Devoir Surveillé – Chapitre 11

Figures planes : périmètres et aires | 2^de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer le périmètre des figures usuelles (carré, rectangle, triangle, cercle, polygones)
Calculer l'aire des figures usuelles
Convertir les unités d'aire (m², cm², dm²)
Résoudre des problèmes de surface en contexte professionnel

Socle

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Formules fournies :
• Périmètre du rectangle : \(P = 2 \times (L + l)\)
• Aire du rectangle : \(\mathcal{A} = L \times l\)
• Périmètre du cercle : \(P = 2 \times \pi \times r\) (\(\pi \approx 3{,}14\))
• Aire du disque : \(\mathcal{A} = \pi \times r^2\)
• Aire du triangle : \(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
• Aire du trapèze : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)
• Somme des angles d'un triangle : \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°\)

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Exercice 1 – Atelier rectangulaire 8 points

Un atelier de menuiserie est de forme rectangulaire : longueur \(L = 15\) m, largeur \(l = 8\) m. On souhaite installer un poste de travail circulaire de rayon \(r = 2\) m au centre de l'atelier.

1. REA Calculer l'aire totale de l'atelier. (2 pts)

Formule : \(\mathcal{A} = L \times l = \ldots \times \ldots = \ldots\) m²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{atelier}} = \) m²

2. REA Calculer l'aire du poste de travail circulaire. Arrondir au centième. (2 pts)

Formule : \(\mathcal{A} = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times \ldots^2 = 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots\) m²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{cercle}} \approx \) m²

3. ANA En déduire l'aire utilisable restante. (2 pts)

Aire restante = aire de l'atelier \(-\) aire du cercle \(= \ldots - \ldots = \ldots\) m²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{restante}} = \) m²

4. REA Calculer le périmètre total de l'atelier et le périmètre du cercle. (2 pts)

Périmètre atelier : \(P = 2 \times (L + l) = 2 \times (\ldots + \ldots) = 2 \times \ldots = \ldots\) m

Réponse : \(P_{\text{atelier}} = \) m

Périmètre cercle : \(P = 2 \times 3{,}14 \times r = 2 \times 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots\) m

Réponse : \(P_{\text{cercle}} \approx \) m

1. \(\mathcal{A}_{\text{atelier}} = 15 \times 8 = \mathbf{120}\) m².

2. \(\mathcal{A}_{\text{cercle}} = \pi \times 2^2 = 3{,}14 \times 4 \approx \mathbf{12{,}57}\) m².

3. \(\mathcal{A}_{\text{restante}} = 120 - 12{,}57 = \mathbf{107{,}43}\) m².

4. \(P_{\text{atelier}} = 2 \times (15 + 8) = 2 \times 23 = \mathbf{46}\) m. \(P_{\text{cercle}} = 2 \times 3{,}14 \times 2 \approx \mathbf{12{,}57}\) m.

Exercice 2 – Panneau décoratif 8 points

Un agenceur doit calculer la surface d'un panneau décoratif composé d'un rectangle de \(60\) cm \(\times\) \(40\) cm surmonté d'un demi-cercle de diamètre \(60\) cm (rayon \(r = 30\) cm).

1. APP Faire un schéma annoté de la pièce avec les dimensions. (1 pt)

Zone schéma :

2. REA Calculer l'aire du rectangle. (1 pt)

Formule : \(\mathcal{A}_{\text{rect}} = L \times l = \ldots \times \ldots = \ldots\) cm²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{rect}} = \) cm²

3. REA Calculer l'aire du demi-cercle. Arrondir au centième. (2 pts)

Rappel : aire d'un demi-disque \(= \dfrac{\pi \times r^2}{2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{3{,}14 \times \ldots^2}{2} = \dfrac{3{,}14 \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} \approx \ldots\) cm²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{demi}} \approx \) cm²

4. REA Calculer l'aire totale du panneau en cm² puis en m². (2 pts)

Aire totale (cm²) \(= \ldots + \ldots = \ldots\) cm²

Conversion en m² : on divise par \(10\,000\) : \(\ldots \div 10\,000 = \ldots\) m²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{total}} = \) cm² \(= \) m²

5. ANA Un pot de peinture couvre 2 m². Combien de panneaux peut-on peindre avec un seul pot ? (2 pts)

Nombre de panneaux \(= 2 \div \text{aire d'un panneau} = 2 \div \ldots \approx \ldots\)

On prend la partie entière : on peut peindre panneaux complets.

Réponse : on peut peindre panneaux complets avec un pot.

1. Schéma : rectangle 60 × 40 avec un demi-cercle de rayon 30 cm au-dessus.

2. \(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 60 \times 40 = \mathbf{2\,400}\) cm².

3. \(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{3{,}14 \times 30^2}{2} = \dfrac{3{,}14 \times 900}{2} = \dfrac{2\,826}{2} \approx \mathbf{1\,413}\) cm².

4. \(\mathcal{A}_{\text{total}} = 2\,400 + 1\,413 = \mathbf{3\,813}\) cm² \(\approx \mathbf{0{,}38}\) m².

5. \(2 \div 0{,}38 \approx 5{,}26\) donc 5 panneaux complets.

Exercice 3 – Marches d'escalier 4 points

Chaque marche d'un escalier a la forme d'un trapèze de grande base \(B = 30\) cm, petite base \(b = 24\) cm et hauteur \(h = 3\) cm.

Aire du trapèze : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)

1. REA Calculer l'aire d'une marche. (2 pts)

\(\mathcal{A} = \dfrac{(\ldots + \ldots) \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} = \ldots\) cm²

Réponse : \(\mathcal{A}_{\text{marche}} = \) cm²

2. COM L'escalier comporte 14 marches. Calculer la surface totale de bois nécessaire et exprimer le résultat en m². (2 pts)

Surface totale (cm²) \(= \mathcal{A}_{\text{marche}} \times 14 = \ldots \times 14 = \ldots\) cm²

Conversion en m² : \(\ldots \div 10\,000 = \ldots\) m²

Réponse : surface totale = cm² = m²

1. \(\mathcal{A} = \dfrac{(30 + 24) \times 3}{2} = \dfrac{54 \times 3}{2} = \dfrac{162}{2} = \mathbf{81}\) cm².

2. \(81 \times 14 = 1\,134\) cm² \(= \mathbf{0{,}1134}\) m².

Standard

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Exercice 1 – Atelier rectangulaire 8 points

Un atelier de menuiserie est de forme rectangulaire : longueur 15 m, largeur 8 m. On souhaite installer un poste de travail circulaire de rayon 2 m au centre de l'atelier.

1. REA Calculer l'aire totale de l'atelier. (2 pts)

2. REA Calculer l'aire du poste de travail circulaire. Arrondir au centième. (2 pts)

3. ANA En déduire l'aire utilisable restante. (2 pts)

4. REA Calculer le périmètre total de l'atelier et le périmètre du cercle. (2 pts)

1. \(A_{atelier} = L \times l = 15 \times 8 = \mathbf{120}\) m².

2. \(A_{cercle} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \approx \mathbf{12{,}57}\) m².

3. \(A_{utilisable} = 120 - 12{,}57 = \mathbf{107{,}43}\) m².

4. Périmètre atelier : \(2(15+8) = \mathbf{46}\) m. Périmètre cercle : \(2\pi r = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx \mathbf{12{,}57}\) m.

Exercice 2 – Pièce composite 8 points

Un agenceur doit calculer la surface d'un panneau décoratif composé d'un rectangle de 60 cm × 40 cm surmonté d'un demi-cercle de diamètre 60 cm.

1. APP Faire un schéma annoté de la pièce avec les dimensions. (1 pt)

2. REA Calculer l'aire du rectangle. (1 pt)

3. REA Calculer l'aire du demi-cercle. Arrondir au centième. (2 pts)

4. REA Calculer l'aire totale du panneau en cm² puis en m². (2 pts)

5. ANA Le panneau doit être peint. Un pot de peinture couvre 2 m². Combien de panneaux peut-on peindre avec un seul pot ? (2 pts)

1. Schéma : rectangle 60 × 40 avec un demi-cercle de rayon 30 cm au-dessus.

2. \(A_{rect} = 60 \times 40 = \mathbf{2\,400}\) cm².

3. Rayon du demi-cercle : \(r = 60/2 = 30\) cm. \(A_{demi} = \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{\pi \times 30^2}{2} = \dfrac{900\pi}{2} \approx \mathbf{1\,413{,}72}\) cm².

4. \(A_{total} = 2\,400 + 1\,413{,}72 = \mathbf{3\,813{,}72}\) cm² \(= 0{,}3814\) m².

5. Nombre de panneaux : \(\dfrac{2}{0{,}3814} \approx 5{,}24\). On peut peindre 5 panneaux complets avec un pot.

Exercice 3 – Triangle et trapèze 4 points

Un escalier est constitué de marches en forme de trapèze. Chaque marche a une grande base de 30 cm, une petite base de 24 cm et une hauteur de 3 cm.

1. REA Calculer l'aire d'une marche. (2 pts)

2. COM L'escalier comporte 14 marches. Calculer la surface totale de bois nécessaire et exprimer le résultat en m². (2 pts)

1. \(A = \dfrac{(B + b) \times h}{2} = \dfrac{(30 + 24) \times 3}{2} = \dfrac{54 \times 3}{2} = \mathbf{81}\) cm².

2. \(81 \times 14 = 1\,134\) cm² \(= \mathbf{0{,}1134}\) m².

Approfondissement

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Exercice 1 – Aménagement d'un atelier en L 9 points

Un atelier de menuiserie a une forme en L. Il est composé de deux rectangles :

Zone A (principale) : longueur \(12\) m, largeur \(8\) m
Zone B (annexe) : longueur \(5\) m, largeur \(4\) m (dans le prolongement de la largeur de la zone A)

Au centre de la zone A, un poste de travail circulaire de diamètre \(D = 3\) m est installé.

1. APP Faire un schéma annoté de l'atelier en L en indiquant toutes les dimensions. (1 pt)

2. REA Calculer la surface totale de l'atelier. (2 pts)

3. REA Calculer le périmètre de l'atelier en L (6 côtés). Montrer le détail des calculs. (2 pts)

4. ANA Calculer l'aire utilisable de la zone A après l'installation du poste circulaire. (2 pts)

5. COM Le sol de l'atelier entier (hors poste circulaire) doit être revêtu d'un carrelage vendu en caisses de 2 m². Quel est le nombre minimal de caisses à commander en prévoyant 8 % de chutes ? (2 pts)

2. \(\mathcal{A} = (12 \times 8) + (5 \times 4) = 96 + 20 = \mathbf{116 \text{ m}^2}\)

3. Configuration : zone A (12 × 8) en bas, zone B (5 × 4) collée en haut à gauche de A (prolongement vertical). Les 6 côtés du L : 12 m (bas), 8 m (droite A), (12 − 5) = 7 m (retour haut de A), 4 m (droite de B), 5 m (haut de B), (8 + 4) = 12 m (gauche complète). \(P = 12 + 8 + 7 + 4 + 5 + 12 = \mathbf{48 \text{ m}}\)

4. Rayon du poste : \(r = 3/2 = 1{,}5\) m. \(\mathcal{A}_{\text{poste}} = \pi \times 1{,}5^2 = \pi \times 2{,}25 \approx 7{,}07 \text{ m}^2\). Aire utilisable zone A : \(96 - 7{,}07 \approx \mathbf{88{,}93 \text{ m}^2}\)

5. Surface à couvrir : \(116 - 7{,}07 \approx 108{,}93 \text{ m}^2\). Avec 8 % de chutes : \(108{,}93 \times 1{,}08 \approx 117{,}64 \text{ m}^2\). Nombre de caisses : \(\lceil 117{,}64 / 2 \rceil = \lceil 58{,}82 \rceil = \mathbf{59 \text{ caisses}}\)

Exercice 2 – Panneau de façade avec découpes 7 points

Un agenceur conçoit un panneau de façade composé d'un rectangle de \(80\) cm × \(60\) cm, surmonté d'un demi-cercle de diamètre \(80\) cm. Le panneau comporte également 2 ouvertures rectangulaires de \(20\) cm × \(15\) cm chacune.

1. APP Représenter le panneau en indiquant toutes les dimensions. (1 pt)

2. REA Calculer l'aire totale de la forme extérieure du panneau (rectangle + demi-cercle), sans tenir compte des ouvertures. (2 pts)

3. ANA Calculer la surface réelle de matière (après soustraction des 2 ouvertures). Arrondir au cm². (2 pts)

4. VAL Un technicien prétend qu'il faut moins de 0,5 m² de matière pour fabriquer ce panneau. A-t-il raison ? Justifier. (2 pts)

2. Rectangle : \(80 \times 60 = 4\,800\) cm². Demi-cercle (rayon 40 cm) : \(\dfrac{\pi \times 40^2}{2} \approx \dfrac{5\,026{,}55}{2} \approx 2\,513{,}27\) cm². Total : \(4\,800 + 2\,513{,}27 \approx \mathbf{7\,313{,}27 \text{ cm}^2}\)

3. Aire des 2 ouvertures : \(2 \times (20 \times 15) = 2 \times 300 = 600\) cm². Surface réelle : \(7\,313{,}27 - 600 \approx \mathbf{6\,713 \text{ cm}^2}\)

4. \(6\,713 \text{ cm}^2 = 0{,}6713 \text{ m}^2 > 0{,}5 \text{ m}^2\). Le technicien a tort : il faut environ \(0{,}67 \text{ m}^2\) de matière.

Exercice 3 – Analyse géométrique d'un escalier 4 points

Un escalier droit comporte des marches dont la section est un trapèze rectangle (un angle droit). La grande base mesure \(B = 32\) cm, la petite base mesure \(b = 26\) cm et la hauteur vaut \(h = 18\) cm.

1. REA Calculer l'aire de la section d'une marche. (1 pt)

2. ANA L'escalier comporte 12 marches. La profondeur de chaque marche (dans l'espace) est de 22 cm. Calculer le volume total de bois nécessaire pour les marches en cm³ puis en m³. (2 pts)

3. VAL Le bois a une masse volumique de \(0{,}70\) kg/dm³. Estimer la masse totale des 12 marches en kg. (Rappel : 1 dm³ = 1 000 cm³) (1 pt)

1. \(\mathcal{A} = \dfrac{(32 + 26) \times 18}{2} = \dfrac{58 \times 18}{2} = \dfrac{1\,044}{2} = \mathbf{522 \text{ cm}^2}\)

2. Volume d'une marche : \(522 \times 22 = 11\,484 \text{ cm}^3\). Volume 12 marches : \(11\,484 \times 12 = \mathbf{137\,808 \text{ cm}^3} = \mathbf{0{,}1378 \text{ m}^3}\)

3. En dm³ : \(137\,808 \div 1\,000 = 137{,}808 \text{ dm}^3\). Masse : \(137{,}808 \times 0{,}70 \approx \mathbf{96{,}5 \text{ kg}}\)