← Retour au sommaire

Chapitre 11 – Exercices par capacités

Figures planes : périmètres et aires  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer le périmètre de figures planes usuelles

Rappel — Périmètres usuels

Rectangle (longueur \(L\), largeur \(l\)) : \(P = 2(L + l)\)  |  Carré (côté \(a\)) : \(P = 4a\)  |  Triangle : \(P = a + b + c\) (somme des trois côtés)
Cercle (rayon \(r\)) : \(C = 2\pi r\)  —  aussi appelée circonférence.

L l P = 2(L + l)
Rectangle
a b c
Triangle : P = a+b+c
r C = 2πr
Cercle

Exercice 1

Calculer le périmètre des figures suivantes :

  1. Rectangle de longueur 4,5 m et largeur 2,8 m.
  2. Triangle de côtés 3 m, 4 m et 5 m.
  3. Carré de côté 1,2 m.
  4. Losange de côté 6 cm.
  1. \(P = 2 \times (4{,}5 + 2{,}8) = 2 \times 7{,}3 = \mathbf{14{,}6}\) m
  2. \(P = 3 + 4 + 5 = \mathbf{12}\) m
  3. \(P = 4 \times 1{,}2 = \mathbf{4{,}8}\) m
  4. \(P = 4 \times 6 = \mathbf{24}\) cm

Exercice 2

Calculer le périmètre (longueur du contour) d'un disque de rayon 35 cm. Prendre \(\pi \approx 3{,}14\).

\(C = 2\pi r = 2 \times 3{,}14 \times 35 = \mathbf{219{,}8}\) cm \(\approx 2{,}20\) m

Exercice 3

Un poseur de parquet doit poser des plinthes tout autour d'une pièce rectangulaire de 5,20 m × 3,80 m. Une porte de 90 cm interrompt les plinthes. Quelle longueur de plinthe faut-il acheter ?

Périmètre total : \(2 \times (5{,}20 + 3{,}80) = 2 \times 9 = 18\) m
Moins la porte : \(18 - 0{,}90 = \mathbf{17{,}10}\) m de plinthe
(Prévoir un peu plus pour les coupes : +10 % soit ~18,8 m en pratique.)

C2 — Calculer l'aire de figures planes usuelles

Rappel — Formules d'aires

Rectangle : \(A = L \times l\)  |  Triangle : \(A = \dfrac{b \times h}{2}\)  |  Disque : \(A = \pi r^2\)
Trapèze : \(A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\) (B : grande base, b : petite base, h : hauteur)  |  Parallélogramme : \(A = b \times h\)

b h
Triangle : A = b×h/2
b B h
Trapèze : A = (B+b)h/2
r A = πr²
Disque

Exercice 4

Calculer l'aire des figures suivantes :

  1. Rectangle de 6 m × 4 m
  2. Triangle de base 8 cm et hauteur 5 cm
  3. Disque de rayon 7 cm (prendre \(\pi \approx 3{,}14\))
  4. Trapèze de petite base 3 m, grande base 7 m, hauteur 4 m
  1. \(A = 6 \times 4 = \mathbf{24}\) m²
  2. \(A = \frac{8 \times 5}{2} = \mathbf{20}\) cm²
  3. \(A = \pi r^2 = 3{,}14 \times 49 = \mathbf{153{,}86}\) cm²
  4. \(A = \frac{(3 + 7) \times 4}{2} = \frac{40}{2} = \mathbf{20}\) m²

Exercice 5

Un atelier découpe un panneau de bois en forme de parallélogramme de base 120 cm et de hauteur 80 cm. Calculer l'aire de ce panneau.

\(A = b \times h = 120 \times 80 = \mathbf{9\,600}\) cm² \(= 0{,}96\) m²

Exercice 6

Un agenceur doit couvrir un sol hexagonal régulier. Il le décompose en 6 triangles équilatéraux identiques, chacun ayant une base de 60 cm et une hauteur de 52 cm. Calculer l'aire totale du sol.

Aire d'un triangle : \(\frac{60 \times 52}{2} = 1\,560\) cm²
Aire totale : \(6 \times 1\,560 = \mathbf{9\,360}\) cm² \(= 0{,}936\) m²

C3 — Convertir des unités de longueur et d'aire

Méthode — Conversions d'unités

Longueurs : ×10 à chaque rang vers le bas (km → hm → dam → m → dm → cm → mm).

Aires : ×100 à chaque rang (car on élève le facteur au carré) : \(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 = 1\,000\,000 \text{ mm}^2\)

Astuce : pour convertir une aire de m² en cm², multiplier par \(100^2 = 10\,000\), pas par 100 !

Exercice 7

Convertir :

  1. 3,5 m² en cm²
  2. 24 000 cm² en m²
  3. 0,75 m en mm
  4. 4 500 mm² en cm²
  1. \(3{,}5 \text{ m}^2 = 3{,}5 \times 10\,000 = \mathbf{35\,000}\) cm²
  2. \(24\,000 \text{ cm}^2 = 24\,000 \div 10\,000 = \mathbf{2{,}4}\) m²
  3. \(0{,}75 \text{ m} = 0{,}75 \times 1\,000 = \mathbf{750}\) mm
  4. \(4\,500 \text{ mm}^2 = 4\,500 \div 100 = \mathbf{45}\) cm²

Exercice 8

Un menuisier calcule l'aire d'un plateau de 120 cm × 60 cm. Il obtient 7 200 cm². Son client demande le résultat en m². Est-ce que 7 200 cm² = 7 200 m² ? Corriger et expliquer.

Non ! \(1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 = 10\,000 \text{ cm}^2\)
\(7\,200 \text{ cm}^2 = 7\,200 \div 10\,000 = \mathbf{0{,}72}\) m²
L'erreur classique est d'oublier de multiplier/diviser le facteur de conversion au carré.

Exercice 9

Convertir 2,4 m² en dm². Sachant qu'une planche coûte 15 €/dm², calculer le coût de cette planche.

\(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2\) (car \(1 \text{ m} = 10 \text{ dm}\) et \(10^2 = 100\))
\(2{,}4 \text{ m}^2 = 2{,}4 \times 100 = 240 \text{ dm}^2\)
Coût : \(240 \times 15 = \mathbf{3\,600}\) €

C4 — Calculer une aire par décomposition

Méthode — Décomposer une figure complexe

1. Repérer les sous-figures simples (rectangles, triangles, demi-disques…).

2. Calculer l'aire de chaque sous-figure séparément.

3. Additionner les aires si les figures s'assemblent, ou soustraire si l'une est évidée dans l'autre.

Grand rect. − coin → Aire en L

Exercice 10

Un plan d'une pièce montre un salon en L : rectangle 6 m × 4 m dont on a retiré un coin rectangulaire de 2 m × 1,5 m. Calculer l'aire de la pièce.

Aire du grand rectangle : \(6 \times 4 = 24\) m²
Aire du coin retiré : \(2 \times 1{,}5 = 3\) m²
Aire de la pièce : \(24 - 3 = \mathbf{21}\) m²

Exercice 11

Une façade d'immeuble est un rectangle de 8 m × 6 m percé de 4 fenêtres rectangulaires de 1,2 m × 1,5 m et d'une porte de 0,9 m × 2,1 m. Calculer l'aire à peindre.

Façade : \(8 \times 6 = 48\) m²
4 fenêtres : \(4 \times (1{,}2 \times 1{,}5) = 4 \times 1{,}8 = 7{,}2\) m²
Porte : \(0{,}9 \times 2{,}1 = 1{,}89\) m²
Aire à peindre : \(48 - 7{,}2 - 1{,}89 = \mathbf{38{,}91}\) m²

Exercice 12

Un panneau décoratif a la forme d'un rectangle de 80 cm × 50 cm avec un demi-disque de rayon 25 cm sur le dessus. Calculer l'aire totale du panneau (prendre \(\pi \approx 3{,}14\)).

80 cm 50 cm r=25
Aire du rectangle : \(80 \times 50 = 4\,000\) cm²
Aire du demi-disque : \(\frac{\pi \times 25^2}{2} = \frac{3{,}14 \times 625}{2} = \frac{1\,962{,}5}{2} = 981{,}25\) cm²
Aire totale : \(4\,000 + 981{,}25 = \mathbf{4\,981{,}25}\) cm²

C5 — Problèmes de périmètre et d'aire en contexte professionnel

Méthode — Résoudre un problème pro

1. Identifier la figure géométrique correspondant à la situation.

2. Relever les données et les convertir dans la même unité si nécessaire.

3. Appliquer la formule adaptée (périmètre ou aire).

4. Interpréter le résultat dans le contexte (matériaux à acheter, surface à peindre…).

Exercice 13

Un artisan doit poser du carrelage dans une salle de bains de 3,2 m × 2,4 m. Les carreaux mesurent 20 cm × 20 cm. Combien de carreaux faut-il prévoir (sans marge) ?

Aire de la pièce : \(3{,}2 \times 2{,}4 = 7{,}68\) m²
Aire d'un carreau : \(0{,}20 \times 0{,}20 = 0{,}04\) m²
Nombre de carreaux : \(\frac{7{,}68}{0{,}04} = \mathbf{192}\) carreaux

Exercice 14

Un métreur calcule la surface de peinture pour un couloir de 8 m de long, 1,2 m de large et 2,6 m de hauteur. Il doit peindre les 4 murs et le plafond (pas le sol). Calculer la surface totale à peindre.

2 murs longs : \(2 \times (8 \times 2{,}6) = 2 \times 20{,}8 = 41{,}6\) m²
2 murs courts : \(2 \times (1{,}2 \times 2{,}6) = 2 \times 3{,}12 = 6{,}24\) m²
Plafond : \(8 \times 1{,}2 = 9{,}6\) m²
Total : \(41{,}6 + 6{,}24 + 9{,}6 = \mathbf{57{,}44}\) m²

Exercice 15

Pour un projet de terrasse ronde de rayon 3 m, un menuisier veut border le pourtour d'une lisse en bois. Calculer la longueur de lisse nécessaire (prendre \(\pi \approx 3{,}14\)) et le coût si la lisse coûte 12 € le mètre.

Circonférence : \(C = 2\pi r = 2 \times 3{,}14 \times 3 = 18{,}84\) m
Coût : \(18{,}84 \times 12 = \mathbf{226{,}08}\) €

C6 — Utiliser la somme des angles d'un triangle

À retenir

La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°. Si on connaît deux angles, on peut calculer le troisième : \(\hat{C} = 180° - \hat{A} - \hat{B}\).

Exercice 16

Calculer l'angle manquant dans chaque triangle :

  1. \(\hat{A} = 60°\), \(\hat{B} = 80°\). Calculer \(\hat{C}\).
  2. \(\hat{P} = 90°\), \(\hat{Q} = 35°\). Calculer \(\hat{R}\).
  3. \(\hat{X} = 45°\), \(\hat{Y} = 45°\). Calculer \(\hat{Z}\). Quelle est la nature de ce triangle ?
  1. \(\hat{C} = 180° - 60° - 80° = \mathbf{40°}\)
  2. \(\hat{R} = 180° - 90° - 35° = \mathbf{55°}\)
  3. \(\hat{Z} = 180° - 45° - 45° = \mathbf{90°}\). C'est un triangle rectangle isocèle.

Exercice 17

Un menuisier découpe un triangle dans une planche. Il mesure deux angles : 62° et 73°.

  1. Calculer le troisième angle.
  2. Ce triangle est-il rectangle ? Isocèle ? Justifier.
  3. Un collègue affirme avoir découpé un triangle avec des angles de 50°, 60° et 80°. Est-ce possible ?
  1. \(180° - 62° - 73° = \mathbf{45°}\)
  2. Aucun angle ne vaut 90° → pas rectangle. Aucun couple d'angles égaux → pas isocèle. C'est un triangle scalène.
  3. \(50° + 60° + 80° = 190° \neq 180°\) → impossible. La somme doit toujours valoir 180°.

Exercice 18

Sur un chantier, un charpentier observe un triangle formé par deux poutres et le sol. L'angle au sol à gauche est de 55° et le triangle est isocèle (les deux poutres ont la même longueur).

  1. Que peut-on dire de l'angle au sol à droite ? Justifier.
  2. Calculer l'angle au sommet (entre les deux poutres).
? 55° 55° sol
  1. Triangle isocèle → les deux angles à la base sont égaux. Donc l'angle à droite vaut aussi 55°.
  2. Angle au sommet : \(180° - 55° - 55° = \mathbf{70°}\).