : √(4² + 3²) = √25 = 5,00 m.
BC mesuré : 5,03 m. Différence : 3 cm de trop.
L'angle n'est pas droit, il est légèrement obtus (> 90°).
Sami doit déplacer le point C légèrement vers A (ramener vers le mur) pour réduire BC, jusqu'à obtenir 5,00 m exactement.
Tolérance acceptable selon précision visée :
Pour un chantier carré de 12 m × 12 m, Sami veut vérifier que toutes les diagonales sont bien d'égale longueur. Calculer la diagonale théorique d'un carré de 12 m.
Diagonale d'un carré : d = √(12² + 12²) = √(144 + 144) = √288 ≈ 16,97 m.
Plus rigoureusement : d = c × √2 = 12 × 1,414 ≈ 16,97 m.
Sami peut utiliser cette valeur pour vérifier que ses 4 coins forment bien un carré (les 2 diagonales sont alors égales). Si une diagonale fait 16,97 m et l'autre 17,15 m, c'est que ce n'est pas un carré (ou les angles ne sont pas droits).
Rédiger un mode opératoire en 5 lignes pour expliquer la méthode 3-4-5 à un nouvel apprenti.
Méthode 3-4-5 — Tracer un angle droit sans équerre
1. Sur la ligne de référence (mur, axe), marquer un point A et un point B distants de 4 m.
2. Depuis A, tracer une corde provisoire perpendiculaire de 3 m. Marquer son extrémité C.
3. Mesurer la diagonale BC avec un mètre ruban : elle doit faire exactement 5 m.
4. Si BC est trop long, déplacer C vers A. Si trop court, l'éloigner. Ajuster jusqu'à obtenir 5,00 m.
5. Quand BC = 5 m exactement, l'angle BAC est droit (réciproque de Pythagore). Pour plus de précision, utiliser un triangle plus grand : 6-8-10, 9-12-15...
Les Égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds (12 segments) pour leurs constructions. Comment formait-on un angle droit avec cette corde ?
La corde forme une boucle de 12 segments égaux (3 + 4 + 5 = 12).
3 personnes tendent la corde à 3 nœuds clés :
Quand les 3 cordes sont tendues, on a un triangle 3-4-5 → l'angle est droit en personne 2.
Cette technique permettait aux arpenteurs égyptiens (« harpedonaptes » = tendeurs de corde) de retracer les champs après les crues du Nil. Ils avaient pour outil principal cette corde à 13 nœuds. C'est l'un des plus anciens usages connus de la géométrie pratique (vers 2 600 av. J.-C.).